数学

　　今按四十七事日名或有不合其间有厯误有史误今以实法攷之合者不约而符不合者亦灼然可见非厯误推即史误纪虽去之千百年犹旦暮也此如以有法之度度短长有凖之权权轻重故物莫能遁若大衍诸厯岁余或强或弱如权度未定既不可以称量而统天之距差躔差授时之百年长一又于执秤执尺之时参以智巧之私实为无理之法其不合者固不合其幸合者亦不知其实未尝合也近年冬至时刻可定去之远者不能细定刻分以小轮半径古多今少难得确率耳若其大致固可上下参攷而知当不违天甚逺孟子曰苟求其故千岁之日至可坐而致恒岁实最卑行小轮差皆其故也后之治厯者精求诸此而已若诸家立法虽不可不知要之皆已陈之刍狗不可再用者也
　　元史云自春秋献公以来凡二千一百六十余年用六厯推筭冬至凡四十九事大衍合者三十二不合者十七宣明合者二十六不合者二十三纪元合者三十五不合者十四统天合者三十八不合者十一大明合者三十四不合者十五授时合者三十九不合者十事按献公十五年戊寅岁正月甲寅朔旦冬至授时得甲寅统天得乙夘后天一日至僖公五年正月辛亥朔旦冬至授时统天皆得辛亥与天合下至昭公二十年己夘岁正月己丑朔旦冬至授时统天皆得戊子并先一日若曲变其法以从之则献公僖公皆不合矣以此知春秋所书昭公冬至乃日度失行之騐一也【永按献公之年史有参差所推甲寅朔旦冬至乃刘歆三统厯以四分之法逆推非有实测纪之信史不足为据若左氏传二至则当时之厯误乃欲曲法以求合合者一而违者一不悟其幸合者之非真而以其不合者诿之于日度失行此大惑也】大衍攷古冬至谓刘宋元嘉十三年丙子岁十一月甲戌日南至大衍与皇极麟德三厯皆得癸酉各先一日乃日度失行非三厯之差今以授时攷之亦得癸酉二也【永按今以法推正得甲戌日度何尝失行】大明五年辛丑岁十一月乙酉冬至诸厯皆得甲申殆亦日度之差三也【永按此年冬至祖冲之攷之特详正赖当年实测可騐高冲之所在与两心差之细数虽推筭时刻未甚亲亦可得其所以未亲之由今以法宻筭其为乙酉甚确郭氏不悟统天之活法不足凭献僖逺年之幸合未可据乃以祖氏当年实测指为日度失行不亦惑乎】陈太建四年壬辰岁十一月丁夘景长大衍授时皆得丙寅是先一日太建九年丁酉岁十一月壬辰景长大衍授时皆得癸巳是后一日一失之先一失之后若合于壬辰则差于丁酉合于丁酉则差于壬辰亦日度失行之騐五也【永按壬辰岁不误丁酉岁则史误也】开皇十一年辛亥岁十一月丙午景长大衍统天授时皆得丙午与天合至开皇十四年甲寅岁十一月辛酉冬至而大衍统天授时皆得壬戌若合于辛亥则失于甲寅合于甲寅则失于辛亥其开皇十四年甲寅岁冬至亦日度失行六也【永按甲寅岁乃厯误】唐贞观十八年甲辰岁十一月乙酉景长诸厯皆得甲申贞观二十三年己酉岁十一月辛亥景长诸厯皆得庚戌大衍厯议以永淳开元冬至推之知前二冬至乃史官依时厯以书必非候景所得所以不合今以授时攷之亦然八也【永按此二至若非厯误即史误】自前宋以来测景騐气者凡十七事其景德丁未岁戊辰日南至统天授时皆得丁卯是先一日嘉泰癸亥甲戌日南至统天授时皆得乙亥是后一日一失之先一失之后若曲变其数以从景德则其余十六事多后天从嘉泰则其余十六事多先天亦日度失行之騐十也【永按此二至皆厯误非日度失行】前十事皆授时所不合以此理推之非不合矣葢类其同则知其中辨其异则知其变今于冬至畧其日度失行及史官依时厯书之者凡十事则授时三十九事皆中【永按日为七政之主万化之宗必无失行之理其两心差之有改变亦必有恒率非失行也郭氏于十事中以八事为日度失行其说原于僧一行亦近诬矣其三十九事自以为中未必果皆中也中其日矣未必中其时刻除至元庚辰岁宻合天外推近岁之冬至时刻恒后天推逺岁之冬至时刻恒先天其故甚微非以权度细推其谁觉之】以前代诸厯校之授时为宻庶几千岁之日至可坐而致云【永按授时固宻而有未宻者存郭氏不能知也不谓人误而曰天误此非常之差谬载之史册徒为后人作笑资耳】
　　附测景余论
　　【勿庵先生揆日星纪要论测景法甚详尚有三事当论永为补之】
　　一曰表端之景虚淡分厘难得真数当仿郭太史用景符之法取表端横梁中景为的
　　郭氏用四丈长表颇不易制四方行测损其制度一丈亦可矣而表端为太阳上边之景虽以太阳半径减之可得中景而犹患其虚淡难真宜仿郭法长丈者只作九尺端为两岐【代二龙】以持横梁合之长一丈以薄铜叶为景符钻小窍以达日光顺其斜倚之势游移前却于虚景之中取横梁之景于圭面则所得者为中景而分数亦真
　　一曰太阳离天顶稍逺则地面与地心有南北差太阳恒降而下当检气差表求太阳视纬高弧加于本纬
　　一曰极高多度之方冬至太阳近地平有青气差能升太阳使高景为之稍短此气差难筭宜以夏至之景参校【夏至近天顶无气而降下之南北差亦甚微】求黄赤北纬以知南纬【黄赤间纬度分古多今少】以本方冬至气差加于南纬以冬至景长推算高弧可得气差○后二事景差之最微者试以元史证之
　　元史授时厯议云今京师长表【四丈】冬至之景七丈九尺八寸有竒夏至之景一丈一尺七寸有竒【寸下之分不著者每岁二至加时不等故也】
　　按京师观象台北极出地三十九度五十五分今所测定者也今时黄赤距纬二十三度半稍弱元时距纬则不止二十三度半姑以二十三度半计之加于极高以减象限其余二十六度三十五分为冬至高弧检二十六度三十五分之余切线一九九八四一以四乗之【表四丈故】已有七丈九尺九寸有竒之景再加距纬之大与太阳南北差则景当更长而当时所测定者七丈九尺八寸有竒以余切求高弧为二十六度三十七分减太阳下二分以减赤道高五十度五分若只二十三度三十分者岂非气升卑为高乎　再以夏至攷之景长一丈一尺七寸有竒以四归之二九三有竒则七十三度四十分之余切以赤道高弧五十度○五分减之北纬有二十三度三十五分岂非近天顶无气差而太阳降下之数又微故见其本纬之景乎○再以北纬二十三度三十五分减赤道高为高弧二十六度三十分又约减太阳降下二分则冬至高弧宜二十六度二十八分而景长之高弧二十六度三十七分是气升太阳九分也郭太史时八线之筭法未备太阳南北差近地气差机窍未启但能纪其表景尺寸不能详其冬至二至所得黄赤距度有微差今则一一可攷而知

　　数学卷四
　　钦定四库全书
　　数学卷五
　　婺源江永撰
　　七政衍
　　【勿庵先生论七政小轮之动由本天之动七政之动由小轮之动其说极当七政中月尤纷错按厯象考成五星有三小轮而月更有次均轮不惟次均轮而已且更有负圏是月之小轮独有五也今以七政各轮之左右旋与其带动自动不动之异本先生之说一一衍之且为绘图诸轮了然在目而七政之高下行度亦可知其梗概矣】
　　太阳诸轮
　　日有本天有本轮有均轮○本天以地为心随宗动天左旋而稍缓故渐右移【本勿庵先生之说】○本天右移带动本轮○本轮之心定于本天之上【亦本勿庵先生说】其枢左旋带动均轮【本轮之顶为最高底为最卑轮枢左旋视本天之右移者稍缓因生最高最卑之行】○均轮之心定于本轮之上其枢右旋带动日○日体定于均轮之上随均轮而右旋均轮旋而日体之上下不变【别有说见后】
　　太阴诸轮
　　月有本天有本轮有均轮有负圏有次轮有次均轮○本天以地为心随宗动天左旋而最缓故右移甚速○本天右移带动本轮○本轮之心定于本天之上其枢左旋带动均轮【本轮之顶为月孛其底为入转轮枢左旋视本天之右移者稍缓因生月孛之行】○均轮之心定于本轮之上其枢右旋带动负圏【负圏所以负次轮其心在均轮上并均轮全径与次轮半径为负圏半径】○负圏之心定于均轮之上其枢不动随均轮而右旋带动次轮【若无负圏则次轮无为带动者矣】○次轮之心定于负圏之上随负圏而出入于本轮【有时在本轮内有时出本轮外】其周恒与均轮相切【与五星次轮心在均轮上者异】其枢左旋【与土木火三星次轮右旋者异】带动次均轮【月独有○次均轮】次均轮之心定于次轮之上其枢不动随次轮而左旋带动月【厯法西传谓月在次轮上右旋非也○他轮一左旋一右旋则其枢转动惟负圏与均轮同为右旋次均轮与次轮同为左旋是其枢不转动】○月体定于次均轮之上随次轮与次均轮而左旋【月在次均轮其详见后】轮旋而月体之上下不变【亦说见后】
　　土木火三星诸轮
　　土木火三星在日之上有本天有本轮有均轮有次轮有绕日圏○本天以地为心随宗动天左旋而差缓各以次第土最缓木次之火次之其右移皆迟【土约二十九年半一周木约十二年一周火约二年一周】○本天右移带动本轮○本轮之心定于本天之上其枢左旋带动均轮【本轮之顶为最高轮枢左旋视本天之右移者稍缓因生最高之行】○均轮之心定于本轮之上其枢右旋带动次轮【土木次轮与太阳本天等大惟火星次轮时时不同本轮高而太阳又高者最大本轮卑而太阳又卑者最小二者皆在高卑之中则与太阳本天等大】○次轮之心定于均轮之上其枢右旋带动星○星体各定在次轮之上随次轮而右旋○次轮亦名岁轮星在岁轮周左旋聨其行迹遂成绕日圆圏【与各星本天等大火星圏时时不等】其度左旋【与次轮右旋之度相应】
　　金水二星诸轮
　　金水二星在日之下【论其本天则然因有岁轮与日天等大有时负星出于日上】亦有本天有本轮有次轮又有伏见轮○本天皆小在日天之内【本勿庵先生晩年之説旧説即以太阳之天为金水本天】以地为心随宗动天左旋而稍缓遂右移其右移速于上三星【金二百二十四日竒周天水八十八日周天亦本勿庵先生说旧说以周次轮为周天】本天右移带动本轮○本轮之心定于本天之上其枢左旋带动均轮【本轮均轮皆在日天之下厯家以太阳天为本天伏见轮为次轮遂置本轮均轮于太阳天皆假设非本象○本轮之顶为最高轮枢左旋视本天之右移者稍缓因生最高之行】○均轮之心定于本轮之上其枢右旋带动次轮【次轮皆与日天等大】○次轮之心定于均轮之上其枢左旋带动星○次轮亦曰岁轮【犹上三星之歳轮厯家以伏见轮为次轮或曰歳轮勿庵先生非之详见五星纪要愚为发明详见金水发微】星体各定在岁轮上随之左旋【上三星在岁轮上右旋金水在岁轮上左旋皆向日也】○星在岁轮周左旋聨其行迹亦成绕日之轮为伏见轮【与本天等大犹上三星之绕日圏】其度右旋【与歳轮左旋之度相应】
　　七政诸轮起防行度
　　七政本天平行皆起冬至防
　　太阳本轮起最卑防为初宫初度顺布十二宫最高防为六宫初度【因今时最卑防近冬至遂以此为始】○太阳均轮起最近防【谓最近于本轮心即均轮之顶在最高时为均轮之底】即最卑最高时日体所在其度恒以两度当一度本轮左旋一度均轮右旋两度本轮左旋一象限均轮右旋半周日在最逺之防【谓最逺于本轮心】本轮左旋半周均轮右旋一周复于最近防太阴本轮起最高防为初宫初度即月孛所在【中法以孛对冲为月入转是起最卑西法起月孛】顺布十二宫最卑防为六宫初度【即古法入转】○太阴均轮起最近防【谓最近于本轮心最高时为轮底最卑时为轮顶】即最高最卑时次轮最近防所到其度亦以两度当一度本轮左旋半周均轮右旋一周○太阴次轮朔望起最近防【此最近防谓最近于均轮心】与均轮邉相切【他星次轮心在均轮周月次轮独与均轮相切而轮心在负圈上】又为次均轮心所到其度亦以两度当一度本天右旋月离日一度则次轮左旋两度【囘厯谓之倍离度○左旋者左旋于负圈之上】次均轮心遂至其处两左旋半周次均轮心在最逺【谓最逺于均轮心】此轮惟顺布六宫朔至望一周望后复起初宫○太阴次均轮月体在其上从轮心出线距地心【惟最高最卑两防无初均此线正其余皆是斜线】作十字线于轮面【距线正则十字线皆正距线斜则十字线皆斜】朔望时月体当线上常在其下两时月体当线上常在其上朔与望间【初四初五十八十九】月体常在十字横线之左【东方】望与朔间【十一十二廿六廿七】月体常在十字横线之右【西方】亦一月而两周○土木火三星本轮起最高防为初宫初度顺布十二宫最卑防为六宫初度○三星均轮起最近防【谓最近于本轮心】即最高最卑时次轮心所到其度亦以两度当一度次轮心在其上本轮左旋半周均轮右旋一周○三星次轮星体在其上与太阳合伏时起轮之顶为初宫初度逆布十二宫冲太阳时在轮之底为六宫初度○三星绕日圏合伏在顶冲日在底与次轮同但顺布十二宫厯家不用
　　金水二星本轮起最高防顺布十二宫与上三星同○金星均轮起最近防为最高最卑时岁轮心所到其度亦以两度当一度岁轮心在其上与上三星同○水星均轮起最逺防【谓最逺于本轮心即均轮之顶】为最高时岁轮心所到【最卑时岁轮心在最近防亦均轮之顶】其度以三度当一度岁轮心在其上本轮左旋四宫均轮右旋一周本轮一周均轮三周【七政均轮他皆起最近防倍引数惟水星均轮起最逺防三倍引数】○金星次轮本是岁轮星体在其上合伏时起轮之顶顺布十二宫厯家不用○金水伏见轮本是岁轮上星行之迹所成厯家用之合伏时起轮之顶为初宫初度逆布十二宫冲日在轮之底为六宫初度
　　日月体上下有定
　　日在均轮上月在次均轮上虽随轮转【日右转月左转】而日月之本体上下有定葢其底恒对地心也日之转动与否不可见而月则有黑影【西人谓之月驳】恒定不易则日体亦常定可知五星当亦然