数学

　　右三事者攷冬至之权度也大统以前厯家莫能知而勿庵先生言之未详永窃为补之
　　春秋以来冬至攷
　　勿庵先生云春秋以来冬至多矣而所攷只此者以其测騐之可据也厯议原载四十八事今攷献公在春秋前无信史可徴故删之而以左传僖公一条为首实四十七事也【并至元庚辰四十八事】
　　永窃疑四十七事虽有信史可徴而厯筭与纪载未必无误若左传所记两冬至尤未可信其由于实测后详之
　　鲁僖公五年丙寅岁正月辛亥朔旦冬至
　　唐开元大衍厯【辛亥亥正三刻】唐宣明厯【辛亥申正初刻】宋崇宁纪元厯【壬子戌正一刻】宋统天厯【辛亥寅正三刻】金重修大明厯【壬子亥初二刻】元授时厯【辛亥寅初二刻】
　　按传载是年正月辛亥朔日南至公既视朔遂登观台以望而书古厯家皆谓至朔同日之年也今详推之谨按厯象考成康熈甲子天正冬至气应七日六五六三七四九二六为七日十五小时四十五分十一秒上距僖公丙寅二千三百三十八年中积八十五万三千九百三十六日五小时三十七分三十秒满纪法去之余一十六日五小时三十七分三十秒转减气应【加一纪减之】余五十一日十小时七分四十一秒平冬至乙夘巳正初刻八分又按至元辛巳前四年丁丑高冲【即最卑】与冬至同度上距此年一千九百三十一年约四百年行七度则此年高冲在冬至前一宫三度四十八分于今法当加均一度八分变时一日三小时三十七分减平冬至犹是甲寅日夘时再约计是时小轮并径加大其加减均或能至一度二三十分之间变时一日十余小时以减平冬至则定冬至亦止癸丑日亥子之间而已必不能减至辛亥则是时所推冬至先天两三日矣又此月平朔定朔皆在壬子而当时误推辛亥亦先天一日【春秋纬命厯序壬子朔隋张賔张胄唐一行皆从之】实攷之此年正月壬子朔二日癸丑冬至耳至朔何尝同日乎【张賔依命厯序壬子朔冬至张冑谓三日甲寅冬至既不从传亦不从命厯序虽甲寅或稍后天然而胄之识卓矣】春秋时王朝未必颁厯各国自为推步闰余乖次月日参差日食或不在朔所以考求日至者必不能如后世之精宻差至二三日固无足怪【魏晋以后厯法渐明刘宋时景初厯冬至犹后天三日则春秋时无足怪】厯家过信左氏意谓此年特载日南至必当时实测【唐一行谓僖公登观台以望而书云物出于表晷天騐非时史亿度此一行之蔽也传言书云未尝言测景】作厯欲求合于古则多増斗分以就之大衍推辛亥亥正三刻宣明推辛亥申正初刻皆泥此至之过也【大衍号称善厯行之数年而即差由斗分大强之故】纪元与重修大明仅能得壬子与辛亥差一日知斗分不可过増宁失此至不强求合犹为近之若统天创为距差躔差之法巧合此至而授时遂暗用之有百年长一之率此至皆得辛亥日寅时此无法之法最为乖谬夫总计距乗而益之越百年则有骤増之时刻年愈逺则骤増之数愈多【勿庵先生亦尝疑之】授时以至元辛巳为元上距此年一千九百三十五即以一九三五总乗所长之一九数而益岁余设减三十五为辛丑当文公七年距一千九百则岁余二十四刻四十四分矣前一年庚子距一千九百零一岁余増一分此一分乗一千九百零一凡一十九刻有竒则当此庚子年骤増一十九刻有竒天道宁有此数乎况越二千年而骤増者愈多其长伊于胡底乎故消长之法断不可用而此年正月辛亥朔日南至当以实法考求决其为步之误不可过信传文而舍法以求合也
　　鲁昭公二十年己夘岁正月己丑朔旦冬至
　　大衍【己丑巳正三刻】宣明【己丑寅正三刻】纪元【庚寅夘正初刻】统天【戊子亥正三刻】重修大明【庚寅辰初初刻】授时【戊子戌初三刻】
　　按此年上距僖公五年一百三十三年平冬至二十八日十五小时一十一分二十六秒壬辰日申初初刻十一分约计加均及小轮径差减时不过一日八九小时定冬至不过辛夘日夘辰之间而已必不能减至己丑而传载己丑日南至以此知春秋时步冬至恒先天二三日也且鲁厯前年失闰此年日南至在二月夫周以子月为正日至必无在二月者当时梓慎辈徒知望氛祥占祸福于时月之易明者犹不能正何能实测冬至与天脗合乎大衍宣明纪元重修大明斗分有多少故日名有合有不合若统天授时皆以活法求之又先己丑一日失之愈逺矣同一左氏传也丙寅之冬至则合己夘之冬至则违亦可见活法之有时穷矣由今观之违者固非合者亦未尽是而元史厯议乃以此至为日度失行不亦诬乎
　　刘宋文帝元嘉十二年乙亥岁十一月十五日戊辰景长
　　大衍【戊辰辰正二刻】宣明【戊辰辰初三刻】纪元【戊辰巳初二刻】统天【戊辰午正三刻】重修大明【戊辰巳初三刻】授时【戊辰午初一刻】
　　按史记冬至景长始此是时用景初厯推冬至率后天三日何承天上表言之太史令钱乐之言是年景初推十一月十八日冬至其十五日景极长今推此年平冬至五日九小时四十五分一十一秒己巳日巳初三刻【今　京师时刻刘宋都建康当减八分四秒后陈朝仿此】是时髙冲约在平冬至前十四度太又小轮半径差多于今加均减不啻半日定冬至宜在戊辰与史合然均度不过三十余分减时不能越十五小时戊辰日加时大约在酉半以后是以明年冬至当越六日甲戌景长六厯推此年平冬至非不得戊辰而加时皆蚤既在午刻以前则明年安得甲戌景长乎
　　元嘉十三年丙子岁十一月二十六日甲戌景长【景初厯推二十九日冬至】
　　大衍【癸酉未正一刻】宣明【癸酉未初三刻】纪元【癸酉申初一刻】统天【癸酉酉正二刻】重修大明【癸酉申初三刻】授时【癸酉酉初初刻】
　　今推此年平冬至一十日十五小时三十三分五十六秒甲戌日申初二刻四分是时加均减时不能越十五时是以定冬至亦在甲戌史纪此日景长必是实测而六厯皆先一日癸酉其不能与天宻合此已见其端矣【乂按后四年庚辰甲午景长四年之间小余平积二十日二十三时一十五分庚辰定冬至未至乙未则甲午必是夜子初几刻逆推此年甲戌必是子正几刻】
　　又按唐一行厯议云元嘉十三年十一月甲戌景长皇极麟德开元厯皆得之癸酉葢日度变常耳祖冲之既失甲戌冬至以为加时太早増小余以附防之而十二年戊辰景长得己巳十七年甲午景长得乙未十一年己亥景长得庚子合一失三其失愈多愚谓此年景长甲戌可推也而一行以为日度变常非是
　　元嘉十五年戊寅岁十一月十八日甲申景长【景初厯推二十一日冬至】
　　大衍【甲申丑正初刻】宣明【甲申丑初二刻】纪元【甲申寅初初刻】统天【甲申夘正一刻】重修大明【甲申寅初二刻】授时【甲申寅正三刻】
　　今推此年平冬至二十一日三小时一十一分二十六秒乙酉日寅初初刻十一分定冬至以丙子岁甲戌子正几刻推之当在甲申午正前后之间六厯皆先天
　　元嘉十六年己夘岁十一月二十九日己丑景长【景初厯推次月二日壬辰冬至】
　　大衍【己丑辰初三刻】宣明【己丑辰初一刻】纪元【己丑辰正三刻】统天【己丑午正初刻】重修大明【己丑巳初一刻】授时【己丑巳正二刻】
　　今推此年平冬至二十六日九小时零一十一秒庚寅日巳初初刻定冬至当在己丑酉正前六厯皆先天
　　元嘉十七年庚辰岁十一月初十日甲午景长【景初厯推十二日冬至】
　　大衍【甲午未初三刻】宣明【甲午未初初刻】纪元【甲午未正三刻】统天【甲午酉正初刻】重修大明【甲午申初初刻】授时【甲午申正二刻】
　　今推此年平冬至三十一日十四小时四十八分五十六秒乙未日未正三刻四分而景长在甲午必在夜子初几刻减时几有十五小时则加均约三十六分以当时髙冲在冬至前十四度有竒推之而小轮半径之差亦大畧可知矣
　　又按隋书律厯志刘孝孙等言此年厯法十三日冬至十一日景长则是乙未日矣
　　元嘉十八年辛巳岁十一月二十一日己亥景长【景初厯推二十五日冬至】
　　大衍【己亥戌初二刻】宣明【己亥酉正四刻】纪元【己亥戌正二刻】统天【己亥夜子初三刻】重修大明【己亥亥初初刻】授时【己亥亥正一刻】
　　今推此年平冬至三十六日二十小时三十七分四十一秒庚子日戌正二刻八分厯攷元嘉间定冬至加均减时不能越十五时此年若己亥景长则减时二十有竒葢史文二十二日譌为二十一日唐一行厯议与元史沿误差一日也钱乐之谓寻校前后以景极长为冬至并差三日此年景初推二十五日冬至景长在二十二日是差三日若二十一日则差四日矣【定冬至宜在庚子日寅夘之间六厯虽皆推己亥未足为据】
　　又按隋书刘孝孙等云此年阴无景可騐今厯二十二日冬至更可证是庚子
　　元嘉十九年壬午岁十一月初三日乙巳景长【景初厯推六日冬至】
　　大衍【乙巳丑初二刻】宣明【乙巳子正四刻】纪元【乙巳丑正一刻】统天【乙己夘初三刻】重修大明【乙己丑正三刻】授时【乙巳寅正初刻】
　　今推此年平冬至四十二日二小时二十六分二十六秒丙午日丑正一刻十一分定冬至乙巳午初
　　孝武帝大明五年辛丑岁十一月乙酉冬至
　　大衍【甲申申正四刻】宣明【甲申申正二刻】纪元【甲申酉初二刻】统元【甲申戌初初刻】重修大明【甲申酉正一刻】授时【甲申戌初初刻】
　　按此年祖冲之详记测景推筭冬至乙酉日夜半后三十二刻七十分今细推之当时筭冬至稍后天而六厯推甲申皆先天也详推如左
　　一推此年平冬至
　　按大明辛丑距康熈甲子天正冬至一千二百二十二年中积四十四万六千三百二十五日二十二小时五十二分三十秒转减甲子气应【加一纪减之】余二十一日十六小时五十二分四十一秒平冬至乙酉申正三刻七分四十一秒建康加八分四秒酉初初刻四十五秒
　　一推此年高冲行
　　按元至元辛巳前四年丁丑高冲与冬至同度上距此年八百一十五年若依今法一年行一分一秒十微则此年高冲在冬至前十三度五十分五十一秒如此率未的一年约加二秒四百年行七度则此年高冲在冬至前十四度十六分
　　一推此年十月十日壬戌景长高弧距纬并经度按史此年祖冲之测景十月十日壬戌景长一丈七寸七分半○以三率法推筭【一率表八尺二率景一丈七寸七分半三率半径全数四率为余切线】求得一三四七以余切检八线表此日午正日高弧三十六度三十五分二十四秒○表所得者太阳上边之景宜减太阳半径一十五分二十九秒得太阳中心距地平三十六度一十九分五十五秒○日轨高视差二分二十三秒内减去青气差二十七秒余视差一分五十六秒加于太阳中心距地平得实髙三十六度二十一分五十一秒距天顶五十三度三十八分九秒○建康极出地约三十二度以减距天顶度余二十一度三十八分九秒为本日午正黄赤距纬○设此时两道大距二十三度三十九分二十三秒用三率法【两道大距正为一率本日午正黄赤距纬正为二率半径全数为三率得四率为余】求得余九一八九检表二十三度十四分为壬戌午正距冬至实经度减用时【七分二十九秒】为平时午初三刻七分半太阳距冬至实经度
　　一推壬戌午时太阳平行度
　　建康平冬至【见前】距壬戌午初三刻七分半二十三日五小时八分二十五秒太阳平行二十二度五十二分五十秒以减全周壬戌午初三刻七分半太阳平行十一宫七度七分一十秒
　　一推十一月二十五日丁未景长高弧距纬并经度按史丁未景长一丈八寸一分太○以三率法推筭【一率表八尺二率景长一丈八寸一七五三率半径全数四率为余切线】求得余切一三五二二检表此日午正日高弧三十六度二十九分三秒○减太阳半径一十五分二十六秒太阳中心距地平三十六度一十三分三十七秒○日轨高视差二分二十四秒减去青气差二十七秒余视差一分五十七秒加于太阳中心距地平得实高三十六度一十五分三十四秒距天顶五十三度四十四分二十六秒○极高三十二度减距天顶度余二十一度四十四分二十六秒为本日午正黄赤距纬○设两道大距二十三度三十九分二十三秒用三率法求得余九二三一一检表二十二度三十七分六秒为本日午正距冬至实经度加用时二分三十五秒为平时午正初刻二分三十五秒太阳距冬至实经度
　　一推丁未午时太阳平行度
　　建康平冬至距丁未午正初刻二分三十五秒二十一日十九小时一分五十秒太阳平行二十一度二十八分四十七秒
　　一推此时小轮半径差
　　以本年高冲冬至前十四度十六分减壬戌太阳平行距平冬至二十二度五十二分五十秒余八度三十六分五十秒查旧日躔加减差表减十八分四十八秒化作一千一百二十八秒为一率以旧表两心差三五八四为二率又于壬戌经度二十三度一十四分内减平行二十二度五十二分五十秒余二十一分十秒化作一千二百七十秒为三率求得四率四○三五二为此时两小轮半径并【太阳本天一百万本轮半径三万零三百六十四均轮半径一万零八十八由此可算其均数】
　　一推乙酉日定冬至
　　前壬戌日午正太阳平行十一宫七度七分一十秒至乙酉日子正二十二日半平行二十二度一十分三十八秒加入壬戌午正平行度此时平行十一宫二十九度一十七分四十八秒加高冲十四度十六分满周天去之余一十三度三十四分为引数以此时两小轮半径并筭之约加均度三十二分竒加入前子正平行在十一宫二十九度五十分未满周天者十分为时约四小时定冬至在子正后十六刻有竒当时以前后景折筭乙酉日子正后三十一刻冬至约后天十五刻
　　按以冬至前后日景折筭取中求冬至时刻此法惟郭太史时可用其时高冲与冬至同度故也若大明时高冲在冬至前十四度有竒则冬至前之日近高冲太阳之行速而景之进退也疾冬至后之日远高冲太阳之行稍迟而景之渐短亦必稍缓虽前后之日景大畧相同而中间所厯之时刻必不均当时欲以均数求冬至宜其后天十五刻也【冬至前二十余日日行较连时刻宜减冬至后二十余日日行较迟时刻宜加若欲均之则折半处必在所减之后故后天】然刘宋之初厯法甚疎景初厯后天至三日犹幸祖氏用景长推筭违天尚未甚逺又幸史册纪载之详去今千有余年犹可细推其后天之时刻也郭太史改厯所定歳周小余二四二五者谓自大明壬寅距今每岁合得此数按此年下距至元辛巳八百一十九年以授时岁周积之二十九万九千一百三十三日六十刻七五五分以辛巳天正冬至己未日子正后六刻逆计之则当时冬至在乙酉日子正后五十四刻后天愈加多矣既不能与当时所测筭者宻合又为百年长一之法以求合于逺古之冬至以八百一十九总乗所长之数而益之则此年冬至又在甲申日七十九刻太不又先天三十七刻乎以此知授时之岁余非定率而统天之距差躔差授时之消长皆谬法也此年冬至所关者钜故攷论加详若大衍诸厯先天愈多则无足论而授时指为日度失行者总论之于后云