数学

　　永按厯书之言固过然使今日犹执一行之恒气注厯推其流失有如前条进退无据之云者
　　又曰其所以为此说者无非欲以定气注厯使春秋二分各居昼夜平分之日以见古法授时之差两日以自显其长殊不知授时是用恒气原未尝不知定气不得为差而西法之长于授时者亦不在此以定气注厯不足为竒而徒失古人置闰之法欲以自暴其长反见短矣故此处宜酌改也后条详之
　　永按授时虽知有定气未知盈缩二根之有推移今时冬至既不为盈初则据定气冬至为根均一嵗之二十三气似不得为长矣【失古人置闰之法详见后辨】
　　又曰问授时既知有定气何为不以注厯曰古者注厯只用恒气为置闰地也
　　永按定气注厯亦正为密于置闰地也闰以无中气之月为的然必合算定朔定气视其无中气之月置闰于此乃为真闰月若只用定朔不用定气则无中气之月未必果无中气也譬之算定朔必合太阳盈缩太隂迟疾视其相防之日命为朔乃为真定朔若得其一遗其一则或有以晦为朔以二日为朔者矣古厯置闰疎谬后渐知用定朔置闰于无中气之月矣而不知用定气则无中气之月亦非真然则尧命羲和以闰定四时成嵗之法至今日始精耳
　　春秋传曰先王之正时也履端于始举正于中归邪于终【邪与余同谓余分也○永按左传本作余汉书引作邪】履端于始序则不愆举正于中民则不惑归邪于终事则不悖葢谓推歩者必以十一月朔日冬至为起算之端故曰履端于始而序不愆也
　　永按履端于始先生说近是然不必朔日也一嵗始冬至即履端于始也杜注步厯之始以为术之端首似后世之推厯元者非也
　　又十二月之中气必在其月如月内有冬至斯为仲冬十一月月内有雨水斯为孟春正月月内有春分斯为仲春二月余月并同皆以本月之中气正在本月三十日之中而后可名之为此月故曰举正于中民则不惑也
　　永按举正于中正即三正之正此正朔示民使民遵之故曰民则不惑正月为嵗首而言举正于中者对冬至为始嵗终为终则正朔在其中间也周之正虽与冬至同月而步厯犹以冬至为始故举正为中且言先王之正时亦通三正而言之也杜注云举中气以正月果尔何以不云举中而云举正乎且古厯节气亦由畧而详由疎而密上古少皞氏以鸟名官有司分司至司啓司闭而左氏亦云凡分至啓闭必书云物啓者立春立夏闭者立秋立冬并二分二至为八节则古时只有八节未有二十四气也二十四气之名葢秦汉以来始有之其名义大约有所本如云惊蛰者今夏小正之啓蛰月令之蛰虫始振也雨水者本月令之始雨水也芒种者本周礼泽草所生种之芒种也小暑者本月令小暑至也处暑者本楚语处暑之既至也白露者本月令白露降也霜降者本荀子霜降杀内月令霜始降也大寒者本鲁语大寒降也而中气节气汉以来亦有小异汉以惊蛰为正月中雨水为二月节而刘歆三统厯始改雨水为正月中惊蛰为二月节三统厯犹以谷雨为三月节清明为三月中而易纬通卦验则以清明为三月节谷雨为三月中然则左氏时尚未有中气节气如今厯之详密不得以举正为举中气
　　右一月之内只有一节气而无中气则不能名之为何月斯则余分之所积而为闰月矣闰即余也前此余分累积归于此月而成闰月有此闰月以为余分之所归则不致春之月入于夏且不致冬之月入于明春故曰归邢于终事则不悖也
　　永按左氏之意本谓闰月当在嵗终今文公元年闰三月为非礼【文公元年本无闰三月永别有辨此未暇及】此左氏习见当时置闰常在嵗终故为此言本非确论亦可见古厯未有中气节气如后世之详密不能定其当闰何月故不得已总归之嵗末秦人以十月为嵗首闰月则为后九月汉初犹仍其失太初厯以后始改之左氏归余于终之言信矣梅先生谓归余分于无中气之月则终字之义似无所指然先生于此句本有两说其答李祠部云闰月之义大防不出两端其一谓无中气为闰月此据左氏举正于中为说乃厯家之法也其一谓古闰月俱在嵗终此据左氏归余于终为论乃经学家之诂也古今厯法原自不同推步之理踵事加密故自今日言厯则以无中气置闰为安而论春秋闰月则以归余之说为长何则治春秋者当主经文今考本经书闰月俱在年终此其据矣按归余于终当以此说为正然则上句举正于中非谓举中气以正月益明矣
　　然惟以恒气注厯则置闰之理易明何则恒气之日数皆平分故其毎月之内各有一节气一中气【假如冬至在十一月朔则必有小寒在其月望后若冬至在十一月晦则必有大雪节气在其月望前余月并然】此两气防之日合之共三十日四十三刻竒以较毎月常数三十日多四十三刻竒谓之气盈又太阴自合朔至第二合朔实止二十九日五十三刻竒以较毎月三十日又少四十六刻竒谓之朔虚合气盈朔虚计之共余九十刻竒谓之月闰乃毎月朔策与两气策相较之差也【假如十一月经朔与冬至同时刻则大寒中气必在十二月经朔后九十刻而雨水中气必在次年正月经朔后一日又八十刻竒其余月准此求之】积此月闰至三十三个月间【即二年零九个月】其余分必满月防而生闰月矣闰月之法其前月中气必在其晦后月中气必在其朔则闰月只有一节气而无中气然后名之为闰月【假如闰十一月则冬至必在十一月之晦大寒必在十二月之朔而闰月只有小寒节气更无中气则不可谓之为十一月亦不可谓之为十二月即不得不名之为闰月矣】斯乃自然而然天造地设无可疑惑者也一年十二个月俱有两节气惟此一个月只一节气望而知为闰月
　　永按造化之妙莫妙于均平与参差二者相为用也若无均平之数则无以为立算之根若无参差之行则无以为变化之用故七政各居一重天各有其本行而必有本轮均轮以生盈缩迟疾且复有最高最卑之行度焉又有两心差之改焉所以变动不穷也使太阳可用恒气何不去其小轮终古只一平行乎
　　今以定气注厯则节气之日数多寡不齐故遂有一月内三节气之时又或有原非闰月而一月内反只有一中气之时其所置闰月虽亦以余分所积而置闰之理不明民乃惑矣
　　永按一月三节气甚稀间有之今时必在冬月又必定朔最大然后有此其或首尾皆节气而中气在月中也则去闰月尚逺其或首尾皆中气而节气在月中也则置闰在此月之前不以后月为闰此于置闰之法初无所妨若一月之内只一中气更无妨于闰月矣
　　然非西法之咎乃译书者之疎畧耳何则西法原只有闰日而无闰月其仍用闰月者遵旧法也亦徐文定公所谓镕西洋之巧算入大统之型模也
　　永按定气注厯改宪之大者当时译书者之失惟在星纪等名系诸中气耳
　　按尧典云以闰月定四时成嵗乃帝尧所以命羲和万世不刋之典也今既遵尧典而用闰月即当遵用其置闰之法而乃不用恒气用定气以滋人惑亦昧于先王正时之理矣是故测算虽精而有当酌改者此亦一端也
　　永按羲和之厯或用恒气与否不可考使当时惟知用恒气今改用定气犹平朔改为定朔其理益精益当耳
　　又曰今但依古法以恒气注厯亦仍用西法最高卑之差以分昼夜长短进退之序而分注于定气日之下即置闰之理昭然众着而定气之用亦并存而不废矣永按定气之用甚大一切阴阳五行自干支出者或系于月建则交节气之日时为要【未交节气系前月既交系今月】或系于年嵗则交立春之日时为要【未交立春系前年既交系今年】诸节气中气各方农家或以之占有验而禄命三式诸术不可尽信亦不可尽废者年月干支为纲维其交界之际尤不可不确也定气恒气之差小者在时大者在日其极差两日有竒此岂可不辨其理之是非以定年月之交界而姑为并存之说使定气仅为分昼夜长短之用乎夫定气所以必当用者何也太阳有本轮均轮本轮之心恒平行于本天而太阳之体实旋行于轮上从地心出线至轮心其度皆平度若太阳行轮上有加减则人视黄道所当之度非轮心之度而气亦非均平之气日行卑时气策未满而度已盈故气短日行高时气策已满而度未盈故气长其积差在高卑之中两日有竒故定气之度即黄道上平剖为二十四段者太阳既到其上即为实度其气即为真气人生于地安得不禀于其所视而更从轮心之平行者乎况又不以平冬至为根而以定至起算天上原无此界限夫以本无之界限命为恒气而注之厯以为民用大者系一年次者系一月非前人之失乎
　　又按恒气在西法为太阳本天之平行定气在西法为黄道上视行平行度与视行度之积差有一度半弱西法与古法畧同所异者最高冲有行分耳古法恒气注厯即是用太阳本天平行度数分节气
　　永按定气时日不均而度均若恒气者时日均而度反不均矣且又以定冬至起算即非本天平行度数之分限【观后壬辰年节气图可见】
　　又曰【厯学骈枝】按古厯毎日行一度原无盈缩言盈缩者自北齐张子信始也厥后隋刘焯唐李淳风僧一行言之綦详厯宋至元为法益密然不以之注厯者为闰月也大衍厯议曰以恒气注厯定气算日月食由今以观固不仅交食用盈缩也凡定朔定望定无处不用但毎月中节仍用恒气不似西洋之用定气耳西洋原无闰月祗有闰日故以定气注厯为便若中土之法以无中气为闰月故以恒气注厯为宜治西法者不谙此理辄诃古法为不知盈缩固其所矣永按定气注厯无妨于置闰而置闰得此始真前已辨之明矣若唐以来中土厯家知有定气而仍以恒气注厯者其故多端一由不知日之所以盈缩者生于小轮也一由不知盈缩之初限不恒系二至也一由不知冬至相距为活泛嵗实而别有恒嵗实也一由不知景长为定冬至而别有平冬至也由不知恒气起定冬至天上无此界限也种种机窍未啓宜其贸贸然用之以注厯岂谓其宜于置闰哉治西法者不能明辨恒气之失而徒诃古法为不知盈缩此则徐李汤罗诸公之疎也康熙壬辰年节气图
　　【恒气非即平气前辨虽明非图不显今以昔年所推康熙壬辰年平定节气分为两层别以一层载古法恒气以显平气恒气之异】

<子部,天文算法类,推步之属,数学,卷三>

　　右图第一层太阳黄道上视行定气注厯以为用者也第二层太阳本天平行平气以平冬至为立算之根诸气皆为定气加减之根不注诸厯者也此两行者在天实有此界限若第三层则冬至为视行定气小寒以后皆从定冬至为根以平气累加之其平气又非平嵗实均剖但以两定冬至嵗实平之【终嵗有微差】谓之恒气在天实无此界限此年最高冲在冬至后七度三十八分四十四秒实减一十六分有竒变为时以加于平冬至者二十六刻有竒故诸恒气皆后于平气三时有竒后此数千年高冲行二三宫定冬至在平冬至后二日则诸恒气不皆后于平气二日乎
　　或曰天体浑然本无界限界限皆人所分即恒气亦自古厯家所分何以知其实有而实无曰十二月建在天实有者也一月分为节气中气亦自然之理也太阳本轮心在本天上平行而黄道上有太阳实行因此两种行度各平分之则有两种界限虽人所分亦因理之实有者而分之若从定冬至起根均二十三气无此理即无此数矣从来推平望平者必无从定朔起算之理何独于恒气而疑之
　　定气注厯遵行已久前此顺治康熙年间民间推步为禄命家用者或仍用恒气或兼存古法无识者将滋其惑尝邂逅先生门人犹有坚持师说者是以不得不辨

　　数学卷三
<子部,天文算法类,推步之属,数学>
　　钦定四库全书
　　数学卷四
　　婺源江永撰
　　冬至权度
　　【履端于始序则不愆厯家详求冬至且求千岁以上冬至证之史传或离或合其故难言元史有六厯冬至开载鲁献公戊寅至元庚辰四十九事纪大衍宣明纪元统天重修大明授时时刻之异同勿庵先生因之作春秋以来冬至攷删去献公一事各以其厯本法详衍术虽明而未有折衷永因先生所攷定者用实法推筭有不合者断其厯误史误名曰冬至权度俟知厯者攷焉】
　　一论平岁实
　　太阳本天有平行厯黄道一周为平岁实与月五星周率朔策合率同理别有本轮均轮最卑最高之行以视行加减平行二十四气时刻多少岁岁不同而古今冬至不能以一率齐之是为活泛之岁实犹之月有实防逐月不同五星有实合毎周不同也授时大统以前太阳高卑之理未明虽知一岁之行有盈缩不悟盈缩之中为平岁实但求岁实于活泛之冬至故一厯必更一周率与岁实然合今则戾古合古又违今统天厯遂立距差躔差之法暗藏消长以求上下两合授时厯本之有百年长一消一之说西厯本囘厯以春分相距测定岁周小余五小时三刻三分四十五秒以万分通之为二四二一八七五此为平行之岁实小余而各节气之定气则以均度加减定之此不易之法也欲攷往古冬至当以平岁实为本当年平冬至时刻乃以定冬至较之知其距最卑之远近或与今法有不合则知其时本轮均轮之有半径差有相去之远者则知史传所记非实测所谓苟求其故千岁之日至可坐而致者此为庶几焉倘以授时之岁实为岁实而以百年长一消一为凖则非法矣
　　一论最卑行
　　太阳本轮最卑防为缩未盈初之端岁有推移与月入转五星入厯皆有行度同理平冬至之改为定冬至也视此防之前后逺近以加度而减时减度而加时焉至元辛巳间最卑与平冬至同度自是以前定冬至皆在平冬至前以后定冬至皆在平冬至后最卑有行度故也【郭氏时未悟此理恒以冬至为盈初大统承用数百年误矣】西法近率最卑岁行一分一秒十微以远年冬至攷之此率似微朒大约当加二秒上求古时定冬至以此为凖焉
　　一论轮径差
　　最卑既有行度矣而太阳之体在均轮均轮之心在本轮本轮之心在本天此两轮半径古今又有不同则距地远近两心有差西法始定两轮半径并千万分之三十五万八千四百一十六而今又渐减则古时必多于此半径大则加减差亦大而以均度变时分加减于平冬至者视今时必稍赢焉此差率出于恒差之外厯家亦不能定者也上攷又当以此消息之【余因刘宋大明五年测景求彼时两半径并详后】