御制数理精蕴

　　合率比例
　　设如以夏布换棉布但知每夏布三丈价银二钱每棉布七丈价银七钱五分今有夏布四十五丈问换棉布若干
　　法以夏布三丈与棉布价银七钱五分相乘得二两二钱五分为一率夏布价银二钱与棉布七丈相乘得一两四钱为二率夏布四十五丈为三率推得四率二十八丈即夏布四十五丈所换之棉布数也此法乃两比例合为一比例也如分作两比例明之每夏布三丈价银二钱今夏布四十五丈则价银应得三两此一比例也棉布价银七钱五分得棉布七丈今夏布四十五丈之价三两则应得棉布二十八丈此又一比例也夫银三两原为夏布四十五丈之价则夏布四十五丈所换之棉布二十八丈价银亦应三两可知矣葢两比例中一以三丈作一率一以七钱五分作一率故三丈与七钱五分相乘得二两二钱五分而为一率是合两一率而为一一率也一以二钱作二率一以七丈作二率故二钱与七丈相乘得一两四钱而为二率是合两二率而为一二率也而后比例之三率即前比例之四率如以两三率相乘为三率则所得四率亦为两四率相乘之数必须以前比例之四率除之方得后比例之四率故即以夏布之四十五丈为三率而得棉布之二十八丈为四率也
　　设如以芝麻换黄米但知每芝麻三石换菉豆五石每菉豆四石换黄米三石今有芝麻五十四石问换黄米若干
　　法以芝麻三石与菉豆四石相乘得十二石为一率又以菉豆五石与黄米三石相乘得十五石为二率芝麻五十四石为三率推得四率六十七石五斗即芝麻五十四石所换之黄米数也此法亦两比例合为一比例也如分作两比例明之每芝麻三石换菉豆五石则芝麻五十四石必换菉豆九十石此一比例也菉豆四石换黄米三石则菉豆九十石必换黄米六十七石五斗此又一比例也夫菉豆九十石原为芝麻五十四石所换则菉豆九十石所换之黄米即芝麻五十四石所换之黄米可知矣葢以两比例之各一率相乘为一率两比例之各二率相乘为二率者即合两次乘除为一次乘除也
　　设如养兵七百名每年额饷一万二千六百两内有新着伍兵三百名已应役七个月问该饷银若干法以原养兵七百名与十二个月相乘得八千四百为一率额饷一万二千六百两为二率新兵三百名与七个月相乘得二千一百为三率推得四率三千一百五十两即兵三百名七个月应得之饷银数也此法亦两比例合为一比例也如分作两比例明之兵七百名得一万二千六百两则兵三百名应得五千四百两【乃兵三百名十二个月应得之数】此一比例也兵三百名十二个月应得五千四百两则七个月应得三千一百五十两此又一比例也今以两比例之各一率相乘为一率两比例之各三率相乘为三率者亦如两比例之各一率二率相乘合为一一率二率也
　　设如原有鹅八只换鸡二十只又鸡三十只换鸭九十只又鸭六十只换羊二只今有羊五只问换鹅几何
　　法以所换羊二只与所换鸭九十只相乘得一百八十只再以所换鸡二十只乘之得三千六百只为一率又以原鸭六十只与原鸡三十只相乘得一千八百只又以原鹅八只乘之得一万四千四百只为二率今羊五只为三率推得四率二十只即羊五只所换之鹅数也此法乃三比例合为一比例也如分作三比例明之羊二只换鸭六十只则羊五只必换鸭一百五十只此一比例也鸭九十只换鸡三十只则鸭一百五十只必换鸡五十只此二比例也鸡二十只换鹅八只则鸡五十只必换鹅二十只此三比例也夫鸡五十只原为鸭一百五十只之所换而鸭一百五十只又原为羊五只之所换则鸡五十只所换之鹅二十只即为羊五只之所换可知矣今以三比例之各一率连乘之为一率又以三比例之各二率连乘之为二率者正合三比例为一比例也
　　设如原有菽三斗换黍二斗又黍四斗换稷三斗又稷五斗换稻四斗又稻六斗换麦五斗今有麦七斗问换菽几何
　　法以所换麦五斗与所换稻四斗相乘得二石复以所换稷三斗乘之得六石再以所换黍二斗乘之得一十二石为一率又以原有稻六斗与原有稷五斗相乘得三石复以原有黍四斗乘之得一十二石再以原有菽三斗乘之得三十六石为二率今有麦七斗为三率推得四率二石一斗即麦七斗所换之菽数也此合四比例为一比例也如分作四比例明之麦五斗换稻六斗则麦七斗必换稻八斗四升此一比例也稻四斗换稷五斗则稻八斗四升必换稷一石零五升此二比例也稷三斗换黍四斗则稷一石零五升必换黍一石四斗此三比例也黍二斗换菽三斗则黍一石四斗必换菽二石一斗此四比例也夫黍一石四斗原为稷一石零五升之所换而稷一石零五升又为稻八斗四升之所换而稻八斗四升又为麦七斗之所换则黍一石四斗所换之菽二石一斗即为麦七斗之所换可知矣今以四比例之各一率连乘之为一率又以四比例之各二率连乘之为二率者正合四比例为一比例也
　　设如原有工人一百开河四十丈二十日工完今有工人一千开河八十丈问得日数几何
　　法以今有工人一千与原开河四十丈相乘得四万丈为一率二十日为二率以原有工人一百与今开河八十丈相乘得八千丈为三率推得四率四日即一千人开河八十丈之日数也此法以原有今有两数互乘以比例者所以齐其分也试将两首位一千工与一百工互乘得十万工然后互乘丈数原有一边得四万丈今有一边得八千丈是原一百工开四十丈则十万工开四万丈其比例相同今一千工开八十丈则十万工开八千丈其比例亦同也因两工数相同故以四万丈与二十日之比即同于八千丈与四日之比葢原有十万工开河四万丈二十日可完今亦有十万工开河八千丈则四日可完为比例四率也然此法实系两比例合为一比例也如分作两比例明之则先以人工为比例原一百工开二十日今一千工即应开二日为今一千工开河四十丈之日数此一转比例也次用丈数为比例原四十丈应开二日今八十丈则应开四日为今一千工开河八十丈之日数此一正比例也法以两比例之一率相乘为一率两比例之三率相乘为三率者正合两比例为一比例也
　　设如原有书一百篇六人写之十日完每篇三百字今有书二百篇八人写之十二日完问每篇得字若干
　　法以今有二百篇与原有六人相乘得一千二百又以原有十日乘之得一万二千为一率每篇三百字为二率以原有一百篇与今有八人相乘得八百又以今有十二日乘之得九千六百为三率推得四率二百四十字即今八人写十二日每篇之字数也试将两首位一百篇与二百篇互乘得二万篇然后互乘人工与日原有一边得一万二千工今有一边得九千六百工葢原有二万篇用一万二千工每篇三百字今亦有二万篇用九千六百工其每篇必二百四十字为比例四率也然此法实系三比例合为一比例也如分作三比例明之则先以篇数为比例原一百篇每篇三百字今匀为二百篇则每篇只应一百五十字此一转比例也然人数不同故次以人数为比例原六人写之每篇应一百五十字今八人写之则每篇应二百字此一正比例也然日数又不同故次以日数为比例原写十日每篇应二百字今写十二日则每篇应二百四十字此又一正比例也法以三比例之各一率连乘之为一率三比例之各三率连乘之为三率者正合三比例为一比例也
　　设如原雇人写书每篇六百字八人写二十日得一百二十篇今写书每篇四百五十字却用十二人写三十日问得篇数几何
　　法以今有四百五十字与原有八人相乘得三千六百又以原有二十日乘之得七万二千为一率一百二十篇为二率以原有六百字与今有十二人相乘得七千二百又以今有三十日乘之得二十一万六千为三率推得四率三百六十篇即今十二人写三十日之篇数也试将两首位六百字与四百五十字互乘得二十七万字然后互乘人工与日原有一边得七万二千工今有一边得二十一万六千工葢原有一边二十七万字用七万二千工得一百二十篇今一边亦二十七万字用二十一万六千工则得三百六十篇为比例四率也然此法亦系三比例合为一比例也如分作三比例明之则先以字数为比例原每篇六百字为一百二十篇今每篇四百五十字则必匀为一百六十篇此一转比例也然人数不同故次以人数为比例原八人写之应得一百六十篇今十二人写之则应得二百四十篇此一正比例也然日数又不同故次以日数为比例原写二十日应得二百四十篇今写三十日则应得三百六十篇此又一正比例也法以三比例之各一率连乘之为一率三比例之各三率连乘之为三率者正合三比例为一比例也
　　设如海船内原有甜水二万零一百六十斤每人每日用二斤足用四个月今又添四千零三十二斤合前数共二万四千一百九十二斤欲用六个月问每日每人应用几何
　　法以原有二万零一百六十斤与今六个月相乘得一十二万零九百六十个月为一率每人每日用水二斤通为三十二两为二率以今有二万四千一百九十二斤与原四个月相乘得九万六千七百六十八个月为三率推得四率二十五两六钱即今每人每日应用之数也试将两首位数互乘得四亿八千七百七十一万零七百斤然后互乘月数原有一边得九万六千七百六十八个月今有一边得一十二万零九百六十个月葢原有水四亿八千七百七十一万零七百斤足用九万六千七百六十八个月每人得三十二两今有水亦四亿八千七百七十一万零七百斤欲用十三万零九百六十个月则每人得二十五两六钱为转比例四率也然此法亦系两比例合为一比例也如分作两比例明之则先以水数为比例原有水二万零一百六十斤每人每日用三十二两今水二万四千一百九十二斤则每人每日应用三十八两四钱此一正比例也然月数不同故次以月数为比例原用四个月每日应用三十八两四钱今欲用六个月则每日应用二十五两六钱此一转比例也法以两一率相乘为一率两三率相乘为三率者正合两比例为一比例也
　　设如原有米八万石用车二十四辆日行四十里二十日运完今有米十万石用车三十辆日行六十里问运完日数几何
　　法以原有八万石与今用车三十辆相乘得二百四十万辆又以今行六十里乘之得一亿四千四百万里为一率二十日为二率以今有十万石与原用车二十四辆相乘亦得二百四十万辆又以原行四十里乘之得九千六百万里为三率推得四率十三日又三分日之一即今米十万石运完之日数也试将两首位数互乘得八十亿石然后互乘车数里数原有一边得九千六百万里今有一边得一亿四千四百万里葢原有米八十亿石用车二百四十万辆行九千六百万里得二十日运完今有米亦八十亿石亦用车二百四十万辆行一亿四千四百万里故十三日又三分日之一运完为转比例四率也然此法亦系三比例合为一比例也如分作三比例明之则先以米数为比例原米八万石运二十日今米十万石则应运二十五日此一正比例也然车数不同故次以车数为比例原车二十四辆应运二十五日今车三十辆则应运二十日此一转比例也然日行里数又不同故次以里数为比例原行四十里应运二十日今行六十里则应运十三日又三分日之一此又一转比例也法以三比例之各一率连乘之为一率三比例之各三率连乘之为三率者正合三比例为一比例也
　　设如原有麦子一万二千石车十二辆每车载三石日行八十里四十日运完今有麦三万石车十六辆每车载四石日行六十里问运完日数几何法以原有麦子一万二千石与今车十六辆相乘得一十九万二千辆又以今每车载麦四石乘之得七十六万八千石又以今行六十里乘之得四千六百零八万里为一率四十日为二率以今有麦子三万石与原有车十二辆相乘得三十六万辆又以原每车载麦三石乘之得一百零八万石又以原行八十里乘之得八千六百四十万里为三率推得四率七十五日即今麦三万石运完之日数也试将两首位数互乘得三亿六千万石然后互乘车数石数里数原有一边得八千六百四十万里今有一边得四千六百零八万里葢原有麦三亿六千万石用车三十六万辆载一百零八万石行八千六百四十万里得四十日运完今有麦亦三亿六千万石用车一十九万二千辆载七十六万八千石行四千六百零八万里得七十五日运完为转比例四率也然此法系四比例合为一比例也如分作四比例明之则先以麦数为比例原麦一万二千石运四十日今麦三万石则应运一百日此一正比例也然车数不同故次以车数为比例原车十二辆应运一百日今车十六辆则应运七十五日此一转比例也然每车所载石数不同故次以石数为比例原每车载三石应运七十五日今每车载四石则应运五十六日二五【即四分日之一】此又一转比例也然日行里数又不同故次以里数为比例原日行八十里应运五十六日二五今日行六十里则应运七十五日此又一转比例也法以四比例之各一率连乘之为一率四比例之各三率连乘之为三率者正合四比例为一比例也
　　正比例带分
　　设如有银买米每米一石价银八钱四分今买米三分石之二问该银若干
　　法以米一石用分母三通为三分为一率银八钱四分为二率分子二分为三率二三率相乘一率除之得四率五钱六分即银数也葢米一石通为三分以三分与八钱四分之比即同于二分与五钱六分之比皆为三分之二之比例也
　　设如有人行路行过五分之二系八十里问总里数几何
　　法以分子二分为一率分母五分为二率行过八十里为三率二三率相乘一率除之得四率二百里即总里数也葢总里数之五分之二为八十里以二分与五分之比即同于八十里与二百里之比皆为五分之二之比例也
　　设如有银买米每米三分石之二价银七分两之五今买米四分石之三问该银若干
　　法以三分石之二为一率七分两之五为二率四分石之三为三率用通分乘法以二率分母七与三率分母四相乘得二十八为乘出之分母又以二率分子五与三率分子三相乘得一十五为乘出之分子是为二十八分之十五为二率三率相乘之数以一率三分石之二除之因分母除不尽乃用通分互乘代除之法除之以乘出之分母二十八与一率之分子二相乘得五十六为除出之分母又以一率之分母三与乘出之分子十五相乘得四十五为除出之分子即得四率五十六分两之四十五为所求之数也如求真数则变零分为两以分母五十六为一率一两为二率分子四十五为三率推得四率八钱余二不尽命为五十六分钱之二约为二十八分钱之一即所求之真数也