御制数理精蕴

　　御制数理精蕴下编卷二
<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>
　　钦定四库全书
　　御制数理精蕴下编卷三
　　线部一
　　正比例
　　转比例
　　合率比例
　　正比例带分
　　转比例带分

　　比例
　　凡物彼此相形并之而用加较之而用减聚之而用乘散之而用除观之不过两率然乘除之间四率之理已黙寓其中如因乘命法曰人几何每人得物几何求总物几何则是每一人得物几何与几何人共得物几何相比而成四率乃自小而得大者也如归除命法曰有物几何命几何人分之每人得物几何则是共人几何共物几何与每一人得物几何相比而成四率乃自大而得小者也葢因命数以一人为法故乘与除各省其率耳是虽名为乘除而实为相比之四率也至于比例正法则所该甚广大而推歩七政天行测量髙深广逺小而量功命事度大移小无一非由比例而得葢以两数为比例用今有之数即可以得未有之数也比例之理虽分相连相当二种而相当比例之中实又兼相连比例相当比例一率比二率如三率比四率而相连比例首率比中率若中率比末率者即是中率为二率而又为三率也尽人皆知线有线之比例面有面之比例体有体之比例殊不知差分盈朒方程借衰疉借之类正皆比例之属也然此类中有合数之比例分数之比例均数之比例借数之比例非条分缕析各项专论则不备故仍旧各自为类而独于比例中最切者详明其理以列法焉其法一名异乘同除【或名为准测或名为顺单】以原有之两件相除故为同除以今有之一件乘之故为异乘【如先乘而后除亦同】而今则质言之曰正比例葢以原有之两件为一率二率以今有之一件为三率而所求之一件则为四率也一名为同乘异除【或名为变测或名为互视或名为逆单】以原有之两件相乘故为同乘以今有之一件除之故为异除而今则质言之曰转比例葢以原有之两件为二率三率以今有之一件为一率而所求之一件则为四率也然论其乘除之名虽异究其比例之理则一而已今以数明之如原有之两数为二与四今有之一数为八以原有之二作一率原有之四作二率今有之八作三率即得今所求之四率为十六而一率二与二率四之比即三率八与四率十六之比为相当之比例也如原有之两数为八与四今有之一数为十六以原有之八作二率原有之四作三率今有之十六作一率即得今所求之四率为二而一率十六与二率八之比即三率四与四率二之比或以一率十六与三率四之比即同于二率八与四率二之比皆为相当之比例也总之乘除之名有异同四率之列有更换而既成比例之后其理无不归于大同由此引伸触类推而广之有合几四率而为一四率者则名为同乘同除【或名为重测或名为顺较逆较】而今则质言之曰合率比例葢其理亦不过合几乘而为一乘合几除而为一除各按四率参互错综岂能岀于比例之外哉凡此各种比例俱设数例于后以明立法之根加之解说以广用法之意

　　正比例
　　设如有银买米每米一石银八钱今买米二百四十石问共该银若干
　　法以米一石为一率银八钱为二率今买米二百四十石为三率二三率相乘一率除之得四率一百九十二两即共银数也葢一石与二百四十石为加二百四十倍而八钱与一百九十二两亦为加二百四十倍【见几何原本六卷第十五节】故一石与八钱之比即同于二百四十石与一百九十二两之比也【此法一率是一止用八钱乘二百四十石亦得但为明正比例之理故首设一二易法使人好推寻也】
　　设如有银买米每银一两买米一石三斗今有银三百二十两问共买米若干
　　法以银一两为一率米一石三斗为二率今银三百二十两为三率二三率相乘一率除之得四率四百一十六石即共米数也葢一两与一石三斗之比即同于三百二十两与四百一十六石之比也
　　设如有银赏人每三人赏银一两八钱今有二百四十人问共该银若干
　　法以三人为一率一两八钱为二率今有二百四十人为三率二三率相乘一率除之得四率一百四十四两即共银数也葢三人与一两八钱之比即同于二百四十人与一百四十四两之比也
　　设如有谷换米每谷一石四斗换米八斗四升今有谷三十二石六斗八升问换米若干
　　法以谷一石四斗为一率米八斗四升为二率今有谷三十二石六斗八升为三率二三率相乘一率除之得四率一十九石六斗零八合即所换共米数也葢谷一石四斗与米八斗四升之比即同于谷三十二石六斗八升与米一十九石六斗零八合之比也
　　设如天上二度当地面四百里今七度该里数若干法以原有之二度为一率四百里为二率今有之七度为三率二三率相乘一率除之得四率一千四百里即七度之里数也葢一率二与二率四之比为加一倍而三率七与四率十四之比亦为加一倍故二率得一率中之几分之几则四率亦得三率中之几分之几而为相当比例四率也
　　设如一星一日内行一度三十分今问八刻内应行若干
　　法以原数一日变作九十六刻为一率一度三十分变作九十分【一度作六十分加入三十分共九十分】为二率今星行八刻为三率二三率相乘一率除之得四率七分半即八刻内所行之数葢九十六刻与九十分之比即同于八刻与七分半之比也然将日变为刻者因每日九十六刻不以十进位又今所有者为八刻故以刻数与刻数相比也度变为分者因每度六十分亦不以十进位而今八刻内所行者必为分故以分数与分数相比也
　　设如验时仪算炮声自烟起至闻声计七秒得五里今得十四秒问里数若干
　　法以七秒为一率五里为二率今得十四秒为三率二三率相乘一率除之得四率十里即十四秒之里数也葢七秒与五里之比即同于十四秒与十里之比也
　　设如有羊四百六十只共卖银八十二两八钱问每羊一只价银几何
　　法以羊四百六十只为一率银八十二两八钱为二率羊一只为三率推得四率一钱八分即每羊一只之价也【此法三率是一止用羊四百六十只归除八十二两八钱亦得但列四率法中不得不备其一体也】
　　设如有羊一羣共二百四十只又生羔七十二只问加羊羣内十分之几
　　法以羊二百四十只为一率十分为二率今生羔七十二只为三率推得四率三分即为加羊羣内十分之三也葢二百四十与十分之比即同于七十二与三分之比若将二百四十作十分每分得二十四将羊羔七十二作三分每分亦得二十四总而约之故为十分之三也
　　设如有田科粮每三亩科粮八斗四升今有四千六百三十五亩问得粮若干
　　法以三亩为一率八斗四升为二率今有四千六百三十五亩为三率推得四率一千二百九十七石八斗即所得共粮数也葢三亩与八斗四升之比即同于四千六百三十五亩与一千二百九十七石八斗之比也
　　设如用古量法豆区釜皆以四进有八十豆当二十区有二十区当釜若干
　　法以八十豆为一率二十区为二率又为三率推得四率五釜即二十区所当釜数也此正比例中相连比例法也葢因二十区与二十区相乘得四百区而八十豆与五釜相乘亦得四百区二十区既为二率又为三率故谓相连比例是以八十豆与二十区之比即同于二十区与五釜之比也
　　设如一商原有本银三千两一年得利银九百两今复将九百两为本问一年得利若干
　　法以三千两为一率九百两为二率又为三率推得四率二百七十两即九百两所得之利也此法以九百两为二率又为三率葢三千两与九百两之比为三与九之比例而九百两与二百七十两之比亦为三与九之比例也
　　转比例
　　设如有田一亩原阔八歩长三十歩今阔要十二歩问长得几何
　　法以今阔十二歩为一率原长三十歩为二率原阔八歩为三率二三率相乘一率除之得四率二十歩即今阔十二歩之长也此法以原有之两数相乘以今有之一数除之而得今所求之数者因乘出两数相同故也在正比例原有之两件为一率二率今有之一件为三率而今所求之一件为四率俱以原有之一件与今有之一件相乘其积相同在转比例则原有之两件为二率三率今有之一件为一率而今所求之一件为四率是原有之两件相乘今有之两件相乘其积相同此两法异同之故也
　　虽今阔比原　　　　　　　　　　　　　【得】阔多　　　　　　　　　　　　　　　　　【二百】而今长却比原长少故原【八歩】有之【三十歩】阔与长相乘四十歩而今有之阔【十二歩】与长【二十歩】相乘亦得二百四十歩其积既同是以转而比之自成比例葢今阔比原阔多三分之一今长比原长少三分之一其比例相同【见几何原本七卷第三节】故今阔十二歩与原阔八歩之比即同于原长三十歩与今长二十歩之比也若借正比例论之以原阔八歩为一率原长三十歩为二率今阔十二歩为三率二三率相乘一率除之得四率四十五歩则是今阔比原阔多今长亦比原长多所容积数亦多而与一亩之数不合矣故转以今阔十二歩为一率原长三十歩为二率原阔八歩为三率而得四率二十歩是为一率与三率之比同于二率与四率之比也
　　设如有地寛二十丈长一百二十丈今换地寛三十丈问长得几何
　　法以今寛三十丈为一率原长一百二十丈为二率原寛二十丈为三率二三率相乘一率除之得八十丈即今寛三十丈之长也此法原有之寛与长相乘得二千四百丈今有之寛与长相乘亦得二千四百丈其积既同故转而比之自成比例以今寛比原寛以原长比今长俱三与二之比例是以今寛三十丈与原寛二十丈之比即同于原长一百二十丈与今长八十丈之比也
　　设如佣工开渠八人开之二十日完今加倍用十六人开之问得几日完
　　法以今十六人为一率原二十日为二率原八人为三率二三率相乘一率除之得四率十日即十六人完工之日也此法因工少而用日多故加人使工多而用日少葢今十六人与原八人之比即今之工加一倍而原二十日与今十日之比则今所得之日亦必减一倍故一率十六人与三率八人之比即同于二率二十日与四率十日之比也
　　设如有地四百八十亩八人耕之十二日完今用六人耕之问得几日完
　　法以今六人为一率原十二日为二率原八人为三率二三率相乘一率除之得四率十六日即六人耕完之日也此法人数日数不同而所耕之田则同为四百八十亩而所用之工又同为九十六故以八人论一日八工十二日则用九十六工以六人论一日六工十六日亦用九十六工也故转用四率自成比例以一率六人与三率八人之比即同于二率十二日与四率十六日之比也
　　设如众军支米足用四年则每人每月支米三斗今欲将四年之米足用十二年问每人每月应支几何
　　法以今欲用十二年为一率原支米三斗为二率足用四年为三率二三率相乘一率除之得四率一斗即足用十二年每人每月应支之数也此法支米多则足用年数少今支米少则足用年数多葢四年与十二年之比在年为加三分之二而三斗与一斗之比在米又为减三分之二其比例固同也
　　设如木星十二年一周天每年行三十度土星则二十八年一周天问每年行几度
　　法以土星所行一周二十八年为一率木星每年所行三十度为二率木星所行一周十二年为三率二三率相乘一率除之得四率十二度五十一分二十五秒有余即土星每年所行之度数也葢木星周天比土星年数少而行度却多土星周天比木星年数多而行度却少多得少而少反得多故转而比之以二十八年与十二年之比即同于三十度与十二度有余之比也
　　设如一人借人之绢宽三尺长二十四丈今还绢宽四尺问长该若干
　　法以今绢宽四尺为一率原绢长二十四丈为二率原绢宽三尺为三率二三率相乘一率除之得四率十八丈即为今所还宽四尺绢之长也葢原绢宽三尺长二十四丈相乘得七百二十尺今绢宽四尺长十八丈相乘亦得七百二十尺因其积数相同故今绢宽四尺与原绢宽三尺之比即同于原绢长二十四丈与今绢长十八丈之比也
　　设如验时仪坠子其绳长四尺四寸八分一厘二豪八丝四刻内来往共三千次今造一坠欲使来一秒往一秒问绳长若干
　　法以四刻化三千六百秒为今坠子往来次数自乘得一千二百九十六万次为一率原坠绳长四尺四寸八分一厘二豪八丝为二率以原坠往来三千次自乘得九百万次为三率二三率相乘一率除之得四率三尺一寸一分二厘即今所求坠绳之长也夫以四刻化秒者葢以所求之坠子欲其来一秒往一秒也故秒数即次数四刻所化之秒即今坠子在四刻内往来之次数也其比例以次数自乘者因坠子往来之际已成平面形故以往来之方数相比为面比面而原坠与今坠之长数相比为线比线务使其类相当而后可以相比也是以今坠往来次数自乘与原坠往来次数自乘之比即同于原坠长数与今坠长数之比也然原坠于四刻内往来之次数少而坠却长今坠于四刻内往来之次数多而坠却短故以今坠之往来次数与原坠之往来次数为比即同于原坠之长与今坠之长为比所以为转比例也
　　设如有正方池一面每边十二丈今欲作宽八丈之池使其池面积数与方池等问长得几何
　　法以今池宽八丈为一率原池长十二丈为二率原池宽十二丈为三率推得四率十八丈即今欲作池之长也此转比例中相连比例法也葢原池方面每边十二丈其积一百四十四丈即二率三率相乘之数今所得四率长十八丈与一率宽八丈相乘亦得一百四十四丈两数相等故以一率今池宽八丈与三率原池宽十二丈之比即同于二率原池长十二丈与四率今池长十八丈之比也
　　设如原用金九两系九成今用八成金折还当加几两
　　法以今金八成为一率原金九两为二率原金九成为三率推得四率十两零一钱二分五厘内减九两余一两一钱二分五厘即八成金当加之数也此法二率三率为体虽不同而数则一故亦为相连比例葢以原金九两又系九成相乘得十成金八两一钱以今之八成与所得十两零一钱二分五厘相乘亦得十成金八两一钱是八成与九成之比即同于九两与十两零一钱二分五厘之比也