御制数理精蕴

　　设如有银买蜡每银二两六钱买蜡十斤零五分斤之二又七两零二分两之一今有银九钱问买蜡几何
　　法以银二两六钱为一率以蜡十斤通为一百六十两又五分斤之二通为六两四钱又七两零二分两之一通为七两五钱共得一百七十三两九钱为二率今有银九钱为三率推得四率六十两零一钱九分收为三斤零十二两一钱九分即所求之蜡数也此法虽有零分而分两实可相通故各相通以为比例四率也
　　设如有银买羽绒每三分丈之一价银四分两之三今欲买八分丈之七问该银若干
　　法以原羽绒三分丈之一为一率原银四分两之三为二率今羽绒八分丈之七为三率用通分乘法以二率分母四与三率分母八相乘得三十二为乘出之分母又以二率分子三与三率分子七相乘得二十一为乘出之分子是为三十二分之二十一为二率三率相乘之数乃以一率三分丈之一除之因分母除不尽乃用通分互乘代除之法除之以乘出之分母三十二与一率之分子一相乘仍得三十二为除出之分母又以一率之分母三与乘出之分子二十一相乘得六十三为除出之分子即得四率三十二分两之六十三为所求之数也满分母三十二分收为一两余三十一【六十三分内减去三十二分仍余三十一】为一两又三十二分两之三十一如求真数则以分母三十二为一率一两为二率分子三十一为三率推得四率九钱六分八厘七豪五丝与整数一两相加得一两九钱六分八厘七豪五丝即真数也
　　设如有银买缎每缎二疋共价八两又五分两之四今欲买三十六疋问共价若干
　　法以二疋为一率共价八两用分母五通为四十分加分子四得四十四分为二率今买三十六疋为三率推得四率七百九十二分以每分母五分收为一两得一百五十八两又五分两之二【以五分为一率一两为二率七百九十二分为三率推得四率一百五十八两余二分即命为五分两之二】即所求之数也如以五分两之二收为四钱【五分为一两则二分为四钱】则得一百五十八两四钱即缎三十六疋之共价也如以子母分变为真数求之二疋共价八两又五分两之四则五分为一两四分为八钱是二疋共价为八两八钱即以二疋为一率八两八钱为二率三十六疋为三率亦得四率一百五十八两四钱为缎三十六疋之共价也
　　转比例带分
　　设如一案长九尺宽一尺六寸今欲将原长减三分之一其面积仍与原案等问宽几何
　　法以原长九尺用分母三归之得每分三尺于原长九尺内减去一分之三尺余六尺为今长为一率原宽一尺六寸为二率原长九尺为三率二三率相乘一率除之得四率二尺四寸即今所求之宽也此法因分母三可以度尽原长故变今长为真数与他率为比例也
　　设如营造原每日用五十六人为一月又九分月之三可以完工今每日用六十四人问完工之日得几何
　　法以今用六十四人为一率以分母九通一月为九分加入分子三共为九分月之十二为二率原用五十六人为三率推得四率九分月之十【月余一分半】分半满分母九分收为一【十分半内减去九分余一分半】约为六分月之一即得一月又六分月之一为今用六十四人完工之日也葢六十四人与一月又九分月之三之比即同于五十六人与一月又六分月之一之比也
　　设如原有一门帘用绫一丈二尺其绫宽一尺五寸今欲作一新帘其绫比原绫宽七分尺之三问应用长数几何
　　法以原宽一尺五寸用分母七通为十分半加入分子三得今宽一十三分半为一率原长一丈二尺为二率原宽十分半为三率推得四率九尺又一百三十五分尺之四十五约为三分尺之一即得九尺又三分尺之一为今应用之长数也葢今宽十三分半与原宽十分半之比即同于原长一丈二尺与今长九尺又三分尺之一之比也
　　设如城守兵一营其粮可支一年又七分年之二今汰去三分之一问应支年数几何
　　法先以年分母七通一年为七分加入分子二得七分年之九又以兵分子一减分母三得二为三分之二为现存兵数【汰去三分之一则存者为三分之二】因两分母不同故用互乘以齐之以两分母三七相乘得二十一为共母分即原兵分以年分母七互乘兵分子二得十四为今存兵分以兵分母三互乘年分子九得二十七为原年分即以所通今存兵十四分为一率原年数二十七分为二率原兵二十一分为三率推得四率二十一分年之四十分半满分母二十一分收为一年余十九分半【四十分半内减二十一分余十九分半】约为七分年之六分半即得一年又七分年之六分半为今应支之年数也葢今存兵比原兵少三分之一则支粮年数必多三分之一故今存兵十四分与原兵二十一分之比即同于原年数二十七分与今年数四十分半之比也

　　御制数理精蕴下编卷三
　　钦定四库全书
　　御制数理精蕴下编卷四
　　线部二
　　按分递折比例【二八差分　三七差分　　四六差分递折差分　加倍减半差分】

　　按分递折比例
　　差分之欵项虽多而按分递折者皆为相连比例故约之而归一类如二八三七四六差分俱以十分为总率而按各分以分之者也如递折差分亦以十分为率而按十分之几以递折之者也如加倍减半差分则以倍半为率按一定之分而加减之者也今细分其目如左
　　二八差分者以总物平分十分一得十分之二一得十分之八有三色者则以二与八与三十二为衰数葢八与三十二之比即如二与八之比也有四色者则以二与八与三十二与一百二十八为衰数葢三十二与一百二十八之比亦如二与八之比也至于五色以上者皆以相连比例求各衰数总不越乎二八之比例故曰二八差分
　　三七差分者以总物平分十分一得十分之三一得十分之七有三色者则以九与二十一及四十九为【与二以九为第一衰数者因三与七非彼此度尽之数七作三分必至竒零不尽故以三因三得九为三分则以三因七得二十一为七分如二十一转为三分则四十九又为七分矣】衰数葢九十一即如三与七之比而二十一与四十九亦如三与七之比也有四色者则以二十七与六十三及一百四十七与三百四十三为衰数【以三因九得二十七为三分故以七因九得六十三为七分若六十三转为三分则一百四十七为七分一百四十七转为三分则三百四十三又为七分矣】葢二十七与六十三六十三与一百四十七一百四十七与三百四十三皆如三与七之比也五色以上者皆以相连比例求各衰数总不越乎三七之比例故曰三七差分
　　四六差分者以总物平分十分一得十分之四一得十分之六有三色者则以四与六与九为衰数葢六与九之比即如四与六之比也有四色者则以四与六与九与一三五为衰数葢九与一三五之比亦如四与六之比也五色以上者亦以相连比例求各衰数总不越乎四六之比例故曰四六差分
　　递折差分者十分之中得其几分即为几折如得其六分即为六折得其四分即为四折若夫五折则为十分之半故载于倍半法中而别为一类
　　加倍差分其数自少而多皆以倍而加减半差分则数自多而少皆以半而减因加减有定分故立衰有定例总以加倍减半之数为相连比例设为借数以求正数也
　　二八差分
　　设如有银三千两令二等人户二八纳之问各该若干
　　法以二分八分相并得十分为一率银三千两为二率二分为三率推得四率六百两为下等人户所纳之数仍以二分八分相并之十分为一率银三千两为二率以八分为三率推得四率二千四百两即为上等人户所纳之数也此法两用四率者正为明比例之理葢二分八分相并之十分与总银三千之比即如二分之与六百之比八分之与二千四百之比也
　　又捷法以二八所并之十分归除总银三千两得每分三百两以二分乘之得六百以八分乘之得二千四百葢每一分得三百而二分得六百八分得二千四百也又或先得二分所纳之数于总银内减之即八分所纳之数此又正法外之变法也
　　设如有人一千六百名二分赏银八分赏米问赏银人若干赏米人若干
　　法以二分八分相并得十分为一率人一千六百名为二率二分为三率推得四率三百二十名为应赏银之人如以八分为三率推得四率一千二百八十名即应赏米之人也葢二分八分相并之十分与总人一千六百之比即如二分之与三百二十名之比八分之与一千二百八十名之比也
　　又捷法以二八所并之十分归除总人数一千六百名得每分一百六十名以二分乘之得赏银人三百二十名以八分乘之得赏米人一千二百八十名葢每一分得一百六十名而二分得三百二十名八分得一千二百八十名也
　　设如有米五百八十八石令甲乙丙三人二八分之问每人应得几何
　　法以二分为甲衰八分为乙衰三十二分为丙衰相并得四十二分为一率总米五百八十八石为二率以甲二分为三率推得四率二十八石即甲分米数以乙八分为三率得四率一百一十二石即乙分米数以丙三十二分为三率得四率四百四十八石即丙分米数也此法用二与八八与三十二者即二八相连比例分葢总分数四十二分与总米五百八十八石之比即二分与二十八石之比八分与一百一十二石之比即三十二分与四百四十八石之比也又捷法以总数四十二分归除总米五百八十八石得每分一十四石以二分乘之得甲米二十八石以八分乘之得乙米一百一十二石以三十二分乘之得丙米四百四十八石也
　　设如有铜五百二十斤錬成精铜每十分中去渣二分余精铜八分问精铜与渣各得若干
　　法以十分为一率铜五百二十斤为二率八分为三率推得四率四百一十六斤为精铜之数如以二分为三率推得四率一百零四斤即铜渣之数也葢十分与五百二十斤之比即如八分之与四百一十六斤之比二分之与一百零四斤之比也
　　又捷法以十分归除总铜五百二十斤得每分五十二斤以八分乘之得四百一十六斤以二分乘之得一百零四斤葢每一分五十二斤而二分得一百零四斤八分得四百一十六斤也又或先得精铜八分数减总铜余即铜渣二分数也
　　设如有田二千六百三十五亩以麦谷豆麻四色递次二八分种问各田应得几何
　　法以二分为麻衰八分为豆衰三十二分为谷衰一百二十八分为麦衰并之得一百七十分为一率总田二千六百三十五亩为二率以麦一百二十八分为三率得四率一千九百八十四亩即麦田数如以谷三十二分为三率得四率四百九十六亩即谷田数如以豆八分或麻二分为三率所得四率即豆一百二十四亩与麻三十一亩之田数也又捷法以总数一百七十分除总田数二千六百三十五亩得每分一十五亩五分乃以每色分数乘之即得每色应种数也
　　设如有银三千四百一十两令五商递次二八分出问各出几何
　　法以一商为二分一商为八分一商为三十二分一商为一百二十八分一商为五百一十二分并之得六百八十二分为一率总银三千四百一十两为二率以五百一十二分为三率得四率二千五百六十两即五百一十二分应出之数如以一百二十八分为三率得四率六百四十两即一百二十八分应出之数如以三十二分为三率得四率一百六十两即三十二分应出之数如以八分或二分为三率所得四率四十两即八分应出之数一十两即二分应出之数也
　　又捷法以总数六百八十二分除总银三千四百一十两得每分五两再以每人分数乘之即得每人应出银数也
　　设如有粮二千六百五十五石九斗令甲乙丙丁戊五等人户照二八递减纳之甲三十户乙四十户丙五十户丁六十户戊七十户问各户所纳几何各等户共纳几何
　　法以五百一十二为甲一户分数再以甲三十户乘之得一万五千三百六十为甲三十户共分数以一百二十八为乙一户分数再以乙四十户乘之得五千一百二十为乙四十户共分数又以三十二为丙一户分数再以丙五十户乘之得一千六百为丙五十户共分数又以八为丁一户分数再以丁六十户乘之得四百八十为丁六十户共分数又以二为戊一户分数再以戊七十户乘之得一百四十为戊七十户共分数以所得五等共分数并之得二万二千七百为总分数为一率总粮二千六百五十五石九斗为二率以甲五百一十二分为三率得甲一户纳五十九石九斗零四合又以甲三十户乘之得甲共纳一千七百九十七石一斗二升以乙一百二十八分为三率得乙一户纳十四石九斗七升六合又以乙四十户乘之得乙共纳五百九十九石零四升以丙三十二分为三率得丙一户纳三石七斗四升四合又以丙五十户乘之得丙共纳一百八十七石二斗以丁八分为三率得丁一户纳九斗三升六合又以丁六十户乘之得丁共纳五十六石一斗六升以戊二分为三率得戊一户纳二斗三升四合又以戊七十户乘之得戊共纳十六石三斗八升也
　　又捷法以总分数除总粮数得每一分一斗一升七合以各等一户分数乘之得各等一户纳粮之数以各等共户分数乘之得各等共户纳粮之数葢前法有各等户而各等之中又有众户故以定分数【二八三十二一百二十八五百一十二之数】为各等分数又以众户乘之为各等共户之分数此捷法以总分数除总粮是得各等每一户中之一分故以每一户分数乘之得每一户之数以每一等共分数乘之得每一等之全数也
　　三七差分
　　设如有银五千两令东西二县三七支销问各该几何
　　法以七分为东县衰数三分为西县衰数并之得十分为一率总银五千两为二率以七分为三率得四率三千五百两即东县应支之数如以三分为三率得四率一千五百两即西县应支之数也葢三七比例亦以总衰数与总银数之比即若每县衰数与每县银数之比故十分与五千之比即若三分与一千五百之比七分与三千五百之比也又捷法先以总衰十分除总银五千两得每分五百两以七分乘之即东县之数以三分乘之即西县之数或得东县数于总银内减之余即西县数也此法以总衰除总银得每分五百两以七乘之即得七分以三乘之即得三分也前法先乘而后除后法先除而后乘其理一也