御制数理精蕴

　　法以三人为实列于上二疋为法列扵下以二因三得六即书于本位下定位以实之三人即是单位而法又止一位为疋今得数之六与实之单位相对故知六是疋位得共数为六疋也
　　设如有八人每人赏米六石问共得几石
　　法以八人为实列扵上六石为法列扵下以六因八得四十八将四书于前位下【前位为十位故十数纪前位下】八书于本位下【本位为单位故单数纪本位下】定位以实之八人即是单位而法亦止一位为石今得数之八与实之单位相对即知八是石位而四在石之前一位故知四是十位得共数为四十八石也
　　设如有一十二人每人赏银五两问共得几两法以一十二人为实列于上五两为法列扵下命两位与人之单位相齐先以五乘二得一十将十进前一位作一防志之纪○于本位下【此数无单故下纪○】次以五乘一仍得五并所进之一为六故书六于本位下【一虽为十位而以五乘一则一下为本位矣】共得六○定位因实之单位对法之两位而得数之○与实之单位相对故知○为两位而六为十位得共数为六十两也
　　设如有二十四人每人赏银三两六钱问共得几两法以二十四人为实列于上三两六钱为法列于下命钱位与人之单位相齐乃以法之六遍乘实之二四其所得之单位数即对本法位下书之六乘四得二十四将二十进前一位作二防志之四书于本位下次以六乘二得一十二将十进前一位为一书之二并所进之二为四故书四于本位下【二虽为十位而以六乘二则二下即为本位矣】法之六既与实乘毕次以法之三遍乘实之二四其所得之单位数即对本法位下书之三乘四得一十二将十进前一位作一防志之二书于本位下次以三乘二得六并所进之一为七故书七于本位下法之三又与实乘毕乃用加法并之共得八六四总书扵下定位以实尾之四系四人为单位而法尾为钱今得数末位之四与实之单位相对即知四是钱位二位为两三位为十两得共数为八十六两四钱也
　　设如有田三百六十亩每亩纳粮三升五合问共得若干
　　法以三百六十亩为实列扵上三升五合为法列于下实之单位无数则补○以存其位命合位与亩之单位相齐乃以法之五遍乘实之三六○其所得之单位数即对本法位下书之五乘○仍为○故下纪○五乘六得三十将三十进前一位作三防志之本位纪○五乘三得一十五将十进前一位为一书之五并所进之三为八故书八于本位下又以法之三遍乘实之三六○其所得之单位数即对本法位下书之三乘○仍为○故下纪○三乘六得一十八将十进前一位作一防志之八书于本位下三乘三得九并所进之一为十故进前一位为一书之本位纪○乘毕用加法并之共得一二六○○总书于下定位以实尾之○系单位法尾是合今得数末位之○与实之单位相对即知末位之○是合前一位是升向前数至首位得十石因知共数为一十二石六斗也
　　设如有田三顷五十亩每顷纳粮一石二斗三升问共得若干
　　【于下命】法以三顷五十亩为实【因亩位无数故作○以存其位】列于上一石二斗三升为法列石位与顷之单位相齐【题中言每顷纳一石故石与顷对为单位】乃以法之三遍乘实之三五○其所得之单位数即对本法位下书之三乘○仍得○故下纪○次以三乘五得一十五将十进前一位作一防志之五书于本位下次以三乘三得九并所进之一为十故进前一位为一书之本位纪○又以法之二遍乘实之三五○其所得之单位数即对本法位下书之二乘○仍得○故下纪○二乘五得一十将十进前一位作一防志之本位纪○二乘三得六并所进之一为七故书七于本位下又以法之一遍乘实之三五○其所得之单位数即对本法位下书之一乘○仍得○一乘五仍得五一乘三仍得三俱各书于本位下乘毕用加法并之共得四三○五○总书于下定位因每顷纳粮一石二斗三升即命顷为单位而石亦为单位其后二位则为竒零凡法实之竒零有一位则统得数之两位今竒零既有二位则统得数之四位故从后截去四位而第五位定为石因知共数为四石三斗零五合也
　　设如有金三十六两每两价银九两九钱八分问共价几何
　　法以三十六两为实列于上九两九钱八分为法列于下实中钱位分位俱无数则补作○○以存其位命分位与分位相齐乃以法之八遍乘实之三六○○先以八乘○○仍得○○故下纪○○次以八乘六得四十八将四十进前一位作四防志之八书于本位下次以八乘三得二十四将二十进前一位为二书之四并所进之四为八故书八于本位下又以法之九遍乘实之三六○○先以九乘○○仍得○○故下纪○○次以九乘六得五十四将五十进前一位作五防志之四书于本位下次以九乘三得二十七将二十进前一位作二防志之七并所进之五为十二十又进前一位为一并所志之二为三故前位书三本位书二又以法之九遍乘实之三六○○先以九乘○○仍得○○故下纪○○次以九乘六得五十四将五十进前一位作五防志之四书于本位下次以九乘三得二十七将二十进前一位作二防志之七并所进之五为十二十又进前一位为一并所志之二为三故前位书三本位书二乘毕用加法并之共得三五九二八○○定位因题言每两价银九两九钱八分爰以两为单位其后二位则为竒零竒零既有二位则统得数之四位故从后截去四位而第五位定为两第六位为十第七位为百因知共数为三百五十九两二钱八分也
　　设如有物二十六斤求两数
　　法以二十六斤为实列于上以每斤十六两为法列于下乃以法之六遍乘实之二六其所得之单位数即对本法位下书之六乘六得三十六将三十进前一位作三防志之六书扵本位下次以六乘二得一十二将十进前一位为一书之二并所进之三为五故书五于本位下又以法之一遍乘实之二六其所得之单位数即对本法位下书之一乘六仍得六故下书六次以一乘二仍得二故下书二乘毕用加法并之得四一六定位因实尾是单位而法尾又是两位故得数末位之六即为单位为两而前一位为十又前一位为百因知得数为四百一十六两也
　　又法斤求两身加六名为定身加法葢以十六两之十为一乘之仍得原数故以本身加六即得如二十六斤则从首位加起二六加一十二将一对实之十位二对实之单位下书之又六六加三十六则三对实之单位而六对实之单位后一位书之用加法相并得四一六定位以原斤数之后一位为两今得数末位之六在原斤数之后一位即知是两因知得数为四百一十六两也
　　设如周天三百六十度每度六十分问共得若干分法以三百六十度为实列扵上以六十分为法列扵下【因单位俱无数故各作○以存其位】乃以法之○遍乘实之三六○仍皆得○故各纪○于各位下又以法之六遍乘实之三六○其所得之单位数即对本法位下书之六乘○仍得○故本位下纪○次以六乘六得三十六将三十进前一位作三防志之六书于本位下次以六乘三得一十八将十进前一位作一防志之八并所进之三为十一十又进前一位为一并所志之一为二故前位书二本位书一乘毕用加法并之共得二一六○○定位以实之末位是单位法之末位是分今求分数故得数末位之○即是分之单位向前数至首位得万因知共数为二万一千六百分也
　　设如有验时仪坠子来一秒往一秒今十五分问共得来往几秒
　　法以十五分为实列于上以每分六十秒为法列于下乃以法之○遍乘实之一五仍皆得○故各纪○于本位下又以法之六遍乘实之一五其所得之单位数即对本法位下书之六乘五得三十将三十进前一位作三防志之本位纪○次以六乘一仍得六并所进之三为九故书九于本位下定位以实之末位是单位法之末位是秒今求秒数故得数末位之○即是秒之单位其前一位为十又前一位为百因知共数为九百秒也
　　设如一尺二寸自乘求积【以本数乘本数故为自乘】
　　法以一尺二寸互为法实列扵上下乃以法之二遍乘实之一二其所得之单位数即对本法位下书之二乘二得四故下书四次以二乘一仍得二故下书二又以法之一遍乘实之一二其所得之单位数即对本法位下书之一乘二仍得二故下书二次以一乘一仍得一故下书一乘毕用加法并之共得一四四定位因自乘数成平方面其每一尺正方面容积一百寸故百寸为尺百尺为丈俱以两位命之今实之末位为寸即命为单位法之末位是寸得数末位之四与实之单位相对即知为寸位向前第二位为十寸第三位为百寸既以百寸为尺即知得数为一尺四十四寸也若命尺为单位则扵尺上命位其后一位为竒零故扵得数内从末截去二位以第三位为尺【葢自乘乃两数相乘两数既各有一位零数故截去两位算也】今得数有三位即知首位为一尺首位既为尺末位又既为寸则中一位为十寸可知矣
　　设如一尺二寸自乘再乘求积【以本数乘本数所得之数又以本数乘之故谓之自乘再乘】
　　法先以一尺二寸互为法实按法自乘得一尺四十四寸又以一尺四十四寸为实复以一尺二寸为法按法乘之共得一七二八定位因自乘再乘数成立方体其每一尺正方体容积一千寸故以千寸为尺千尺为丈俱以三位命之今实之末位为寸即命为单位法之末位是寸得数末位之八与实之单位相对即知为寸位向前第二位为十寸第三位为百寸第四位为千寸既以千寸为一尺即知得数为一尺七百二十八寸也若命尺为单位则于尺上命位其后一位为竒零故扵得数内从末截去三位以第四位为尺【葢自乘再乘乃以三数相乘三数既各有一位零数故截去三位算也】今得数有四位即知首位为一尺首位既为尺末位又既为寸则中二位为十寸百寸可知矣

　　归除
　　归除者分数也以数分数有各得均齐之义焉凡有两数以此数减彼数减得几次即为所得然所减之次数多则益至于纷而难纪此归除之所以立也归者一位归之而得如归作几分而均分之也除者多位除之而得葢以所得之数与法相因而于实内除去也其法以原数为实横列于下除数为法横列于上法之小于实者法之首位与实之首位列齐法之大于实者则法比实退一位看实足法几倍即为得数自法之末位上纪所得之数既得数乃以所得与法相因书于实下与实相减余者即为次商实依次按法归除以恰尽为度【减余者乃所得与法相因之数在实中所减者其数每与法位相对即初商之余实也至于实位所余之数则每次取下一位续于减余之末以为每商之实若实无余位而归除仍未尽者则按位添○以纪之】如实不足法之一倍者则得数为○定位之法以法中所命单位与原实相对之数为所得之首位数若实之位数少于法者则作几○位以补足法然后位数一览即明至于一位归除防法则竟以原数书于上就身用几分分之得数书于下其定位仍照原列之位定之具见设如于左设如有缎六疋令三人分之问每人得几疋
　　法以六疋为实列于下三人为法列于上今法与实俱为单位而法比实小故列法与实相齐爰看实足法几倍今足二倍故书二于法上乃以得数之二与法之三相因得六书于实下与实相减恰尽即得数为二疋也定位因法之三人即为单位而实亦止一位为疋是法之单位与实之疋位相对故得数为二疋也
　　设如有米六十四石令八人分之问每人得几石法以六十四石为实列于下八人为法列扵上因法之八大于实之首位之六故将法退一位书之爰看实足法几倍今足八倍故书八于法上乃以得数之
　　【下与实相减恰尽即】八与法之八相因【其所得单位数即对得数之本位下书之】得六十四书于实得数为八石也定位因法之八人即为单位而与实之石位相对故得数为八石也
　　设如有银三百四十三两令七人分之问每人得几两
　　法以三百四十三两为实列于下七人为法列于上因法之七大于实之首位之三故将法退一位书之爰看实足法几倍今实前两位为三四足法之四倍【何以知其足法之四倍葢实之三十四内足法之七之四倍为二十八如法之七之五倍则为三十五比实则大矣】故书四于法上乃以得数之四与法之七相因得二十八书于实下【其所得单位数即对得数之本位下书之后仿此】与实相减余六次取实数所余之三书于减余之后共六三为次商实爰看实之六三足法几倍今足九倍故书九于得数之次乃以得数之九与法之七相因得六十三书于次商实之下与实相减恰尽即得数为四十九两也定位因法之七人即为单位而与实中之两之十位相对故得数首位即为十而次位为两是知每人得四十九两也
　　设如有丝四十五斤共织得缎九十二丈二尺五寸问每斤织得若干
　　法以九十二丈二尺五寸为实列于下四十五斤为法列于上因法之首位四小于实之首位九故列法与实相齐爰看实之九二足法之二倍故书二于法上乃以得数之二与法之四五相因得九○书于实下与实相减余二次取实数所余之二书于减余之后共二二为次商实今实之二二不足法之四五之一分故得数为○乃纪○于上复取实数所余之五书于二二之后共二二五
　　【二二五足次商实之二二不足法之四五故再取实之一位续书于下谓之三商实者○位为次商故也】为三商实爰看实之法之五倍故书五于上乃以得数之五与法之四五相因得二二五书于实下与实相减恰尽即得数为二丈零五寸也定位因法之五斤为单位而与实之丈位相对故得数首位即为丈等而下之为尺为寸是知每斤织得二丈零五寸也
　　设如有田四十五亩六分共纳谷五十七石问每亩纳谷若干
　　法以五十七石为实列于下四十五亩六分为法列于上因法之首位四小于实之首位五故列法与实相齐又因实之位数少于法故补作○以足其位爰看实之五七○足法之一倍故书一于法上乃以得数之一与法之四五六相因仍得四五六书于实下与实相减余一一四此后实无余位故添书一○于减余之末为次商实爰看一一四○足法之二倍故书二于上乃以得数之二与法之四五六相因得九一二书于实下与实相减余二二八又添书一○于减余之末为三商实爰看二二八○足法之五倍故书五于上乃以得数之五与法之四五六相因得二二八○书于实下与实相减恰尽即得数为一石二斗五升也定位因法之五亩为单位而与实之石位相对故得数首位为石是知每亩纳谷一石二斗五升也