御制数理精蕴

　　加减乘除
　　算法以加减乘除为入门然究其终虽至扵千变万化总不出乎此但用法不同耳或应取其相和之数则用加或应取其相较之数则用减或应聚而总其积则用乘或应散而取其分则用除又有先加而后减者或先减而后加者有先乘而后除者或先除而后乘者又有加减与乘除先后互用者古称九章命算自方田以至勾股数有繁简理有显晦法有浅深算有难易然何一不从加减乘除而得故浅言之则算法之入门究言之实算法之全体也

　　加法
　　加者合众数而成总也葢数始扵一终于九至十又复为一等而上之十百千万以至亿兆京垓皆得名之为一即皆自一而加者也今自一位言之有自一至九之数合前后之位言之有单十百千万之等先自单数加起成十则进前一位仍为一以单数纪本位下挨次并之即得总数若夫宫度时刻斤两之类则不以十进必足其所命之分始进一位【十于前位为一志之如宫度足六十分进一度足三十度进一宫如时刻足十五分进一刻足四刻进一时足二十四时进一日如斤两足】至于定位则以原数列扵上加数列扵下或大数列于上小数列于下按法依次对位列之加毕所得之数依原列之位定之
　　设如有数一万二千三百四十五与六千七百八十九相加
　　法以原数横列于上加数横列于下按位相对加之【十六两进一斤之类如九与五相对单从单八与四相对十从十百】单位之五【千万数俱各从其类】九相加得十四进【作一防于前位为志如进二十则作二防如进三十则作三防】本位纪四【书于横格下】次十位之四八相加得十二并所进之一为十三复进十于前位为一志之本位纪三次百位之三七相加得十并所进之一为十一复进十于前位为一志之本位纪一次千位之二六相加得八并所进之一为九于是本位纪九至于万位独有原数无可加则仍纪一所加之数共得一万九千一百三十四即总数也
　　设如有数一万四千五百四十五与一万七千三百五十相加
　　法以原数横列于上加数横列于下加数内单位无数故作○以存其位仍按位相对加之单位之五对○无可加仍纪五次十位之四五相加得九本位纪九次百位之五三相加得八本位纪八次千位之四七相加得十一进十于前位为一志之本位纪一次万位之一与一相加得二并所进之一为三于是本位纪三所加之数共得三万一千八百九十五即总数也
　　设如有二十三丈零五寸六分与二丈八尺六寸二分相加
　　法以原数横列于上加数横列于下原数内尺位无数故作○以存其位仍按位相对加之分位之六二相加得八本位纪八次寸位之五六相加得十一进十于前位为一志之本位纪一次尺位之八对○无可加乃并所进之一为九本位纪九次丈位之三二相加得五本位纪五至扵十位独有原数无可加则仍纪二所加之数共得二十五丈九尺一寸八分即总数也
　　设如有粮四万五千零三十一石与三千零九十石相加
　　法以原数横列于上加数横列于下原数内百位无数加数内百位单位俱无数故各作○以存其位仍按位相对加之石位之一对○无可加仍纪一次十位之三九相加得十二进十于前位为一志之本位纪二次百位○与○无可加则以所进之一为本位数故下纪一次千位之五三相加得八本位纪八至于万位独有原数无可加则仍纪四所加之数共得四万八千一百二十一石即总数也
　　设如有银八两六钱五分四厘与四两零六分二厘相加
　　法以原数横列扵上加数横列扵下加数内钱位无数故作○以存其位仍按位相对加之厘位之四二相加得六本位纪六次分位之五六相加得十一进十于前位为一志之本位纪一次钱位之六对○无可加乃并所进之一为七本位纪七次两位之八四相加得十二进十于前位为一志之本位纪二至扵十位无数则纪所进之一为一所加之数共得十二两七钱一分六厘即总数也
　　设如有田三区一区五百九十二亩三分一区八百五十五亩九分一区七百八十二亩五分相加法以田三区按位横列相对加之分位之三九五相加得十七进十于前位为一志之本位纪七次亩位之二五二相加得九并所进之一为十进十于前位为一志之本位纪○次十位之九五八相加得二十二并所进之一为二十三进二十于前位为二志之本位纪三次百位之五八七相加得二十并所进之二为二十二进二十于前位为二志之本位纪二至扵千位无数则纪所进之二为二所加之数共得二千二百三十亩零七分即总数也
　　设如有银九宗一宗八千八百五十二两一宗三千二百一十一两一宗五百二十两一宗九百三十八两一宗二千五百九十两一宗一千二百一十五两一宗二千五百一十八两一宗五千三百六十六两一宗四千三百七十二两相加
　　法因九宗数繁难加故分为三次三次复并为一次则得共数其八千八百五十二两三千二百一十一两五百二十两相并则得一万二千五百八十三两其九百三十八两二千五百九十两一千二百一十五两相并则得四千七百四十三两其二千五百一十八两五千三百六十六两四千三百七十二两相并则得一万二千二百五十六两既得三总数又将三数并之得二万九千五百八十二两即九宗共数也
　　设如九宫二十度三十分二十六秒与六宫一十八度二十分五十秒相加
　　法以原数横列于上加数横列于下其每项各命两位仍按各位相对加之秒之单位六对○无可加仍纪六秒之十位二五相加得七十乃以六十秒进一分志于分之本位秒之十位纪一次分之单位○与○无可加则以所进之一为本位数故下纪一次分之十位三二相加得五故下纪五次度之单位八对○无可加仍纪八次度之十位二一相加得三十乃以三十度进一宫志于宫之本位度之十位纪○次宫之本位九六相加得十五并所进之一为十六因十二宫满一周天故逢十二去之余四故下纪四所加之数共得四宫八度五十一分一十六秒即总数也
　　设如一日一十五时二刻八分与一日一十二时三刻九分相加
　　法以原数横列于上加数横列于下日时分则合两位共加刻则仍命以单位葢以四刻进一小时故也分位之八与九相加得十七十五分进一刻故于刻之本位下志一余二故单位下纪二十位下纪○次刻位之二与三相加得五并所进之一为六四刻进一时故于时之本位下志一余二故本位纪二次时之单位五二相加得七并所进之一得八时之十位一与一相加得二共为二十八二十四时进一日故于日之本位下志一余四故时之单位下纪四十位下纪○次日之单位一与一相加得二并所进之一为三故下纪三所加之数共得三日四时二刻二分即总数也
　　设如有物重三十四斤十五两五钱与二十一斤十四两三钱相加
　　法以原数横列于上加数横列于下其钱位斤位与斤之十位仍皆按位相对加之两位与两之十位则合其数共加之【两以十六方进一斤故合而加之如列数有两数无十数者仍作○以存十两之位】钱位之五三相加得八本位纪八两位之原数十五加数十四相加共得二十九则进十六两于前斤位为一志之其所余十三两则于两位纪三十位纪一次斤位之四一相加得五并所进之一为六本位纪六次十位之三二相加得五本位纪五所加之数共得五十六斤十三两八钱即总数也

　　减法
　　减者较众数而得余也凡以少减多以小减大原有之数书于上应减之数书于下横列必对其位相减必从其类【如千减千百减百之类】如或下数大于上数不足减则借前位之一以减本位【加法由后而进前减法则借前而退后其理一也详见设如中】前位作一防以志之既得本位则前位所借之一并于前数而为减数然两数相减必先辨其多寡首位必大于减数始可其定位亦照原列之次为减余位
　　设如有数五万六千七百八十九内减四万三千六百四十二
　　法自单位减起单位之九减二余七故下纪七十位之八减四余四故下纪四百位之七减六余一故下纪一千位之六减三余三故下纪三万位之五减四余一故下纪一所减之数得一万三千一百四十七即余数也
　　设如有数二万三千六百七十二内减一万六千四百八十一
　　法自单位减起单位之二减一余一故下纪一十位之七减八为下大于上则借前位之一【前位下作一防为志】作本位之十共十七减八余九故下纪九百位之六减四并十位所借之一则为六减五余一故下纪一千位之三减六为下大于上则借前位之一【前位亦作一防为志】作本位之十共十三减六余七故下纪七万位之二减一并千位所借之一则为二减二恰尽故下纪○所减之数得七千一百九十一即余数也
　　设如有六丈七尺八寸九分一厘内减三丈四尺五寸九分九厘
　　法自厘位减起厘位之一减九为下大于上则借前位之一【前位下作一防为志】作本位之十共十一减九余二故下纪二分位之九减九并厘位所借之一则为九减十亦为下大于上故复借前位之一【之一前位下作一防】作本位之十共十九减十余九故下纪九寸位之八减五并所借之一则为八减六余二故下纪二尺位之七减四余三故下纪三丈位之六减三余三故下纪三所减之数得三丈三尺二寸九分二厘即余数也
　　设如有米六十五石四斗三升二合内减四十六石二斗七升三合
　　法自合位减起合位之二减三为下大于上则借前位之一【为志前位下作一防】作本位之十共十二减三余九故下纪九升位之三减七并合位所借之一则为三减八为下大于上则借前位之一【为志前位下作一防】作本位之十共十三减八余五故下纪五斗位之四减二并升位所借之一则为四减三余一故下纪一石位【为志】之五减六为下大于上则借前位【前位下作之一作本】作本位之十共十五减六余九故下纪九十位之六减四并所借之一则为六减五余一故下纪一所减之数得十九石一斗五升九合即余数也
　　设如有银十五两三钱六分七厘内减九两二钱三分四厘
　　法自厘位减起厘位之七减四余三故下纪三分位之六减三余三故下纪三钱位之三减二余一故下纪一两位之五减九为下大于上则借前位之一【一防为志前位下作】作本位之十共十五减九余六故下纪六十位之一减两位所借之一恰尽故下纪○所减之数得六两一钱三分三厘即余数也
　　设如七宫一十八度二十七分五十二秒内减九宫二十一度三十五分四十三秒
　　法自秒位减起秒之单　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【一防为志】位二减三为下大于上则借【前位下作一防为志】前位位之十共十二减三余九故下纪九秒之十位五减四并所借之一则为五减五恰尽故下纪○分之单位七减五余二故下纪二分之十位二减三为下大于上则借度位之一为六十分【度位下作一防为志】六十分与原二十分共为八十分内减三十分余五十分故下纪五度之单位八减一并所借之一则为八减二余六故下纪六度之十位一减二为下大于上则借宫位之一为三十度【宫位下作一防为志】三十度与原十度共为四十度内减二十度余二十度故下纪二宫之单位七减九并所借之一则为七减十为下大于上则外借一周天为十二宫十二宫与原七宫共为十九宫内减十宫余九宫故下纪九所减之数得九宫二十六度五十二分九秒即余数也
　　设如一十二日二十二时三刻零九分内减一十一日二十三时三刻十分
　　法自分位减起日位刻位俱各按单位相减其分位时位则合两位减之分位之九减十为下大扵上则借刻位之一为十五分【刻之本位下作一为志】十五分与原九分共为二十四分内减十分余十四分故分之单位纪四分之十位纪一刻之本位三减三并所借之一则为三减四为下大扵上则借时位之一为四刻【时之单位下作一为志】四刻与原三刻共为七刻内减四刻余三刻故本位下纪三时位之二十二减二十三并所借之一则为二十二减二十四为下大扵上则借日位之一为二十四时【日之本位下作一为志】二十四时与原二十二时共为四十六时内减二十四时余二十二时故时之单位下纪二时之十位下亦纪二日位之二减一并所借之一则为二减二恰尽故下纪○日之十位之一减一恰尽故亦纪○所减之数得二十二时三刻一十四分即余数也
　　设如有物十五斤零四两八钱内减十二斤十二两三钱
　　法自钱位减起钱位之八减三余五故下纪五两位之四减二似非下大扵上然原数两之十位为○【十六两为一斤故作○于斤后两前以存十两之位】而减数两之十位为一则为四两减十二两亦为下大扵上故借斤位之一为十六两【斤位下作一为志】十六两与原四两共为二十两内减十二两余八两故两之单位纪八十位纪○斤位之五减二并所借之一则为五减三余二故下纪二十位之一减一恰尽故下纪○所减之数得二斤零八两五钱即余数也

　　因乘
　　因乘者生数也以数生数有生生不已之义焉凡有几数彼此按次加之为得总数然所加之次数多则必至于烦而无统此因乘之所以立也因者一位相因而得如二因三而成六四因二而成八也乘者多位相乘而得如两位以上则各以每位所因之数而又层累以积之也其法以原数为实乘数为法实列于上法列扵下必使法实相当【如千对千百对百十对十单对单之类】按法乘实合而加之为所得数定位之法视其法实所命之单位后有竒零与否如无竒零则实中所命之单位相对即法尾之数若有竒零则法实相乘者法实之一位统得数之二位【如单位后竒零有一位则截得数之二位竒零有二位则截得数之四位向前为单位计之】法实相乘再以法乘者【即自乘再乘也】法实之一位统得数之三位【如单位后竒零有一位则截得数之三位竒零有二位则截得数之六位向前为单位计之】是故得数以一位论者则为单十百千之类以两位论者则为自乘之类以三位论者则为自乘再乘之类错综交互用法不一必须临题详审求其无误始为得之具见设如于左设如有三人每人赏縀二疋问共得几疋