御制历象考成后编

　　辛辛壬两象限其本天平
　　行丑甲寅丁面积未及半
　　周而以黄道度计之巳见
　　自子行至壬故为行盈太
　　阳在最髙前后当壬癸癸
　　子两象限其本天平行寅
　　甲丑已面积巳过半周而
　　以黄道度计之止见自壬
　　行至子故为行缩以盈缩
　　差言之太阳在最卑丁是
　　为初宫初度当黄道之辛
　　甲丁辛成一直线无盈缩
　　差太阳在最髙已是为六
　　宫初度当黄道之癸甲癸
　　己成一直线亦无盈缩差
　　而自最卑后行丁寅戊巳
　　半周实行皆大于平行如
　　平行至寅所截甲寅丁平
　　行积度畧与寅丙丁角度
　　等【争一撱圆差角故谓畧等】自地心甲
　　视之巳当黄道之壬壬甲
　　辛角必大于寅丙丁角又
　　如平行至戊所截之甲戊
　　丁平行积度畧与戊丙丁
　　角度等自地心甲视之己
　　当黄道之卯卯甲辛角必
　　大于戊丙丁角故皆为加
　　差自最髙后行已庚丑丁
　　半周实行皆小于平行如
　　平行至庚所截甲庚已平
　　行积度畧与庚丙己角度
　　等自地心甲视之方当黄
　　道之辰辰甲癸角必小于
　　庚丙己角又如平行至丑
　　所截甲丑巳平行积度畧
　　与丑丙巳角度等自地心
　　甲视之方当黄道之子子
　　甲癸角必小于丑丙已角
　　故皆为减差此盈缩之理
　　与不同心天之理同至求
　　盈缩差之法当先以平行
　　积度加减撱圆差角【九十度以
　　内大一撱圆差角则加九十度以外小一撱圆差角
　　则减正九十度无差角解见前】为所设之
　　丙角而求对倍差之角与
　　所设之丙角相加得实行
　　以平行与实行相减乃为
　　均数【解见前借角求角法】然其数竒
　　零不便立算故先以平行
　　求得对倍差之角而后加
　　减撱圆差角为尤便也如
　　设太阳在己甲己丁分撱
　　圆面积为平行距最卑后
　　六十度知己丙甲角度比
　　所设之甲己丁平行积度
　　大一撱圆差角则于己丙
　　甲角内减未丙午撱圆差
　　角余午丙甲角必为六十
　　度而与甲巳丁平行积度
　　相等故先设午丙甲角为
　　六十度用甲丙午三角形
　　求得对甲丙倍差之午角
　　一度四十一分二十九秒
　　与平行午丙甲角相加则
　　得午甲丁角然太阳原在
　　已当黄道之申实行申甲
　　辛角【即辛申弧】比午甲丁角尚
　　大一巳甲午角故又求得
　　未丙午撱圆差角一十三
　　秒与巳甲午角等【巳甲午角与未
　　丙午角同当巳午弧而甲午线短于丙午则角畧大
　　然所差甚微故为相等】与午角相加
　　【九十度以内大一撱圆差角故加】得一度
　　四十一分四十二秒是为
　　均数为加差以加于平行
　　而得实行也若太阳在酉
　　当黄道之戌甲酉巳分撱
　　圆面积爲平行距最高后
　　一百二十度而距最卑前
　　六十度则对甲丙倍差之
　　亥角与午角等干丙亥撱
　　圆差角亦与未丙午角等
　　但其均数爲减差以减于
　　平行而得实行也
　　如设太阳在亢甲亢丁分
　　撱圆面积爲平行距最卑
　　后一百二十度知亢丙甲
　　角度比所设之甲亢丁平
　　行积度小一撱圆差角则
　　于亢丙甲角加房丙氐撱
　　圆差角得氐丙甲角必为
　　一百二十度而与甲亢丁
　　平行积度相等故先设氐
　　丙甲角为一百二十度用
　　甲丙氐三角形求得对甲
　　丙倍差之氐角一度三十
　　九分四十七秒与平行氐
　　丙甲角相加则得氐甲丁
　　角然太阳原在亢当黄道
　　之尾实行尾甲辛角【即辛尾弧】比氐甲丁角尚小一氐甲
　　亢角故又求得房丙氐撱
　　圆差角一十三秒与氐甲
　　亢角等【氐甲亢角与房丙氐角同当亢氐弧
　　而甲氐线长于丙氐则角畧小然所差甚防故为相
　　等】与氐角相减【九十度以外小一撱
　　圆差角故减】余一度三十九分
　　三十四秒是为均数为加
　　差以加于平行而得实行
　　也若太阳在斗当黄道之
　　牛甲斗己分撱圆面积为
　　平行距最高后六十度则
　　对甲丙倍差之女角与氐
　　角等女丙虚撱圆差角亦
　　与房丙氐角等但其均数
　　为减差以减于平行而得
　　实行也用此法求得最卑
　　后半周之加差即得最高
　　后半周之减差列爲表此
　　法与以丙爲心作不同心
　　天之法畧同但多一撱圆
　　差又平圆之半径爲一千
　　万撱圆则自甲丙两心出
　　线合于圆界共爲二千万
　　耳而太阳距地高卑之差
　　止及两心差之半与均轮
　　之法不谋而合故撱圆之
　　法正所以合不同心天与
　　本轮均轮而一之也

　　御制厯象考成后编卷一
<子部,天文算法类,推步之属,御制历象考成后编>
　　钦定四库全书
　　御制厯象考成后编卷二
　　月离数理
　　月离总论
　　太阴本天面积随时不同
　　太阴本天心距地及最高行随时不同
　　求初均数
　　求一平均
　　求二平均
　　求三平均
　　求二均数
　　求三均末均
　　求交均及黄白大距
　　地半径差

　　月离总论
　　古歴皆谓月一日行十三度十九分度之七出入日道不逾六度东汉贾逵始言月行有迟疾至刘洪列为差率元郭守敬乃定为转分进退时各不同犹今之初均数而其出入日道之大距则仍恒为六度也新法算书初均而外又有二均三均交均葢因朔望之行有迟疾故有初均两又不同于朔望故有二均两前后又不同于两故有三均此经度之差也朔望交行迟而大距近两交行疾而大距逺故有交均此交行之差而亦纬度之差也上编言太阴行度有九种一曰平行二曰自行三曰均轮行四曰次轮行五曰次均轮行六曰交行七曰最高行八曰距日行九曰距交行其实均轮行自行度次轮次均轮皆行月距日倍度则九种行度之中又止六种而巳自西人刻白尔创为撱圆之法専主不同心天而不同心天之两心差及太阴诸行又皆以日行与日天为消息故日行有盈缩则太阴平行最高行正交行皆因之而差名曰一平均日距月天最高有逺近则太阴本天心有进退两心差有大小而平行面积亦因之而差名曰二平均其最高之差名曰最高均又白极绕黄极而转移则白道度有进退而太阴之在白道亦因之而差名曰三平均此四者皆昔日之所无而刻白尔以来柰端等屡测而创获者也夫两心差既有大小则月距最高虽等而迟疾之差不等故分大中小三数而仍名曰初均朔望而外其差之最大者不在两而在朔望之间仍名曰二均又月高距日高与月距日之共度半周内恒差而疾半周外恒差而迟仍名曰三均又朔后恒差而迟望后恒差而疾因月高距日高之逺近其差不等别名曰末均又日在交后一象限则交行疾日在交前一象限则交行迟仍名曰正交均此五者末均为昔日之所无其余诸均亦名同而数异皆刻白尔以来噶西尼等屡测而改定者也至于黄白交角【即大距度】新法算书朔望最小两最大今则谓日在交交角大前后皆小朔望尤小日在大距交角小前后皆大两尤大似皆与新法算书不同然用以推歩交食则皆与实测合而与新法算书亦相去不逺计其行度一平均用日引度二平均最高均用日距月最高之倍度三平均正交均用日距正交之倍度初均仍用自行度二均仍用月距日倍度三均末均用月距日兼月高距日高度交角用日距正交兼月距日度较旧用行度多四种一曰日引二曰日距月最高三曰日距正交四曰月高距日高则其行度共行种矣今考其表中所列诚皆实测之数而要不离乎本天高卑中距四限与朔望两前后参互比较而得之兹为总举其端而各具测算之法于后庶学者知其立法所自来而推歩考验咸可通其条贯云

　　太阴本天面积随时不同
　　太阴初均数生于两心差两心差不等则均数亦不等然于平行无与也自刻白尔以本天为撱圆以平行为面积则两心差不等而撱圆之面积与太阴之平行亦因之不等盖两心差大者小径之数小而面积亦小两心差小者小径之数大而面积亦大故分撱圆之度数虽同而度之面积各异非先求其面积无以求度数也今取两心差之大中小三数求其小径及面积以定平行而后均数可得而推也
　　如图甲为地心乙为本天
　　心甲乙为两心差甲丙为
　　倍差丁戊己庚撱圆为太
　　阴本天乙丁为大半径一
　　千万乙戊为小半径甲戊
　　丙戊皆与乙丁大半径等
　　以甲戊为甲乙为勾求
　　得股即乙戊小半径也以
　　乙丁大半径求得丁辛己
　　壬平圆积以乙辛与乙戊
　　为比例即撱圆全积也用
　　度分秒数除之即得一度
　　一分一秒之积也以庚戊
　　小径与丁己大径相乗开
　　平方折半即乙癸中率半
　　径也其理皆与日躔同惟
　　两心差随时不同则小径
　　与面积皆各异具列于左
　　最大两心差　　　　　　六六七八二○
　　小径　　　　　　九九七七六七五【小余九○】
　　中率半径　　　　九九八八八三一【小余七二】中率半径方　　　九九七七六七五九○四一一七二撱圆全积　　　三一三四五七九三二八四四五六七
　　九十度积　　　　七八三六四四八三二一一一四二
　　一度积　　　　　　　八七○七一六四八○一二四
　　一分积　　　　　　　　一四五一一九四一三三五
　　一秒积　　　　　　　　　　二四一八六五六八九
　　中数两心差　　　　　　五五○五○五
　　小径　　　　　　九九八四八三五【小余七一】
　　中率半径　　　　九九九二四一四【小余九八】中率半径方　　　九九八四八三五七一四四七一○撱圆全积　　　三一三六八二八六四九二○三九六
　　九十度积　　　　七八四二○七一六二三○○九九
　　一度积　　　　　　　八七一三四一二九一四四六
　　一分积　　　　　　　　一四五二二三五四八五七
　　一秒积　　　　　　　　　　二四二○三九二四八
　　最小两心差　　　　　　四三三一九○
　　小径　　　　　　九九九○六一二【小余九二】
　　中率半径　　　　九九九五三○五【小余三六】中率半径方　　　九九九○六一二九一五三二七一撱圆全积　　　三一三八六四三六一○三七八六七
　　九十度积　　　　七八四六六○九○二五九四六七
　　一度积　　　　　　　八七一八四五四四七三二七
　　一分积　　　　　　　　一四五三○七五七四五五
　　一秒积　　　　　　　　　　二四二一七九二九一太阴本天心距地及最高行随时不同
　　太阴之行有迟疾由于本天有高卑其説一为不同心天一为本轮与太阳同西人第谷以前定本轮半径为本天半径千万分之八十七万即不同心天之两心差其最大迟疾差为四度五十八分二十七秒第谷用其法惟中距与实测合最高前后则失之小最卑前后则失之大因将本轮半径三分之存其二分五十四万为本轮半径取其一分二十七万为均轮半径其高卑之数迟疾之差虽各有不同而其距地之有定数最高之有常行则一也自刻白尔创为撱圆之法専主不同心天而不同心天之两心差及最高行又随时不同惟日当月天中距时最大迟疾差为四度五十七分五十七秒两心差为四三三一九○倍差即为八十六万有竒与旧数相去不逺若日当月天最高或当月天最卑则最大迟疾差为七度三十九分三十三秒两心差为六六七八二○日厯月天高卑而后两心差渐小中距而后两心差渐大日距月天高卑前后四十五度两心差适中又日当月天高卑时最高之行常速至高卑后四十五度而止日当月天中距时最高之行常迟至中距后四十五度而止与日月之盈缩迟疾相似而周转之数倍之是则太阴本天之心必更有一均轮以消息乎两心差及最高行之数因以地心为心以两心差最大最小两数相加折半得五五○五○五为最高本轮半径相减折半得一一七三一五为最高均轮半径均轮心循本轮周右旋行最高平行度本天心循均轮周右旋行日距月最高之倍度用切线分外角法求得地心之角为最高均数即最高行之差求得两心相距之边为本天心距地数即本时之两心差也今考其表中所载其最大迟疾差不在中距最高前后九十度多最卑前后九十度少与上编小轮之理同其求两心差则在本天高卑之适中而亦不正九十度与本编日躔之理同而其测量诸均数则必在高卑中距或高卑中距之间其数乃整齐而易辨要之测得高卑中距之差则两心差之数巳见而求得两心差之数则高卑中距之差悉合矣
　　如甲为地心乙为太阴本天心丙为最高丁为最卑戊己为中距【戊己乃实行之中距非平行之中距因朔望相对故借实行以明之】设日天最高当月天最高丙太阳在最高后中距戊太阴亦在戊合朔测得太阴实行比平行少四度四十五分四十一秒太阴在最高前中距己望测得太阴实行比平行多五度九分二十一秒又设太阳在最高前中距己太隂亦在己合朔测得太阴实行比平行多四度四十五分四十一秒太阴在最高后中距戊望测得太隂实行比平行少五度九分二十一秒两测太隂在戊实行皆比平行为少太阴在己实行皆比平行为多是知太阴在最高后则减最高前则加为初均之故矣然太阳在戊则少数小多数大太阳在己则少数大多数小是必另有一均因太阳在戊而加在己而减者若不因太阳之故则太隂在戊为减在己为加其数必相等也于是以大小两数相减折半得一十一分五十秒别为一平均以减大数加小数得四度五十七分三十一秒为日距月天最高前后九十度时月距最高前后九十度之初均数最高后为减最高前为加也
　　又设日天最高当月天最高后中距戊太阳在最高戊太阴在最高后中距戊合朔测得太阴实行比平行少四度五十九分五十六秒太阴在最高前中距己望测得太阴实行比平行多四度五十五分六秒又设日天最高当月天最高前中距己太阳在最高己太阴在最高前中距己合朔测得太阴实行比平行多四度五十九分五十六秒太阴在最高后中距戊望测得太阴实行比平行少四度五十五分六秒两测太阴在戊实行皆比平行为少太阴在己实行皆比平行为多是知太阴在最高后则减最高前则加为初均之故矣然日天最高在戊月天最高距日天最高二百七十度则少数大多数小日天最高在己月天最高距日天最高九十度则多数大少数小是必另有一均因月高距日高九十度而加二百七十度而减者于是以大小两数相减折半得二分二十五秒别为三均以减大数加小数得四度五十七分三十一秒为日距月天最高前后九十度时月距最高前后九十度之初均数最高后为减最高前为加与前测合