御制历象考成后编

　　又设日天最高当月天最高丙太阳在最高丙太阴在中距戊上测得太阴实行比平行少七度三十五分三十四秒太阴在中距己下测得太阴实行比平行多七度三十五分三十四秒又设日天最高当月天最卑丁太阳在最高丁太阴在中距己上测得太阴实行比平行多七度四十分二十四秒太阴在中距戊下测得太阴实行比平行少七度四十分二十四秒两测太阴在戊实行皆比平行为少太阴在己实行皆比平行为多是知太阴在最高后则减最高前则加为初均之故矣然上则少数小多数大下则少数大多数小是必另有一均因上而加下而减者于是以大小两数相减折半得二分二十五秒别为三均以减大数加小数得七度三十七分五十九秒为日在月天最高最卑时月距最高前后九十度之初均数最高后为减最高前为加也
　　又设日天最高在庚月天最高丙距日天最高三百一十五度太阳在庚距月天最高四十五度太阴在戊距最高九十度而距日四十五度为朔与上之间测得太阴实行比平行少五度五十七分四十五秒若日天最高在辛月天最高距日天最高二百二十五度太阳在辛距月天最高一百三十五度太阴仍在戊距月天最高九十度而距日三百一十五度为下与朔之间测得太隂实行比平行少六度五十四分四十九秒又设日天最高在壬月天最高距日天最高一百三十五度太阳在壬距月天最卑四十五度太隂在己距最高前九十度而距日四十五度为朔与上之间测得太隂实行比平行多六度五十四分四十九秒若日天最高在癸月天最高距日天最高四十五度太阳在癸距月天最高三百一十五度太隂仍在己距最高前九十度而距日三百一十五度为下与朔之间测得太隂实行比平行多五度五十七分四十五秒两测太阴在戊实行皆比平行为少太阴在己实行皆比平行为多是知太阴在最高后则减最高前则加为初均之故矣而朔与上之间则少数小多数大下与朔之间则少数大多数小是必另有一均因朔后而加朔前而减者而所大所小之数又不及二均加减之多是必又有别均加减于其间而此特为其加减之较于是以大小两数相减折半得二十八分三十二秒为二均与二平均末均加减之较【查朔后四十五度二均应加三十三分一十四秒而日距月天高卑后四十五度二平均应减三分三十四秒又月高距日高在四象限之正中朔后四十五度时末均应减一分八秒故以二十八分三十二秒为加减之较又查朔前四十五度二均应减三十三分一十四秒而日距月天高卑前四十五度二平均应加三分三十四秒又月高距日高在四象限之正中朔前四十五度时末均应加一分八秒故亦以二十八分三十二秒为加减之较详后各篇】以减大数加小数得六度二十六分一十七秒为日距月天高卑前后四十五度时月距最高前后九十度之初均数最高后为减最高前为加也
　　前测均数之大小皆在月距最高前后九十度时而测两心差之大小则必在本天高卑之适中其平引【即距最高之平行度】之多于九十度与实引【即距最高之实行度】之少于九十度或平引之少于九十度与实引之多于九十度者皆适相等【见日躔求两心差篇】如甲为地心乙为本天心甲乙为两心差甲子为倍差丙丑丁寅撱圆为月本天丙为最高丁为最卑丑寅为中距【丑寅为本天高卑之适中丙丑甲分撱圆面积为平引九十度多丑甲丙角为实引九十度少然相去不逺故亦名中距以便与日天较算也】乙丁为大半径一千万乙丑为小半径甲丑子丑皆与乙丁等设日天最高当月天最高前中距寅太阳在最高寅太阴在最高后中距丑望其丙丑甲分撱圆面积九十二度二十八分五十七秒五十八微半为平引其大于九十度之二度二十八分五十七秒五十八微半即丑甲乙勾股积与乙丑甲角度等【与日躔求两心差同但日躔从最卑起算月离从最高起算耳】此时测得太阴实行在最高后八十七度三十三分二十七秒一微半减此时应加之三均二分二十五秒【此时三均应加二分二十五秒若不因三均则实行应少二分二十五秒故减】余八十七度三十一分二秒一微半为实引其小于九十度者亦二度二十八分五十七秒五十八微半即丑甲卯角与乙丑甲角等亦与子丑乙角等平行实行之差四度五十七分五十五秒五十七微即甲丑子角折半得二度二十八分五十七秒五十八微半即乙丑甲角甲丑既为半径一千万则甲乙即乙丑甲角之正检表得四三三一九○即日在月天中距时之两心差也
　　又设日天最高当月天最高丙太阳在最高丙太阴在最高后中距丑上其丙丑甲分撱圆面积九十三度四十九分四十五秒二微半为平引其大于九十度之三度四十九分四十五秒二微半即丑甲乙勾股积与乙丑甲角度等此时测得实行在最高后八十六度一十二分三十九秒五十七微半减此时应加之三均二分二十五秒【同前】余八十六度一十分一十四秒五十七微半为实引其小于九十度者亦三度四十九分四十五秒二微半即丑甲卯角与乙丑甲角等亦与子丑乙角等平行实行之差七度三十九分三十秒五微即甲丑子角折半得三度四十九分四十五秒二微半即乙丑甲角检正得六六七八二○即日在月天最高最卑时之两心差也
　　前测日在月天高卑两心差大日在月天中距两心差小又日在月天高卑最高行速日在月天中距最高行迟用小轮之法算之如甲为地心乙丙丁戊为最高本轮甲乙半径为五五○五○五己庚辛壬为最高均轮乙己半径为一一七三一五均轮心循本轮周右旋自乙而丙而丁而戊行最高平行度本天心循均轮周右旋自己而庚而辛而壬行日距月最高之倍度本天心在均轮上半周顺轮心行故最高行速距地心逺故两心差大本天心在均轮下半周逆轮心行故最高行迟距地心近故两心差小日在月天最高或在月天最卑本天心皆在己甲己六六七八二○为最大两心差日在月天两中距本天心皆在辛甲辛四三三一九○为最小两心差本天最高与甲乙合为一线无最高均数如日距月最高四十五度则本天心自己行九十度至庚本天最高必对甲庚线之上用甲乙庚三角形求得甲角一十二度一分四十八秒为最高均数是为最大之加差以加于最高平行而得最高实行求得甲庚邉五六二八六六为本天心距地数即本时之两心差也【此乙角为直角可用勾股法亦可用切线分外角法若乙角非直角则用切线分外角法】如日距月最高一百三十五度则本天心自己行二百七十度至壬本天最高必对甲壬线之上用甲乙壬三角形求得甲角为最高均数与乙甲庚角等甲壬两心差亦与甲庚等但甲角为最大之减差以减最高平行而得最高实行也既得最高实行与两心差则以最高实行与太阴平行相减得平引而初均数可求矣

　　求初均数
　　新法算书用本轮均轮推初均数日躔月离数虽不同而其法则一也自刻白尔以平行为撱圆面积求实行用意甚精而推算无术噶西尼等立借角求角之法亦极补凑之妙矣然日天两心差为本天半径千万分之一十六万余所差之最大者不过百分秒之六十六【见日躔撱圆角度与面积相求篇】月天两心差之最大者为本天半径千万分之六十六万余若仍用日躔之法则其差之最大者即至四十秒虽于数不为踈而于法则犹未宻故又立用两三角形之法先以半径为一边两心差为一边太阴平引与半周相减【不及半周者与半周相减过半周者减半周】为所夹之角求得对两心差之小角与前所夹之角相加复为所夹之角仍用半径与两心差为两边求得对半径之大角为平圆引数次以大半径为一率小半径为二率平圆引数之正切线为三率求得四率查正切线得实引与平引相减余为初均数依日躔借积求积法细推之其差之最大者不过一十秒较借角求角之法为密云
　　如图甲为地心乙为本天
　　心甲乙为最大两心差六
　　六七八二○丙丁戊己为
　　月本天乙丙为大半径一
　　千万与乙庚等乙丁为小
　　半径九九七七六七五【小余
　　九○】设太阴平引距最高后
　　九十度用日躔借角求角
　　法依甲乙之分截乙丙线
　　于辛取丙辛壬角为九十
　　度自地心甲作甲壬线命
　　甲壬丙分撱圆面积为九
　　十度与乙丁丙面积等亦
　　与丙乙丁角度等用甲辛
　　壬三角形丙辛壬外角为
　　平引九十度甲辛为倍两
　　心差一三三五六四○甲
　　壬与辛壬共为二千万求
　　得壬角七度三十八分二
　　十八秒【小余七○】为初均数即
　　得壬甲丙角八十二度二
　　十一分三十一秒【小余三○】为
　　实引试依日躔借积求积
　　法细推之辛壬边为九九
　　五五四○一【小余六四】甲壬边
　　为一○○四四五九八【小余
　　三六】甲壬丙分撱圆面积为
　　七八三五四五六三一八
　　四七七三与最大两心差
　　之撱圆九十度积七八三
　　六四四八三二一一一四
　　二相减余九九二○○二
　　六三六九为甲壬癸积即
　　甲壬丙积小于九十度积
　　之较故知平引距最高九
　　十度时太阴必在壬防之
　　后如癸乃依最大两心差
　　中率半径九九八八八三
　　二截甲壬线于子截甲癸
　　线于丑成甲子丑分平圆
　　面与甲壬癸为同式形【甲壬
　　长于甲癸然为数无多故为同式形】以甲壬
　　自乗得一○○八九三九
　　五六二一三七一五为一
　　率甲子中率自乗方九九
　　七七六七五九○四一一
　　七二为二率甲壬癸积较
　　为三率求得四率九八一
　　○一八二○七五为甲子
　　丑分平圆面积以最大两
　　心差之一秒积二四一八
　　六五六八九除之得四十
　　秒【小余五六】为子甲丑角与壬
　　甲丙角相加得八十二度
　　二十二分一十一秒【小余八六】为癸甲丙角即平引距最
　　高后九十度之实引与平
　　引九十度相减余七度三
　　十七分四十八秒【小余一四】即
　　平引距最高后九十度时
　　之初均数前用日躔借角
　　求角法所得实引壬甲丙
　　角比细推少四十秒盖乙
　　丁丙为撱圆面四分之一
　　其积为九十度今命太隂
　　在壬以甲壬丙分撱圆积
　　为与乙丁丙积等其实甲
　　壬丙积比乙丁丙积多一
　　甲乙寅形少一寅壬丁形
　　而甲乙寅积仅与寅壬卯
　　积等以多补少尚少壬卯
　　丁弧矢积故推得壬甲丙
　　角比细推少四十秒也【日躔
　　从最卑起算则推得辰甲戊角比细推为多】又
　　查日天两心差为一六九
　　○○○小矢为一四二六
　　所得实引比细推差百分
　　秒之六十六月天甲乙两
　　心差为六六七八二○与
　　壬卯半等几为日天之
　　四倍卯丁小矢为二二二
　　七四【乙丁内减去辛壬余即卯丁小矢也】几
　　为日天之一十六倍则壬
　　卯丁弧矢积几为日天之
　　六十四倍【四因一十六倍得六十四倍】故实引比细推差四十秒
　　亦几为日躔实引所差之
　　六十四倍也
　　今用两三角形法先设丙
　　乙庚角为平引九十度用
　　甲乙庚三角形甲乙庚角
　　为九十度乙庚为半径一
　　千万甲乙为最大两心差
　　六六七八二○求得甲庚
　　乙角三度四十九分一十
　　四秒【小余三五】又与甲庚平行
　　作乙己线自甲至己作甲
　　己线成甲乙己三角形己
　　乙庚角与甲庚乙角等以
　　己乙庚角与甲乙庚角九
　　十度相加得九十三度四
　　十九分一十四秒【小余三五】为
　　甲乙己角求得乙甲己角
　　八十二度二十三分二秒
　　【小余四一】为平圆引数次以乙
　　庚大半径一千万为一率
　　乙丁小半径九九七七六
　　七六为二率乙甲己角之
　　正切线为三率求得四率
　　为乙甲午角之正切线检
　　表得八十二度二十二分
　　一秒【小余七九】为实引与平引
　　九十度相减余七度三十
　　七分五十八秒【小余二一】即最
　　大两心差平引九十度之
　　初均数也此法推得实引
　　比前细推所得之数仍少
　　一十秒而较之日躔借角
　　求角之法则为己宻葢设
　　丙乙庚角为九十度则乙
　　庚丙分平圆积乙丁丙分
　　撱圆积皆为九十度今与
　　甲庚平行作乙己线甲己
　　丙面与乙庚丙面相等而
　　为平圆九十度积则甲午
　　丙面亦必与乙丁丙面相
　　等而为撱圆九十度积夫
　　甲己丙面内有乙己丙形
　　与甲乙己形乙庚丙面内
　　有乙己丙形与乙己庚形
　　甲乙己积与乙己庚积相
　　等则甲己丙积即与乙庚
　　丙积相等试自己至庚作
　　己庚直线则乙己庚与甲
　　乙己为二平行线内同底
　　同高之两三角形其积相
　　等【乙己原与甲庚平行庚未正与甲申垂线等
　　以乙己底与庚未高相乗折半得乙己庚三角积以
　　乙己底与甲申高相乗折半得甲乙己三角积庚未
　　旣与甲申等故两三角积必等也】是甲乙
　　己形比乙己庚形尚少庚
　　酉巳弧矢积而甲己丙分
　　平圆面比乙庚丙平圆九
　　十度积甲午丙分撱圆面
　　比乙丁丙撱圆九十度积亦
　　少庚酉已弧矢积故求得实
　　引比细推少一十秒即庚酉
　　巳弧矢积之度然为数无多
　　非若差壬卯丁弧矢积者比
　　故其法较日躔为己宻也又
　　以日躔之法明之日躔设太
　　阴在壬其甲壬丙分撱圆面
　　积比乙丁丙撱圆九十度积
　　少壬卯丁弧矢积故实引壬
　　甲丙角少四十秒今平引用
　　乙角甲乙与乙辛等而乙庚
　　长于辛壬则与甲庚平行之
　　乙己线必在壬防下减巳甲
　　午撱圆差角太阴午防亦必
　　仍在壬防下是甲午丙积比
　　甲壬丙积

　　即多甲午壬积足与所少
　　壬卯丁弧矢积相补故求
　　得实引午甲丙角即比壬
　　甲丙角大一午甲壬角以