御制历象考成后编

　　分一十秒【小余四三】为卯甲丁
　　角即平行距最卑后九十
　　度时之实行度也
　　又如平行距最卑后一百
　　二十度求实行若干度分
　　则先设丙角为一百二十
　　度作丙寅甲寅二线成甲
　　丙寅三角形依法求得甲
　　寅线一○○八六六二四
　　【小余一三】寅甲丁角一百二十
　　一度三十九分四十六秒
　　【小余六九】甲寅丁积一○四七
　　○七九九○六四九五○
　　六与一百二十度之撱圆
　　积一○四七○四七九九
　　四二七四四六相减余三
　　一九一二二二○六○为
　　甲寅丁积大于一百二十
　　度平行积之较即知平行
　　一百二十度时太阳在寅
　　之后如辰乃依中率半
　　径截甲寅线于巳截甲辰
　　线于午成甲巳午分平圆
　　面与甲寅辰为同式形以
　　甲寅边自乘得一○一七
　　三九九八六三三九八九
　　八为一率中率自乘方九
　　九九八五七一八四八○
　　一九一为二率积较为三
　　率【即甲寅辰积】求得四率三一
　　三六一九七八九一为甲
　　已午积以一秒之面积二
　　四二三七二二二一除之
　　得一十二秒【小余九四】为巳甲
　　午角【即寅甲辰角】与寅甲丁角
　　一百二十一度三十九分
　　四十六秒【小余六九】相减余一
　　百二十一度三十九分三
　　十三秒【小余七五】为辰甲丁角
　　即平行距最卑后一百二
　　十度时之实行度也右借
　　积求积之法最为精密而
　　理亦易晓然须乗除比例
　　十数次推算则属繁难故
　　又设后法
　　次设借角求角之法如太
　　阳平行距最卑后四十五
　　度求实行若干度分先从
　　本天心设丁乙辛角为四
　　十五度则乙壬丁分撱圆
　　面积亦为四十五度次将
　　丁乙辛角加癸乙子撱圆
　　差角【九十度以内大一撱圆差角九十度以外
　　小一撱圆差角解见后】以撱圆小半
　　径九九九八五七一【小余八五】为一率大半径一千万为
　　二率所设丁乙辛角四十
　　五度之正切一千万为三
　　率求得四率一○○○一
　　四二八【小余三五】为丁乙癸角
　　之正切检表得四十五度
　　○分一十四秒【小余七三】即丁
　　乙癸角度次与乙癸平行
　　作丙丑线自甲作甲丑线
　　则丙角与丁乙癸角等而
　　甲丑丁积为分撱圆四十
　　五度之面积与乙壬丁积
　　等是为平行丑甲丁角即
　　为实行乃将丙丑线引长
　　至寅使丑寅与甲丑等则
　　丙寅为二千万【甲丑丙丑共二千万
　　丑寅既与甲丑等故丙寅亦二千万】又自甲
　　至寅作甲寅线成甲寅丙
　　三角形用切线分外角法
　　求得寅角四十一分三十
　　四秒【小余七四】倍之得一度二
　　十三分九秒【小余四九】即甲丙
　　丑形之丑角度【甲丑寅形之丑角以
　　甲丑丙角为外角与甲寅二内角等丑寅既与甲丑
　　等则甲角必与寅角等故倍寅角即得甲丑丙角】与丙角四十五度○分一
　　十四秒【小余七三】相加得四十
　　六度二十三分二十四秒
　　【小余二二】为丑甲丁角度【丑甲丁角
　　为丑甲丙角之外角与丙丑二内角等故以丑角与
　　丙角相加得丑甲丁角】即平行距最
　　卑后四十五度时之实行
　　度也然则何以设丙角比
　　平行积度大一撱圆差角
　　而甲丑丁积即与平行积
　　度相等也盖与丙丑平行
　　之乙癸线截本天于卯所
　　截之乙卯丁积比甲丑丁
　　积多一甲乙巳形【乙卯丁积比甲
　　丑丁积少一辰丑卯形多一甲乙辰形辰丑与甲辰
　　等辰卯与己辰等辰丑卯积与辰甲巳积等以多补
　　少尚多一甲乙巳积也】此甲乙巳形
　　之积与癸午倍撱圆差乘
　　乙未余折半之乙癸午
　　三角形积等【癸子辛壬皆撱圆差而辛
　　壬防小于癸子子午又微小于辛壬然为数无多故
　　谓癸午为倍差】亦即与乙卯壬积
　　等【以卯癸子补子壬午弧内弧外所差无多故谓
　　相等】夫乙卯丁积比乙壬丁
　　积多一乙卯壬形比甲丑
　　丁积多一甲乙巳形甲乙
　　已积既与乙卯壬积等则
　　甲丑丁积必与乙壬丁积
　　等而乙壬丁为分撱圆四
　　十五度之面积辛乙丁角
　　为四十五度之角癸乙丁
　　角比辛乙丁角原大一撱
　　圆差角丑丙丁角又原与
　　癸乙丁角等故设丙角比
　　平行积大一撱圆差角而
　　甲丑线所截撱圆积即与
　　平行积相等也然则又何
　　以知甲乙巳积与乙癸午
　　积相等也试以乙丁大半
　　径作乙丁申酉正方形又
　　以乙戊小半径作乙戊戌
　　亥正方形两积相减余酉
　　申丁亥戌戊磬折形积与
　　两心差自乘之甲乙干坎
　　正方积等【乙丁与甲戊等为乙戊为股
　　甲乙为勾股两方相减与勾方等】斜分而
　　半之则乙甲坎勾股积即
　　与酉申戌戊斜尖长方积
　　等而申艮倍撱圆差与酉
　　申相乘折半之乙申艮三
　　角积原与酉申震戊长方
　　积等【乙申艮三角形与酉申震戊长方形同以
　　酉申为髙而申艮为申震之一倍以申艮与酉申相
　　乘折半得乙申艮三角积故与酉申震戊长方积等】比酉申戌戊斜尖长方积
　　仅多申震戌一小勾股积
　　则借乙申艮三角积为与
　　乙甲坎勾股积相等可也
　　又以方为斜截丁辛弧为
　　四十五度乙辛与乙丁等
　　辛巽为四十五度之正
　　辛离为四十五度之余
　　依乙戊小径截乙辛线于
　　坤依乙甲两心差截乙辛
　　线于兑与辛巽平行作坤
　　亢兑氐二线与辛离平行
　　作坤房兑尾二线所成正
　　方各为前图正方积之一
　　半则于离辛巽乙正方形
　　内减房坤亢乙正方形余
　　离辛巽亢坤房磬折形积
　　亦与乙尾兑氐正方积等
　　乙兑氐勾股积亦与离辛
　　坤房斜尖长方积等而辛
　　箕倍撱圆差乘辛离余
　　折半之乙辛箕三角积原
　　与离辛壬房长方积等【辛壬
　　为四十五度之撱圆差辛箕为倍差与辛离余相
　　乗折半得乙辛箕积故与离辛壬房长方积等】比
　　离辛坤房斜尖长方积仅
　　多辛壬坤一小勾股积则
　　借乙辛箕三角积为与乙
　　兑氐勾股积相等亦可也
　　由此推之逐度之正余
　　所成之勾股虽非正方
　　而斜不改则各数比例
　　皆同试自与丙丑平行之
　　乙癸线所截之癸作癸
　　未正癸斗余又依乙
　　戊小径截乙癸线于牛作
　　牛女牛虚二线又依甲乙
　　两心差截乙癸线于水作
　　水火水金二线皆相平行
　　则于斗癸未乙长方形内
　　减去女牛虚乙长方形余
　　斗癸未虚牛女磬折形积
　　亦与金水火乙长方积等
　　乙水火勾股积亦与斗癸
　　牛女斜尖长方积等而癸
　　午倍撱圆差乗癸斗余
　　【与乙未等】折半之乙癸午三角
　　积原与斗癸子女长方积
　　等【癸子为撱圆差癸午为倍差与癸斗余相乗
　　折半得乙癸午积故与斗癸子女长方积等】比
　　斗癸牛女斜尖长方积仅
　　多癸牛子一小勾股积则
　　借乙癸午积为亦与乙水
　　火勾股积等而甲乙土勾
　　股与乙水火勾股为相等
　　形【同用一乙角土角与火角同为直角而甲乙与
　　乙水等故三边及面积皆相等】比甲乙巳
　　积仅多甲巳土一小弧矢
　　积其差只在微纎之间故
　　谓甲乙巳积与乙癸午积
　　相等也此法所得实行较
　　前法多百分秒之二十四
　　盖乙卯丁积比乙壬丁积
　　多乙卯壬积实与甲乙土
　　积等而比甲丑丁积仅多
　　甲乙巳积则是甲丑丁积
　　比乙壬丁四十五度积为
　　稍大故所得实行丑甲丁
　　角亦稍大计其所大之数
　　适与甲巳土弧矢积度相
　　去不逺至于以乙癸午三
　　角积为与斗癸牛女斜尖
　　长方积等其数微多【多癸牛子
　　勾股积】以癸午为倍撱圆差
　　其数微少然其多少之差
　　约足相抵可不计也
　　又如太阳平行距最卑后
　　九十度求实行若干度分
　　先从本天心设丁乙戊角
　　九十度则乙戊丁分撱圆
　　面积亦为九十度次与乙
　　戊平行作丙癸线自甲至
　　癸作甲癸线则丙角与戊
　　乙丁角等而甲癸丁分撱
　　圆面积即为九十度与乙
　　戊丁积等【九十度无撱圆差觧见后】是
　　为平行癸甲丁角即为实
　　行乃丙癸线引长至子
　　使癸子与甲癸等则丙子
　　为二千万又自甲至子作
　　甲子线成甲丙子三角形
　　求得子角五十八分五秒
　　【小余五五】倍之得一度五十六
　　分一十一秒【小余一○】即甲丙
　　癸形之癸角度与丙角九
　　十度相加得九十一度五
　　十六分一十一秒【小余一○】为
　　癸甲丁角度即平行距最
　　卑后九十度时之实行度
　　也盖乙戊丁为撱圆四分
　　之一其积为九十度戊乙
　　丁角亦九十度【积度与角度同为一
　　线故无撱圆差】丙角既与乙角等
　　甲癸丁积又与乙戊丁积
　　等【甲癸丁积比乙戊丁积多一丑癸戊形少一甲
　　乙丑形而甲乙丑积与丑癸寅积等是丑癸戊形比
　　甲乙丑形仅多癸戊寅一小弧矢积故谓丑癸戊积
　　与甲乙丑积等而甲癸丁积亦谓与乙戊丁积等】故即以平行积度为丙角
　　而求甲角为实行度也此
　　法所得实行较前法多百
　　分秒之六十七盖甲癸丁
　　积比乙戊丁积多癸戊寅
　　弧矢积九十度稍大故实
　　行亦稍大又丙角至九十
　　度则弧矢之癸寅半与
　　甲乙两心差相等是为最
　　长积亦最大故所差最多
　　过此则所差又渐少矣
　　又如太阳平行距最卑后
　　一百二十度求实行若干
　　度分先从本天心设丁乙
　　癸角一百二十度则乙子
　　丁分撱圆面积亦为一百
　　二十度次将丁乙癸角减
　　丑乙寅撱圆差角【九十度以外小
　　一撱圆差角故减】则癸乙已外角
　　大一撱圆差角以撱圆小
　　半径九九九八五七一【小余
　　八五】为一率大半径一千万
　　为二率所设癸乙已外角
　　六十度之正切一七三二
　　○五○八为三率求得四
　　率一七三二二九八一【小余
　　九八】为己乙寅外角之正切
　　检表得六十度○分一十
　　二秒【小余七六】即己乙寅外角
　　度与一百八十度相减余
　　一百一十九度五十九分
　　四十七秒【小余二四】即寅乙丁
　　内角度次与乙寅平行作
　　丙卯线自甲作甲卯线则
　　丙角与寅乙丁角等甲卯
　　丁积为分撱圆一百二十
　　度之面积与乙子丁积等
　　是为平行卯甲丁角即为
　　实行乃将丙卯线引长至
　　辰使卯辰与甲卯等则丙
　　辰为二千万又自甲至辰
　　作甲辰线成甲丙辰三角
　　形求得辰角四十九分五
　　十三秒【小余四六】倍之得一度
　　三十九分四十六秒【小余九二】即甲丙卯形之卯角度与
　　丙内角一百一十九度五
　　十九分四十七秒【小余二四】相
　　加得一百二十一度三十
　　九分三十四秒【小余一六】为卯
　　甲丁角度即平行距最卑
　　后一百二十度时之实行
　　度也盖与丙卯平行之乙
　　寅线截本天于巳所截之
　　乙巳丁积比甲卯丁积小
　　一卯己午形与甲乙未形
　　等【乙巳丁积比甲卯丁积少一卯己酉形多一甲
　　乙酉形而甲乙酉形与卯午酉形等以多补少仍少
　　一卯巳午形又将乙己线引长至未使酉未与酉巳
　　等而酉甲原与酉卯等卯午原与甲乙等故作甲未
　　弧则卯巳午积即与甲乙未积等】此甲乙
　　未形之积与寅申倍撱圆
　　差乘乙戌余折半之乙
　　寅申三角形积等【寅丑癸子皆撱
　　圆差而癸子微小于寅丑丑申又微小于癸子然为
　　数无多故谓寅申为倍差与乙戌余相乘折半得
　　积与甲乙亥勾股积等比甲乙未积仅小甲未亥一
　　小弧矢积故借甲乙未积为与乙寅申积等】亦
　　即与乙子巳积等【与前法同】夫
　　乙巳丁积比乙子丁小一
　　乙子巳积比甲卯丁积小
　　一甲乙未积甲乙未积既
　　与乙子巳积等则甲卯丁
　　积必与乙子丁积等而乙
　　子丁为分撱圆一百二十
　　度之面积癸乙丁角为一
　　百二十度之角寅乙丁角
　　比癸乙丁角原小一撱圆
　　差角卯丙丁角又原与寅
　　乙丁角等故于平行一百
　　二十度内减一撱圆差角
　　为丙角其甲卯线所截撱
　　圆积即与平行度相等而
　　求得甲角为实行度也此
　　法所得实行较之前法多
　　百分秒之四十一盖乙巳
　　丁积比乙子丁积少乙子
　　己积仅与甲乙亥积等而
　　比甲卯丁积则少甲乙未
　　积是甲卯丁积比乙子丁
　　一百二十度积为稍大故
　　所得实行卯甲丁角亦稍
　　大然所差最大者不过半
　　秒有竒不为不密而法最
　　为简便故日躔求实行用
　　此法也

　　求均数
　　均数者盈缩差也最卑前后两象限为行盈最髙前后两象限为行缩然盈缩差自最卑最髙起算最髙前一象限虽行缩而实行仍大于平行故最卑后半周皆为加差最卑前一象限虽行盈而实行仍小于平行故最髙后半周皆为减差上编言之详矣今求盈缩差用前借角求角之法与不同心天之法畧同但多一撱圆差耳故先以平行求得对倍两心差之角又以平行求得撱圆差角与对倍两心差之角相加减而得均数加减之法具详于左
　　如图甲为地心乙为本天
　　心甲乙为两心差甲丙为
　　倍差丁戊己庚为本天辛
　　壬癸子为黄道以行度言
　　之太阳在最卑前后当子