御制历象考成后编

　　求黄道高弧交角
　　求交食方位及日食三差皆用黄道高弧交角上编月食方位求交角之法与日食三差之求交角者微有不同而畧为简易葢各圏相交皆成弧线三角形转换相求法可相通而理实一致彼此互相发也近日西法又以黄道赤经交角与赤经高弧交角相加减而得黄道高弧交角用以求月食方位繁简大槪相同而用以求日食三差则甚为省便葢黄道随天西转其象时时不同而黄道赤经交角无异不须逐时推算也因着其法于左
　　如图甲为天顶甲乙丙为
　　子午圏乙丙为地平丁为
　　赤极戊己庚为赤道辛为
　　黄极壬癸子丑为黄道己
　　为春分丑为黄道交西地
　　平之防壬为黄平象限距
　　丑九十度癸为正午壬癸
　　为黄平象限距正午之度
　　壬寅为黄平象限距地平
　　之度即丑角度子为太隂
　　实行经度【日食即为太阳经度月食为太
　　阳对冲地影之经度】子已为太隂距
　　春分后之经度子壬为太
　　隂距黄平象限之度甲子
　　夘为高弧丁子辰为赤道
　　经圈辰巳为赤道同升度
　　戊辰为太阴距正午赤道
　　度【日食即太阳距午正赤道度月食为太阳距子
　　正赤道度】丑子夘角为黄道高
　　弧交角求之之法先用戊
　　己弧求癸己癸戊二弧及
　　癸角次求癸丑弧及丑角
　　以求子角者日食三差之
　　法也先用己庚弧求己丑
　　弧及丑角以求子角者月
　　食方位之法也今按己子
　　辰角即黄道赤经交角甲子
　　丁角与辰子夘角为对角即
　　赤经高弧交角两角相减即
　　得丑子夘黄道高弧交角夫
　　黄道交地平之丑角时时不
　　同而己子辰黄道赤经交角
　　则初亏与复圆无异然则先
　　求得黄道赤经交角至求黄
　　道高弧交角则惟求一赤经
　　高弧交角与之加减而己其
　　加减之法以太阴在夏至前
　　后各六宫与距正午之东西
　　为定试以甲为天顶作乙庚
　　丙己地平圏乙甲丙为子午
　　经圏庚甲己为东西经圏庚
　　戊己为赤道丑己未为黄道
　　己为春分

　　当黄平象限丑为冬至当西
　　地平未为夏至当东地平是
　　为夏至前六宫在地平上癸
　　为黄道当正午之度己癸为
　　黄平象限距午东之度设太
　　隂子防在正午之西甲子夘
　　为高弧丁辰子为过赤极经
　　圏己子辰角为黄道赤经交
　　角甲子丁角为赤经高弧交
　　角丑子夘角为黄道高弧交
　　角与甲子癸角等是以甲子
　　丁赤经高弧交角与己子辰
　　黄道赤经交角相减余甲子
　　癸角即黄道高弧交角也设
　　太隂申防在正午之东甲申
　　酉为高弧丁申戌为过赤极
　　经圏巳申

　　戌角为黄道赤经交角与丁
　　申未角等甲申丁角为赤经
　　高弧交角酉申未角为黄道
　　高弧交角乃甲申未角之外
　　角是以甲申丁赤经高弧交
　　角与丁申未黄道赤经交角
　　相加得甲申未角与半周相
　　减余酉申未角即黄道高弧
　　交角也若己为秋分当黄平
　　象限未为夏至当西地平丑
　　为冬至当东地平是为夏至
　　后六宫在地平上癸为黄道
　　当正午之度己癸为黄平象
　　限距午西之度设太隂子防
　　在正午之西甲子夘为高弧
　　丁子辰为过赤极经圏己子
　　辰角为黄

　　道赤经交角与丁子未角等
　　甲子丁角为赤经高弧交角
　　夘子未角为黄道高弧交角
　　乃甲子未角之外角是以甲
　　子丁赤经高弧交角与丁子
　　未黄道赤经交角相加得甲
　　子未角与半周相减余夘子
　　未角即黄道高弧交角也设
　　太隂申防在正午之东甲申
　　酉为高弧丁戌申为过赤极
　　经圏己申戌角为黄道赤经
　　交角甲申丁角为赤经高弧
　　交角丑申酉角为黄道高弧
　　交角与甲申癸角等是以甲
　　申丁赤经高弧交角与己申
　　戌黄道赤经交角相减余甲
　　申癸角即

　　黄道高弧交角也此太隂在
　　午东而亦在限东太隂在午
　　西而亦在限西之常法也若
　　太隂在夏至前六宫而在正
　　午之东如干以己干亥黄道
　　赤经交角与甲干丁赤经高
　　弧交角相加得己干甲角不
　　足九十度与酉干丑角等则
　　不与半周相减即以酉干丑
　　角为黄道高弧交角乃知太
　　隂干防在黄平象限巳防之
　　西也葢惟正当黄平象限高
　　弧与黄道成直角在限西者
　　则高弧与限西之黄道成锐
　　角在限东者则高弧与限东
　　之黄道成锐角今己干甲角
　　既不及九

　　十度故知干防在黄平象
　　限己防之西而干酉高弧
　　乃与限西之干丑黄道相
　　交成锐角也太隂在午西
　　而在限东者仿此【左图以二至当
　　地平乃黄平象限偏午东午西之极大者如二分当
　　地平则黄平象限当正午加减之法并同】至求
　　赤经高弧交角之法则以
　　北极距天顶为一边影距
　　北极为一边影距正午赤
　　道度【日食则为日距正午赤道度】为所
　　夹之角用弧三角法算之
　　如太隂在申甲申丁三角
　　形申角为赤经高弧交角
　　甲丁为北极距天顶申丁
　　为影距北极丁角当戊戌
　　弧为影距正午赤道度因
　　丁角为锐角则自天顶甲
　　作甲坎垂弧于形内使坎角
　　成直角求得甲坎丁坎二边
　　以丁坎与丁申相减即得坎
　　申边用之与甲坎边求申角
　　也如太隂在艮甲丁艮角当
　　戊己弧适足九十度成直角
　　则甲丁即为垂弧即用甲丁
　　艮正弧三角形以求艮角也
　　如太隂在震甲丁震角当戊
　　巽弧过于九十度成钝角则
　　自天顶甲作甲离垂弧于形
　　外使离角成直角求得甲离
　　离丁二边以离丁与丁震相
　　加即得离震边用之与甲离
　　边求震角也又如黄道在天
　　顶北太隂在坤甲坤丁赤经
　　高弧交角

　　大于九十度则自天顶甲作
　　垂弧至兊而所求之丁兊距
　　极分边反大于丁坤影距北
　　极则以坤兑甲兑二边求坤
　　角之外角即知甲坤丁角为
　　钝角也若所求距极分边与
　　影距北极等即知赤经高弧
　　交角为直角不待求也至于
　　赤经高弧交角有与黄道赤
　　经交角相等者亦有与黄道
　　赤经交角共为一百八十度
　　者有反大于黄道赤经交角
　　而不足减者亦有与黄道赤
　　经交角相加大于半周而又
　　减去半周者如北极出地二
　　十三度二十九分以下夏至
　　前后黄道

　　正当天顶太隂子防在夏至
　　未防之前而在正午之西当
　　以赤经高弧交角与黄道赤
　　经交角相减为黄道高弧交
　　角今甲子丁赤经高弧交角
　　与己子辰黄道赤经交角相
　　等两角相减无余即知黄道
　　与高弧合无交角也又如太
　　隂申防在夏至未防之前而
　　在正午之东当以赤经高弧
　　交角与黄道赤经交角相加
　　为黄道高弧交角今甲申丁
　　赤经高弧交角与巳申戌黄
　　道赤经交角相加共一百八
　　十度亦如黄道与高弧合无
　　交角也又如北极出地在二
　　十三度以

　　下夏至前后黄道在天顶北
　　太隂子防在夏至未防之前
　　而在正午之西当于黄道赤
　　经交角内减赤经高弧交角
　　为黄道高弧交角今甲子丁
　　赤经高弧交角与辰子夘角
　　等反大于巳子辰黄道赤经
　　交角则于辰子夘赤经高弧
　　交角内反减巳子辰黄道赤
　　经交角余巳子夘角为黄道
　　高弧交角即知黄平象限在
　　天顶北也又如太隂申防在
　　夏至未防之前而在正午之
　　东当以赤经高弧交角与黄
　　道赤经交角相加为黄道高
　　弧交角今甲申丁赤经高弧
　　交角与戌

　　申酉角等与巳申戌黄道赤
　　经交角相加大于一百八十
　　度则减去巳申戌角及戌申
　　未角共一百八十度余未申
　　酉角为黄道高弧交角亦如
　　黄平象限在天顶北也总之
　　黄道出入于赤道之内外随
　　天左旋其高低斜正旣随时
　　不同又以人所居之南北异
　　地改观益多变换然定之以
　　数自无遁形或从地平立算
　　或从子午圈立算或从赤道
　　经圈立算法虽不同理实一
　　致合而观之益见弧线三角
　　之用至通变矣

　　求月食初亏复圆并径黄道交角【即纬差角】
　　定月食方位月当黄道无距纬即用黄道高弧交角为定交角若月在交前后有距纬则又求纬差角与黄道高弧交角相加减为定交角上编言之详矣【见月食方位篇】然求纬差角之法必先用初亏复圆交周各求距纬今初亏复圆距弧皆斜距之度须复以斜距与白道为比例方得交周颇为费算且前已有斜距黄道交角与九十度相加减即黄道交实纬角则求得并径交实纬角与之相减余并径交黄道之角即纬差角甚为简便故质名之曰并径黄道交角至其与黄道高弧交角相加减之法并同上编兹不复载如图甲乙为黄道丙乙为白道丙丁为黄道距等圏戊己为日月两经斜距甲为地影心食甚时月心在庚初亏时月心在戊复圆时月心在己戊甲辛角为初亏并径黄道交角即初亏纬差角己甲乙角为复圆并径黄道交角即复圆纬差角求之之法先以丙甲庚斜距黄道交角【丙甲庚角与庚丙丁角等】与九十度相加得庚甲辛角为初亏黄道交食甚实纬角【甲庚为食甚两心相距不系经圏以其为南北之度故借名实纬】以丙甲庚斜距黄道交角与九十度相减余庚甲乙角为复圆黄道交食甚实纬角【此论在交前地影由甲向乙月由丙向乙故戊为初亏己为复圆若在交后地影由乙向甲月由乙向丙则己为初亏其角与九十度相减戊为复圆其角与九十度相加】次求得庚甲戊角与庚甲己角等为并径交食甚实纬角初亏则与庚甲辛角相减余戊甲辛角即初亏并径黄道交角复圆则与庚甲乙角相减余己甲乙角即复圆并径黄道交角也乃视并径交实纬角小于黄道交实纬角则初亏复圆在黄道之南北与食甚同若并径交实纬角转大于黄道交实纬角则南北与食甚相反盖太隂近交初亏复圆一在交前一在交后则距纬之南北必变如乙为中交食甚地影心在甲月心在庚甲庚为食甚实纬在黄道北初亏庚甲壬并径交实纬角小于庚甲辛黄道交实纬角则初亏亦为纬北与食甚同复圆庚甲癸并径交实纬角大于庚甲乙黄道交实纬角则复圆变为纬南与食甚相反也食甚实纬在黄道南及食甚在交后者皆仿此旣知初亏复圆并径黄道交角及其在黄道之南北则与黄道高弧交角相加减为定交角其理并与上编同

　　求白经高弧交角
　　日食三差之法以黄白二道交角与黄道高弧交角相加减得白道高弧交角白道与高弧及白道经圏相交成正弧三角形直角对高下差交角对南北差余角对东西差上编言之详矣今以黄赤二经交角加减黄白二经交角得赤白二经交角与赤经高弧交角相加减得白经高弧交角对东西差余角对南北差盖白道与白道经圏相交其角必九十度白经高弧交角即白道高弧交角之余【凡弧角与九十度相减所余为余余角】是用白经高弧交角与用白道高弧交角等且以赤经高弧交角与黄道赤经交角相加减得黄道高弧交角【见前篇】又加减黄白二道交角为白道高弧交角须加减二次而黄赤二经交角即黄道赤经交角之余交食时日必近交黄白二经交角又即与黄白二道交角等故以黄赤二经交角与黄白二经交角相加减得赤白二经交角则为初亏食甚复圆同用之数至求三限白经高弧交角止与赤经高弧交角一加减而得之其法尤为省便也二经交角加减之法以黄道之二至白道之二交为定盖惟冬夏二至黄经与赤经合无交角冬至后黄道自南而北黄经必在赤经西夏至后黄道自北而南黄经必在赤经东交周初宫十一宫在正交前后白道自南而北白经必在黄经西【犹黄道冬至后】交周五宫六宫在中交前后白道自北而南白经必在黄经东【犹黄道夏至后】乃视黄经在赤经西白经又在黄经西或黄经在赤经东白经又在黄经东则相加得赤白二经交角东仍为东西仍为西若黄经在赤经西而白经在黄经东或黄经在赤经东而白经在黄经西则相减得赤白二经交角黄赤二经交角大则从黄经之向黄白二经交角大则从白经之向若两角相等而减尽无余则白经与赤经合无交角也其与赤经高弧交角加减之法则以日距正午之东西为定盖惟日当正午则赤经与高弧合无交角午前赤经必在高弧东午后赤经必在高弧西乃视赤经在高弧西白经又在赤经西或赤经在高弧东白经又在赤经东则相加得白经高弧交角午东亦为限东午西亦为限西若赤经在高弧东而白经在赤经西或赤经在高弧西而白经在赤经东则相减为白经高弧交角赤白交角小则午东仍为限东午西仍为限西赤白交角大则午东变为限西午西变为限东若两角相等而减尽无余则白经与高弧合无交角即知太阳正当白平象限上若两角相加适足九十度则白道在天顶与高弧合若两角相加过九十度则与半周相减用其余即知白平象限在天顶北也是法也不用求黄道高弧交角而迳求白经高弧交角入算甚简而理亦无遗新法用简平仪绘图尤为明显列图如左
　　如图甲为天顶乙丙丁戊
　　为地平圏丙己戊为赤道
　　庚己辛为黄道己为春分
　　庚为冬至辛为夏至癸为
　　赤极【即北极】壬为黄极庚壬
　　癸辛为过二至经圏即过
　　二极经圏冬至日行在庚
　　黄赤二经合为一线无交
　　角冬至后日行自南而北黄
　　经必在赤经西渐逺则角渐
　　大至春分而止如日行在子
　　壬子黄经在癸子赤经西壬
　　子癸角为黄赤二经交角即
　　癸子己黄道赤经交角之余
　　春分日行在己【己子壬角九十度】壬己黄经在癸己赤经西壬
　　己癸角为黄赤二经交角与