御制历象考成

　　十为矢较与较弧三度零
　　八分一十秒之正矢一万
　　四千九百七十六相加得
　　六十二万四千八百二十
　　六为癸子对边之正矢与
　　半径一千万相减余九百
　　三十七万五千一百七十
　　四为癸子对边之余检
　　表得二十度二十一分四
　　十一秒为癸子边之度亦
　　即丙角度也次求乙丙边
　　则以丙角之正三百四
　　十七万九千三百八十七
　　为一率甲角六十度三十
　　九分一十秒之正八百
　　七十一万六千六百五十
　　七为二率甲乙边二十三
　　度三十分之正三百九
　　十八万七千四百九十一
　　为三率求得四率九百九
　　十八万九千五百七十三
　　为乙丙边之正检表得
　　八十七度二十三分与半
　　周相减余九十二度三十
　　七分即乙丙边之度内减
　　九十度余二度三十七分
　　即星距黄道南之纬度也
　　次求甲丙边以丙角之正
　　三百四十七万九千三
　　百八十七为一率乙角一
　　百二十二度二十九分之
　　正八百四十三万五千
　　四百七十七为二率仍以
　　甲乙边之正三百九十
　　八万七千四百九十一为
　　三率求得四率九百六十
　　六万七千三百三十一为
　　甲丙边之正检表得七
　　十五度一十分四十六秒
　　与半周相减余一百零四
　　度四十九分一十四秒即
　　甲丙边之度内减九十度
　　余一十四度四十九分一
　　十四秒即星距赤道南之
　　纬度也
　　又法将乙丙弧引长至丁
　　自甲作甲丁垂弧补成甲
　　丁乙甲丁丙两正弧三角
　　形先求甲丁乙形以丁角
　　正即半径一千万为一
　　率乙外角五十七度三十
　　一分之正八百四十三
　　万五千四百七十七为二
　　率甲乙弧二十三度三十
　　分之正三百九十八万
　　七千四百九十一为三率
　　求得四率三百三十六万
　　三千六百三十八为甲丁
　　弧之正检表得一十九
　　度三十九分二十秒即甲
　　丁弧之度也【此即正弧三角形有黄赤
　　交角有黄道求距纬之法】又以甲乙弧
　　二十三度三十分之正切
　　四百三十四万八千一百
　　二十四为一率甲丁弧一
　　十九度三十九分二十秒
　　之正切三百五十七万一
　　千七百五十二为二率半
　　径一千万为三率求得四
　　率八百二十一万四千四
　　百六十七为甲虚角之余
　　检表得三十四度四十
　　六分一十二秒即甲虚角
　　之度也【此即正弧三角形有黄道有赤道求
　　黄赤交角之法】次求甲丁丙形以
　　丙甲乙角六十度三十九
　　分一十秒与甲虚角三十
　　四度四十六分一十二秒
　　相加得九十五度二十五
　　分二十二秒为丙甲丁角
　　乃以其余九十四万五
　　千零六十四为一率半径
　　一千万为二率甲丁弧一
　　十九度三十九分二十秒
　　之正切三百五十七万一
　　千七百五十二为三率求
　　得四率三千七百七十九
　　万三千七百五十七为甲
　　丙弧之正切检表得七十
　　五度一十分四十六秒与
　　半周相减余一百零四度
　　四十九分一十四秒即甲
　　丙边之度也【此即正弧三角形有黄赤
　　交角有赤道求黄道之法】既得甲丙边
　　则以对边对角之法求之
　　即得乙丙边矣此两角夹
　　一边之法也

　　御制象考成上编卷三
<子部,天文算法类,推步之属,御制历象考成>
　　钦定四库全书
　　御制歴象考成上编卷四
　　日躔歴理
　　南北眞线
　　北极髙度
　　地半径差
　　黄赤距纬
　　清气差
　　测岁实以定平行
　　本天髙卑为盈缩之原
　　求两心差及最髙
　　最髙行及本轮均轮半径
　　求盈缩差
　　时差【原名日差】
　　曚影刻分
　　昼夜永短
　　节气时刻

　　南北眞线
　　辨方定位厯象首务盖必先定南北然后可以候中星歩日躔然南北之大势虽若昜知而立线定向必豪厘不失乃得其眞即用指南针亦有所偏向不可为准其所偏向又随地不同故欲得南北之眞线者必以测量星日为主
　　法于春秋分日植表于案
　　令极平取日影自午前至
　　午后视表末影所至随作
　　防为识次联诸防成一直
　　线即东西线取东西线之
　　正中作垂线即南北线也
　　或不拘何日植表取影自
　　午前至午后视表末影所
　　至随作防为识次取与表
　　心最近之一防为午正表
　　影乃太阳出地平最髙之
　　度依此防向表心作直线
　　即南北线也
　　又法用方案令极平作圜
　　数层植表于圜心以取日
　　影凡影圜上者皆作防识
　　之乃视午前午后两防同
　　在一圜上者作直线联
　　之即东西线取东西线之
　　正中向圜心作垂线即南
　　北线也
　　又法植表取日影别用仪
　　噐测得午前日轨髙度作
　　防于影末又测得午后日
　　轨髙度与午前等亦作防
　　于影末乃以两防作直线
　　联之即东西线取东西线
　　之正中向表作垂线即南
　　北线也
　　又法于冬至日前后用仪
　　噐测勾陈第五星初昏时
　　此星在北极之西候其渐
　　转而西至不复西而止至
　　五更后此星在北极之东
　　候其渐转而东至不复东
　　而止两表视线之正中即
　　南北线也葢勾陈第五星
　　冬至日酉时在极西卯时
　　在极东他星则离极右逺
　　故止取此星可以得东西
　　之准他时非不可测但或
　　日永夜短卯酉二时星不
　　可见故必于冬至日前后
　　测之也
　　又法取恒星之大者用两
　　仪噐测之一测其髙度一
　　测其地平经度视此星在
　　东时测其髙度若干随测
　　其地平经度俟此星转而
　　西测其髙度与在东时等
　　者复测其地平经度此两
　　经度之正中即南北线此
　　法与前同然不拘冬至他
　　日皆可用较前法为简便
　　也

　　北极髙度
　　北极为天之枢纽居其所而不移其出地有髙下者因人所居之地南北之不同也是故寒暑之进退昼夜之永短因之而各异焉盖厯法以日躔出入赤道之度定诸节气而北极出地之度即赤道距天顶之度倘推测不精髙度差至一分则春秋分必差一时而冬夏至必差一二日日躔既差则月离五星之经纬无不谬矣故测北极出地之髙下最宜精宻不容或略也授时厯测得京师北极出地四十度七十五分以周天三百六十度每度六十分约之为四十度零九分五十一秒新法算书京师北极出地三十九度五十五分今测得畅春园北极出地三十九度五十九分三十秒
　　法于冬至日前后用仪器
　　测勾陈大星出地之度酉
　　时此星在北极之上候其
　　渐转而髙至不复髙而止
　　为最髙之度卯时此星在
　　北极之下候其渐转而低
　　至不复低而止为最低之
　　度乃以所测最高最低之
　　度折中取之即北极出地
　　之度也盖北极无星其髙
　　低不可得而见故取星之
　　环绕北极上下者测之惟
　　勾陈大星冬至酉时在最
　　髙卯时在最低可以得髙
　　低之准也
　　又法取恒星之大者测其
　　最髙为若干度若此星为
　　赤道以南之星则以其距
　　赤道之纬与其髙相加得
　　若干即赤道之髙度若此
　　星为赤道以北之星则以
　　其距赤道之纬与其髙相
　　减得若干即赤道之髙度
　　既得赤道之髙与一象限
　　九十度相减余若干即北
　　极出地之度也此法较之
　　前法为少烦盖因赤道南
　　北之星距赤道之纬俱系
　　测得北极之髙度而后可
　　得而恒星有岁差其纬度
　　亦有増损然存此法与前
　　法参互考騐可也

　　地半径差
　　凡求七曜出地之髙度必用测量乃测量所得之数与推歩所得之数徃徃不合盖推歩所得者七曜距地心之髙度而测量所得者七曜距地面之髙度也距地心之髙度为眞髙距地面之髙度为视髙人在地面不在地心故视髙必小于眞髙以有地半径之差也【或有大于眞髙者则清蒙气所为也】盖七曜恒星虽皆丽于天而其髙下又各不等惟恒星天为最髙其距地最逺地半径甚防故无视髙眞髙之差若夫七曜诸天则皆有地半径差今欲求太阳之眞髙必先得地半径差欲求地半径差必先得地半径与日天半径之比例今随时测太阳之髙度求得地半径与日天半径之比例最髙为一与一千一百六十二最卑为一与一千一百二十一比旧定地半径与日天半径之比例最髙少二十二最卑多二十一盖太阳髙卑之故由于两心差然最髙之髙于本天半径最卑之卑于本天半径者非两心差之全数而止及其半【详见本轮均轮半径篇】旧表日天半径乃依两心差全数所定故最髙较实测则多最卑较实测必少也
　　如图甲为地心乙为地面
　　甲乙为地半径乙丙为地
　　平丁戊己为太阳天庚辛
　　壬癸为恒星天戊为太阳
　　人从地面乙测之对恒星
　　天于壬其视髙为壬乙丙
　　角若从地心甲计之则见
　　太阳于戊者对恒星天于
　　辛其真髙为辛甲癸角此
　　两髙之差为乙戊甲角即
　　地半径之差然又时时不
　　同者其故有二一太阳距
　　地平近其差角大渐髙则
　　渐小一太阳在本天上又
　　有髙卑髙则距地心逺其
　　差角小卑则距地心近其
　　差角大【如戊甲线其长短时时不同其所以
　　逺近之故详见于后】今约为最髙与
　　中距及最卑三限【太阳本天髙卑
　　细推之每日不同然用以求差角所差甚防故止用
　　三限】于夏至春秋分冬至时
　　各以所测地面上太阳之
　　髙度求太阳距地心之戊
　　甲线【太阳夏至前后行最髙限春秋分前后行
　　中距限冬至前后行最卑限故于三时测之】康熙五十四年乙未五月
　　二十九日甲子午正【夏至后八
　　日也以本日太阳躔本天之最髙为距地心之最逺】在畅春园测得太阳髙七
　　十三度一十六分零二十
　　三防同时于广东广州府
　　测得太阳髙九十度零六
　　分二十一秒四十八防以
　　之立法甲为地心乙为畅
　　春园地面庚为天顶子为
　　广州府地面丑为天顶戊
　　为太阳寅为赤道寅庚弧
　　三十九度五十九分三十
　　秒为畅春园赤道距天顶
　　之度寅丑弧二十三度一
　　十分为广州府赤道距天
　　顶之度【赤道距天顶数俱系实测所得】以
　　两处赤道距天顶度相减
　　余一十六度四十九分三
　　十秒为庚丑弧即庚甲丑
　　角以畅春园髙度与一象
　　限相减余一十六度四十
　　三分五十九秒三十七防
　　为庚乙戊角于广州府髙
　　度内减去一象限余六分
　　二十一秒四十八防即戊
　　子丑角【戊在天顶丑北】先用乙甲
　　子三角形此形有甲角一
　　十六度四十九分三十秒
　　又有乙甲及子甲边俱地
　　半径命为一千万乃以甲
　　角折半之正倍之得二
　　九二五九七七为乙子边
　　又以甲角与半周相减余
　　数半之得八十一度三十
　　五分一十五秒为乙角亦
　　即子角次用乙戊子三角
　　形此形有乙子边二九二
　　五九七七有戊乙子角八
　　十一度四十分四十五秒
　　二十三秒【半周内减去甲乙子角又减去
　　庚乙戊角余即戊乙子角】有戊子乙角
　　九十八度一十八分二十
　　三秒一十二防【半周内减去甲子乙
　　角又减去戊子丑角余即戊子乙角】即有乙
　　戊子角五十一秒二十五
　　防求得戊子边一一六一
　　三二二三八三九次用戊
　　子甲三角形此形有戊子
　　边有子甲边【地平径一千万】有戊
　　子甲之外角六分二十一
　　秒四十八防【即戊子丑角】求得
　　戊甲边一一六二二六四
　　二五一二为太阳在本天
　　最髙时距地心之逺以地
　　半径较之其比例如一与
　　一千一百六十二也【乙甲一千
　　万与一一六二二六四二五一二之比同于一与一
　　千一百六十二有余之比】末用乙戊甲
　　三角形乙甲边为一戊甲
　　边为一一六二戊乙甲之
　　外角一十六度四十三分
　　五十九秒三十七防【即庚乙戊
　　角】求得乙戊甲角五十一
　　秒零五防为最髙限太阳
　　髙七十三度一十六分之
　　地半径差以加畅春园视
　　髙七十三度一十六分零
　　二十三防得七十三度一
　　十六分五十一秒二十八
　　防为畅春园太阳之眞髙
　　也于乙戊子角五十一秒
　　二十五防内减去乙戊甲
　　角五十一秒零五防余二
　　十防为甲戊子角乃最髙
　　限太阳髙九十度零六分
　　二十一秒之地半径差【即八
　　十九度五十三分三十九秒之地半径差】以减
　　广州府视髙九十度零六
　　分二十一秒四十八防【视髙
　　过九十度故减】得九十度零六分
　　二十一秒二十八防为广
　　州府太阳之眞髙也
　　又康熙五十五年丙申三
　　月初五日丙申午正【春分后八
　　日也以本日太阳躔本天之中距为距地心之适中】在畅春园测得太阳髙五
　　十三度零三分三十八秒
　　一十防同时于广东广州
　　府测得太阳髙六十九度
　　五十四分零八秒三十八
　　防减去纬差一十四秒余
　　六十九度五十三分五十
　　四秒三十八防【测得广州府子午线
　　在京师之西三度三十三分其午正时乃京师午正
　　初刻十四分也夫太阳距纬度夏至时每日止差四
　　十余秒其一刻所差甚防可不论若春分时每日差
　　至二十四分则十四分时可差一十四秒又春分后
　　太阳自卑而髙纬度既差一十四秒则午正之髙度
　　亦多一十四秒故必于所测之度减去纬差始为与