同文算指

　　四之一【一十八】再加
　　二十二共一百只
　　问二商各擕毋银未知其数但云取乙十二两与甲则乙有甲六之一取甲十五两与乙则甲有乙十之一其实数若干法从乙起算先借二十两为乙衰列左上内减十二【余八】以当甲六之一用六因求甲【六八四十八】内还乙所加【十二】存数三十六又捐十五与乙【甲剩二十一其乙原余八又取甲十二共二十今又加得三十五】以甲剩数较乙加数甲是乙十之一否【甲二十一则乙当二百一十今乙只三十五】不足一百七十五列左下另借一百为乙衰列右上内减十二【得八十八】以六因求甲衰【五百二十八】亦还所加【十二】存数五百一十六内除十五与乙【甲剩五百一乙原余八十八又取甲十二　共一百今加十五该一百一十五】以乙较甲甲是乙十之一否【甲五百一则乙当五千一十今乙只一百一十五】不足四千八百九十五列右下两不足相减为法左右上下互乘相减余为实以法除实得十七两零五十九之二为乙毋内捐十二两与甲则实得五两又五十九之二以六因求甲得三十两零五十九之十二内亦减十二实得十八两零五十九之十二再捐十五两与乙加乙原数十七两又五十九之二共得三十二两零五十九之二以十之一约

　　问二人所各携银不知其数但云减乙六两与甲则甲多乙一倍减甲三两与乙则与乙正等各实数几何从乙多数起算先借一十五两为乙衰列左上内减六存九以当甲之半则甲该一十八内又除所加六得十二为甲衰正数内减三与乙则甲剩者九以甲所剩九较乙衰十五及所加之三乃盈九【甲九乙十八也】列所盈于左下另借二十为乙衰列右上内减六存十四倍之为甲衰当是二十八亦减所加六实得二十二为甲衰正数若取三与乙则甲剩十九以甲之十九较乙之二十及所加之三又盈四【甲十九乙二十三】列盈数于右下两盈相减为法左右上下互乘相减余为实以法除实得二十四为乙衰内减六与甲余倍之得三十六甲先借六与乙则甲之本数只三十矣就三十之内减其三两并入乙二十四两为二十七甲三十减三亦二十七故其数正等

　　问漏壶一座注水其中下有三孔其甲孔流水二时而尽乙孔流水三时而尽丙孔流水六时方尽若三孔俱开则防时水尽且借四时为用列左上而各据其孔之大小流水之迟速测之【甲二时一壶则四时当尽二壶乙三时尽乙壶则四时当尽一壶零三之一丙六时尽一壶则四时当尽三分壶之二】得数并计之共以四时尽四壶而所问者一壶也为盈三列左下另借十时为用列右上亦以时推其多寡【甲二时一壶则十时该五壶乙三时一壶则十时该三壶零三之一丙六时一壶则十时该一壶零三之二】得数并计共以十时尽十壶比原问一壶又盈九列右下两盈相减剩六为法上下左右互乘相减亦得六为实以法除实得一是二孔俱开则壶
　　水一时
　　泄尽也
　　问漏壶一具上有渇乌注水凡十二时而满下有窍通天池泄水凡十八时而水尽若上注水下泄水当几时水可满且借二十为满候列上以推注泄之时已知下泄十八时尽一壶则二十时当尽一壶零九分壶之一而其上注二十时必能满至二壶九之一方与此合乃且注且泄只有一壶三之二不足九分壶之四列左下另借三十时为满候列右上而各推其时已知下泄十八时尽一壶则三十时当尽一壶零三之二而其上注三十时必须满至二壶三之二方与此合而又不然只满二壶半亦不足六分壶之一列右下两不足相减余为法乃以右上乗左下以左上乗右下减余为实以法除之

　　问甲匠做工三十日完加乙匠则十八日完若独用乙匠须几日完先要知甲匠十八日所做之工乃三十日内五分之三则知乙匠十八日之工乃其五分之二也试借四十日为乙衰列左上以十八日完五之二推之则四十日完九分工之八不足九之一列左下别借六十日为乙衰列右上亦以十八日五之二推之则六十日完全工外又溢九之三列右下两盈不足相并得九之四为法次以左上乗右下右上乘左下相并得九之一百八十为实以法除实得四十五日完工

　　右乙匠十八日完五分工之二所少五之三者算该二十七日完以二十七加一十八是四十五也
　　问甲乙丙三人共博甲赢乙金二之一乙赢丙金三之一丙又赢甲金四之一事毕各剰金七百两三人原携母金若干法已知三人原共金二千一百两【三个七百】三分之当于甲衰七百内与丙四之一又得乙二之一于乙衰当加入丙三之一又与甲二之一于丙衰当得甲四之一又与乙三之一乃先借一百两为甲衰列左上内除四之一【二十五】该存七十五而总有七百两是所赢于乙者为六百二十五两而乙衰当为一千二百五十两矣列左次内输去二之一则所剰当亦为六百二十五两又赢丙三之一而为七百两则亦得丙七十五两而丙所携母为二百二十五两矣又列其次内输与乙三之一尚存一百五十加入得甲四之一【二十五】共得一百七十五两以较原问不足五百二十五列左下别借二百为甲衰列右上内除四之一【五十】剰一百五十而总有七百以乙二之一足之则知乙衰二之一该五百五十两而乙总数为一千一百两矣列右次内输与甲二之一当剰五百五十两又以丙三之一足之而为七百两则亦得丙一百五十两而丙所携母为四百五十两矣又列其次内输与乙三之一尚存三百两加所得甲四之一【五十】仅得三百五十两比原问不足三百五十列右下两不足相减剰为法左右上下互乘相减剩为实以法除实得四百为甲母推知乙母八百【以甲四百减四之一存三百加入乙二之一该増四百是知乙母八百】丙母九百【以乙八百减二之一存四百加入丙三之一该増三百是知丙母九百也甲母四百赢四百输一百乙母八百输四百赢三百丙母九百输三百赢一百俱剰七百而三人所携与所赢所输皆得矣】

　　问甲乙丙三商共贩得子银四百两依母银分之乙比甲多分十二两丙比乙多分十六两要知各分若干先借一两为甲衰列左上推得乙该十三两丙该二十九两共四十三两以视四百不足三百五十七两以次列左下别借二两为甲衰列右上推得乙该十四两丙该三十两共四十六两以视四百不足三百五十四两以次列右下两不足相减剰为法左右上下互乘得数减剰为实以法除实得
　　一百二十为甲衰以
　　推乙衰一百三十二丙
　　衰一百四十八合问
　　问调兵征倭内有南北西三处兵马南兵四万北兵为南兵及西兵二分之一西兵为南兵北兵三分之一要知北兵与西兵各若干并南兵共若干先借三万为北衰列左上推得南西二兵共该六万而西兵仅该二万列左次若为南北三之一则南北共只六万而实七万是盈一万也列左下又借二万四千为北衰列右上推得南西二兵共该四万八千而西兵仅该八千列右次若为南北三之一则南北共只二万四千而实六万四千又盈四万也列右下以盈相减剰数为法上下左右互乘得数亦相减剰为实以法除实得三万二千为北衰推知西兵二万四千总共九万六
　　千而北得
　　南西二之
　　一西得南
　　北三之一

　　问黄金百斤制罏一座既成虑匠人盗金和银销毁验之恐伤工本欲知和银若干法以器贮水令满已知水防斤乃以金罏百斤入器内溢水六十五斤加水令满别以纯金百斤入之溢水六十斤另贮满水以银百斤入之溢水九十斤今借银四十斤为匠所换数列左上存金六十斤列左次其罏溢水六十五斤若以纯金只溢六十斤推之实在罏内之金六十斤只该出水三十六斤又以纯银溢水九十斤推之所和之银四十斤亦该出水三十六斤共该溢七十二斤今视原数【六十五斤】盈七斤列左下又借银三十斤为匠所换数列右上存金七十斤列右次以纯金溢水六十斤推之则罏金七十斤该出水四十二斤又以纯银溢水九十斤推之则和银三十斤该出水二十七斤共该溢六十九斤今视原数【六十五斤】又盈四斤列右下两盈相减剰为法左右上下互乘得数减剰为实以法除实得一十六斤零三分斤之二为匠人盗和银数其实在纯金乃八十三斤三分斤之一也葢比例推之金百斤溢水六十斤则八十三斤及三分斤之一该出水五十斤银百斤溢水九十斤则一十六斤及三分斤之二该出水一十五斤合之得六十五斤合问

　　问绫七尺罗九尺两价适等其每尺之价罗少于绫者其较三十六文此绫罗各价若干是为匿价衰分法先借七十二文为绫价列左上则罗价当三十六文列左次各以尺数乘之【绫七尺得五百○四文罗九尺得三百二十四文】罗视绫不足一百八十文不相等也又列其下别借一百文为绫价列右上则罗价当六十四文列右次各以尺数乘之【绫七尺得七百文罗九尺得五百七十六文】罗视绫不足一百二十四文亦不相等也又列其下以两不足相减余为法乃以左上乘右下右上乘左下得数亦相减余为绫实以法除之得绫每尺价一百六十二文再以左次乘右下右次乘左下各得数相减余为罗实以法除得罗每尺价一百二十六文又各以尺数乘之绫七尺共一千一百三十四文罗九尺亦一千一百
　　三十四
　　文正等

　　问金九锭银十一锭其重适等互换一锭则金轻十三两金银每锭重若干此因互换一锭而金轻十三两因知金银之轻为六两五钱也乃先借一十三两为金衰列右上则银该六两五钱列右次各以锭乘【金九锭得一百一十七两银一十一锭得七十一两五钱】金视银盈四十五两五钱列下另借二十四两为金衰列左上则银该一十七两五钱列左次各以锭乘【金九锭得二百一十六两银十一锭得一百九十二两五钱】金视银盈二十三两五钱又列其下两盈相减余为法

　　而以左上乘右下右上乘左下得数相减余为金实左次乘右下右次乘左下得数相减余为银实俱以法除得金一锭重三十五两七钱五分银一锭重二十九两二钱五分而各以锭乘金九锭共三百二十一两七钱五分银十一锭亦三百二十一两七钱五分正等问牛羊共一百牵总价一百六十八两每牛三头银十二两羊四羫一两五钱欲知牛羊各数各价若干此于大总内又立小总法先以三归十二得牛一头价四两以四归一两五钱得羊一羫价三钱七分五厘而化两及钱分皆为厘算之先借六十为牛衰列左上则羊该四十列左次而以各价乘之【牛六十头乘四千厘得二十四万羊四羫乗三百七十五厘得一万五千并共得二百五十五两】以视共价盈八十七两列左下又借三十为牛衰列右上则羊该七十列右次而以各价乘之【牛得一十二万厘羊得二万六千二百五十厘并共得一百四十六两二钱五分】以视共价不足二十一两七钱五分列右下并盈不足为
　　法依
　　式互
　　乘

　　乃以左右上数互乘下并为牛实左右次数互乘下并为羊实以法除得牛三十六羊六十四以各价乘得总
　　问鸡兎同笼不言其数但云九十六头三百零八足其鸡兎各防何法以九十六头为主先借到鸡四十八只列右上兎亦四十八只列右次而以各足乘之【鸡二足乘四十八得九十六足兎四足乘四十八得一百九十二足】并二百八十八足以较三百○八足不足二十列右下又借作鸡六十只列左上则兎该三十六只列左次而以各足乘之【鸡二足乘六十得一百二十兎四足乘三十六得一百四十四】并二百六十四足以较三百○八足不足四十四列左下两不足相
　　减余二十四为法又以左上乘右下右上乘左下各得数相减余为鸡实以法除之得鸡三十八只
　　其左次右次亦如法乘减余为兎实以法除得兎五十八只各以两足四足乘之合三百○八足之数

　　又法置九十六头倍之得一百九十二以减总足余一百一十六足以二归之得五十八为兎数却以四足乘之得二百三十二又以减总足余七十六以二归之得三十八为鸡数葢以两物皆借作两足起算者以上原二十二条补七条与旧法盈朒畧似然本无盈朒而借立一数以求盈朒乃以盈朒推之者与前借衰互征之法俱极超妙虽至隠至奥之数用此推求未有不涣然氷释者学人熟此二法于算义思过半矣其旧法盈朒章人所恒习亦附数条于后相比拟
　　旧法未知借推之妙只立盈与不足或两盈两不足为母两母相减为法以母子互乘之数求其物实以两子或并或减之数求其人实大抵一盈一不足者相并为实两盈两不足者减余为实俱如前法耳又有叠数盈朒【如防人分防许盈几数防人分防许不足几数之类】列作上中下三位所求人实亦取下层盈不足并减同前而取两上相乘以为通法更乘人实然后乃以上中互乘减余为法除之又以上中乘出之数互乘下层仍前并减以为物实以法除之与人实同
　　问醵金买物每人出五两盈六两每人出三两不足四两人数物价各若干左列五之六右列三之四互乘并之为物实另并两子【六四】为人实两母相减余二为法除人实得人数五除物实得物价一十九两或先得人数以乘出率五内减盈六及以乘三外加不足四皆同

　　右法若依借衰者且借立一数与五相乘内减六得若干又与三相乘外加四得若干如相同即所求之数若不同者则依盈朒推之假如借四人列左上以乘五减盈六得一十四亦以乘三加不足之四得一十六两数相较不足二列左下又借七人列右上以乘五减盈六得二十九亦以乘三加不足之四得二十相较盈四列右下以并左下共六为法左右上下互乘并得三十为实以法除实得五人以乘出率五内减盈六得一十九两若以乘三加不足亦同
　　【此并子数为法并乘数为实以求人数与
　　前两母减余为法而除人实物实及以乘
　　出为物实而以母较除之者法稍异耳】
　　问众人分谷每人五石盈三十石每人六石不足四十石其人谷各若干以五之三十列左六之四十列右互乘并之为谷实并两子【三十四十】为人实两母【五六】相减余一为法除人实得人数七十除谷实得三百八十石或先得人数即以乘分率五外加盈三十及以人数乘分率六内减不足四十亦同【前条系出率故减盈增不足此条系入率故增盈减不足】