同文算指

　　问设一虚数以其半为用内除三之一又除四之一尚余三百其原总数几何其法先另借一通数以分其半而通各分先借二十四为数列左上【其半为十二其三之一为四其四之一为三尚余五】以比三百则不足二百九十五列左下另借九十六为数列右上【其半为四十八其三之一为十六其四之一为十二尚余二十】以比三百不足二百八十列右下次以左上乘右下又以右上乘左下各得数附注其下以少减多其余为实而以左下右下相减其余为法除之

　　除得一千四百四十合原总以减半为七百二十其三之一乃二百四十其四之一乃一百八十加三百合一半七百二十之数
　　假如借四千八百为通数列左上【其半为二千四百其三之一为八百其四之一为六百余一千】以比三百则盈七百列左下又借二千四百为通数列右上【其半为一千二百其三之一为四百其四之一为三百余五百】以比三百盈二百列右下亦以二数相减余为法而以左上乘右下以右上乘左下相减余为实而以法除之

　　以法除实亦得一千四百四十合原总数
　　又假如借二千四百为通数列左上【即前第二式右上者尚余五百】盈二百列左下再借九十六列右上【即前第一右上者余二十】不足二百八十列右下此系一盈一不足者相并为法次以左上乘右下以右上乘左下亦相并为实以法除实仍得一千四百四十

　　问三人共银四十四两乙多甲一倍外又多四两丙兼甲乙之数外又多六两每人实数防何【此大约当以四分分之而算】先借一十为通数列左上【甲一十乙倍得二十又加四共二十四丙兼二数又加六得四十】共七十四以比四十四盈三十列左下又借六列右上【甲六乙倍之加四得十六丙兼二数加六得二十八】共五十以比四十四盈六列右下以相减余为法乃以左上乘右下以右上乘左下亦以相减余为实以法除之得五为所求之甲数倍之又加四得一十四为乙数兼之又加六得二十五

　　右图以甲之左数一十乘六及以右数六乘三十者固除得甲五若以乙之二十四乘六及一十六乘三十亦得乙数以丙之四十乘六及二十八乘
　　三十者亦得丙数以
　　共数七十四乘六及
　　五十乘三十者亦得
　　共数
　　问甲乙各不知数取乙九与甲则甲倍于乙取甲九与乙则甲乙正等原数各若干借一百为等数乙既得甲九则甲原一百九列左上而乙九十一列其次甲若取乙九则甲一百十八而乙八十二以视甲之半盈二十三【因甲取乙九当倍乙数故】列左下另借五十为等数乙既得甲九则甲原五十九列右上而乙四十一列其次甲又取乙九则甲得六十八而乙三十三以视甲之半不足二列右下盈不足相并二十五为法左上乘右下右上乘左下相并为实以法除实系甲乘者除得六十三为甲数系乙乘者除得四十五为乙数

　　问携酒游山到处沽増一倍俱饮六升至第四处饮讫无余原携若干借五升四合列左上倍之【一斗八合】减六【四升八合】又倍之【九升六合】减六【三升六合】三次倍之【七升二合】减六【一升二合】四次倍之【二升四合】以减六不足三升六合列左次另借六升二合列右上倍之【一斗二升四合】减六【六升四合】又倍减至四次【倍得一斗二升八合减存六升八合复倍得一斗三升六合减存七升六合又倍得一斗五升二合减存九升二合】盈九升二合列右次盈不足相并为法以左上乘右下右上乘左下并为实以法除实得五升六合二勺五抄

　　问贷谷不知数每年加息一倍一年还谷五斗至五年本利俱完其原贷若干先借四十三石列左上倍之【八十六】减所还【余三十六】又倍之【七十二】又减【余二十二】仍倍之【四十四】不足六石列左下又借四十四石列右上倍之【八十八】减所还【余三十八】又倍之【七十六】又减【余二十六】仍倍之【五十二】盈二石列右下并盈不足为法左上乘石下右上乘左下得数并为实以法除实得原谷四十三石七斗五升
　　或依三率置五十为实置
　　三年之倍【一二四】并得七乘
　　之加母【一】为法除之亦同
　　问逐兔百只每三人得四只该防人先借七十二人列左上以四乘三除【九十六】盈四只列下另借九十人列右上以四乘三除【一百二十】不足二十列下盈不足并为法左上乘右下右上乘左下得数并为实以法除实得七十五人
　　此问依三率三
　　乘四除即得
　　借此见例云
　　问甲乙丙共数六十乙多甲一倍外加四丙兼甲乙数外加六各该防何先借六为甲通乙丙数列左上【甲六乙十六丙二十八】共得五十比正数不足一十列左下又借八为甲通乙丙数列右上【甲八乙二十丙三十四】共六十二比正数盈二列右下相并为法次以左上乘右下以右上乘左下亦相并为实依法除得七零三之二为甲数倍之加四得十九零三之一为乙数兼甲乙加六得三十三为丙数总合六十数

　　问试以三十数随手剖为二以其一加六十以其一加二十而加六十者为加二十者之三之二其剖分之数各防何此取三十而随意剖之且借二十为甲数列左上列乙一十于次而各如问加焉察其数【甲二十加六十得八十乙一十加二十得三十】甲视乙固不足三之二【乙三十则甲之三分二者该九十今却八十】以不足一十列左下又借二十四为甲数列右上亦列乙六于其次各加如问而察其数【甲二十四加六十得八十四乙六外加二十得二十六】甲又盈乙三之二【乙二十六则甲之三分二者该七十八今却八十四】以盈六列右下盈不足积并为法次以左上乘右下以右上乘左下并为实以法除实得二十二又二之一为甲数然后求三之一则七零二之一为乙数也

　　问甲乙丙三数甲加七十三得为乙丙数者二乙加七十三得为甲丙数者三丙加七十三得为甲乙数者四其实数各防何此因有三之二及四之三当借竒数为通数以求甲数而又因乙丙之加牵连难析则叠用前法以征之且如借一乃奇数也以当甲列左上【左图】加七十三【共七十四】当兼乙丙而倍之【既以七十四为兼乙丙且倍之则乙丙当仅得其半共得三十七】因以折半三十七为乙丙数而乙与丙又衰分焉【乙加七十三又得甲丙三之二因寻乙所衰于丙者】依前法随意衰之为两如借二为乙衰另列于左上【右图】则丙系三十五矣列左次乃以二加七十三【得七十五】以较甲丙合数未足三之二【甲一丙三十五共三十六则其三之二乃该一百零八今乙衰二加七十三只有七十五】尚缩三十三列左下又借五当乙【三十七中之五】列右上则丙系三十二矣列右次乃以五加七十三【得七十八】以较甲丙有三之二否不足二十一【甲一丙三十二共三十三则其三之二该九十九今乙衰五加七十三只七十八】列右下两不足相减余为法而以左上乘右下以右上乘左下相减余为实法除实得一十零四之一为乙实乃列乙实于左图初借立一之次既已得乙实即得丙实【乙丙共三十七也乙得一十零四之一则丙得二十六零四之三】列于又次

　　又另借三为甲衰列右上加七十三【共七十六】以其半为乙丙衰【得三十八】而随意分之为两另作一法如前焉如以二为乙衰列左上其余三十六乃丙衰列左次即以乙衰之二加其七十三【得七十五】与甲丙相较是三之二否不足四
　　十二【甲三丙三十六共三】
　　【十九其三分之二乃一百十七】
　　【也今乙衰加之只七十五】即
　　以不足列左下
　　另借二十三为乙衰列右上其半十五为丙衰列右次以乙衰二十三加七十三【得九十六】与甲丙相较是三之二否又盈四十二【甲三丙十五共十八其三分之二当是五十四今乙衰之数与加数却有九十六】以盈列右下盈与不足相并为法仍以左上乘右下以右上乘左下而相并为实以法除实得一十二零二分之一为乙实乃列乙实于前所借甲三之次因得丙实【乙丙共三十八乙既得一十二又二分之一则丙得二十五零二分之一】亦列于又次俱照前式

　　乃依所问察之甲加七十三要兼乙丙数又多一倍乙加七十三要得甲丙数者三丙加七十三要得甲乙数者四

　　如右图左上甲衰及所加【共七十四】已兼乙丙之数与其倍数【乙丙共三十七兼而倍之则七十四也】左次乙衰所加【共八十三又四之一】亦兼甲丙数之三【甲丙共二十七又四之三以加二倍合乙衰】俱合原问惟左又次丙衰及所加【共九十九零四之三】以合甲乙【共十一零四之一】如原问但欲得甲乙数者四只须四十五今却九十九零四之三乃盈五十四零四之三到此不合矣仍依互乘之法求之右上甲衰及所加【共七十六】亦合乙丙兼数与倍数【乙丙共三十八兼倍之则七十六也】右次乙衰及所加【共八十五半】合甲丙亦具三因【甲丙共二十八半三因之得八十五半】惟右又次之丙衰及所加【共九十八零半】以合甲乙【共十五又二之一】以四因之当得六十二今却九十八零二之一乃盈三十二零二之一也不合原问仍依互乘之法求之　于是以左上甲衰乘右下以右上甲衰乘左下相减余为实以左下右下相减余为法除之得七为甲衰如欲得乙衰则以乙之左右上下互乘相减以法除之得一十七为乙衰如欲得丙衰亦以丙之左右上下互乘减除得二十三为丙衰
　　问设有一数以与三相乘外加一十又以此乘四外加二十又乘五外加三十又乘六外加四十即共得六千七百此其原设数防何其法先借二为主列左上以乘三【得六】外加十【共十六】又与四相乘【六十四】加二十【共八十四】又与五相乘【四百二十】加三十【共四百五十】又与六相乘【二千七百】加四十【共二千七百四十】以此所问数【六千七百】不足三千九百六十列左下次借三列右上以乘三【九】外加十【共十九】又乘四【七十六】外加二十【共九十六】又乘五【四百八十】外加三十【五百一十】又乘六【三千六十】外加四十【共三千一百】以比所问数【六千七百】不足三千六百列右下两不足相减余为法除之得一十三系原设

　　右法已除得十三者与三相乘【三十九】加一十【四十九】又与四相乘【一百九十六】加二十【共二百一十六】以乘五【一千八十】加三十【共一千一百一十】以乘六【六千六百六十】加四十实得六千七百合问问二人共分银一百两不得其均若均分则每人当五十两然须甲还所得银三之一乙又还所得银五之一方得每人五十两其不均之分各得若干先借三十两为甲衰列左上亦列乙衰七十于次乃减甲三之一【减一十存二十】亦减乙五之一【一十四】而以乙减归甲【甲二十加乙十四共三十四】以比五十不足一十六列左下另借六十为甲衰列右上亦列乙衰四十于其次乃减甲三之一【减二十存四十】亦减乙五之一【八】而以乙减归甲【甲四十加乙八共四十八】不足二列右下两不足相减余为法以左上乘右下以右上乘左下相减余为实以法除实得六十四两零七分两之二为甲衰就一百两内减甲衰余三十五两又七分两之五为乙衰合原分不均
　　之数

　　问二人共分银一百两未得其均须甲损所得三之一乙亦捐所得四之一和合平分乃各得五十两其未均之数各若干先借六十为甲衰列左上亦列乙四十于左次乃减甲三之一【减二十存四十】减乙四之一【减一十存三十】和所减【甲二十乙一十共三十】而均分之【各得十五】以甲所得十五合减存四十之数【甲原存四十加十五得五十五】以比五十盈五数列左下另借二十四为甲衰列右上亦列乙衰七十六于右次乃减甲三之一【减八存一十六】减乙四之一【减一十九】和所减【甲八乙一十九共二十七】而均分之【各得十三零二之一】以甲所得一十三半之数合减存一十六数【共二十九半】以比五十不足二十半列右下盈不足相并为法右上乘左下左上乘右下相并为实以法除实得五十二两零十七分两之一十六为甲衰其余四十七
　　两又十七分
　　两之一为乙衰
　　问以一千剖为二甲多于乙四十九作何剖之其法借六百为甲衰列左上亦列乙四百于次相较差二百以比四十九则盈一百五十一列左下另借五百五十为甲衰列右上亦列乙四百五十于次相较差一百以比四十九则盈五十一列右下两盈相减余为法以左上乘右下右上乘左下相减余为实以法除实得五百二十四零二分两之一为
　　甲衰余
　　为乙衰

　　问香罏二座其葢重一百五十斤以葢加甲罏则多于乙二倍以葢加乙罏则与甲罏正等此二罏各重若干其法借三十为甲衰列左上葢一百五十列左次共一百八十又列其次以三之一为乙衰得六十以乙加葢【得二百一十】比甲衰三十盈一百八十列左下另借九十为甲衰列右上葢一百五十列左次共二百四十又列其次取其三之一为乙衰得八十以乙加葢【二百三十】比甲衰九十盈一百四十列右下两盈相减余为法左右上下互乘仍相减余为实以法除实得三百斤为甲罏以加葢得四百五十斤其三之一得一百五十斤为乙罏

　　问香罏二座有一葢其葢重百两加甲罏则其重比乙多二倍加乙罏则其重比甲多一倍此二罏各重若干其法借五十为甲衰列左上葢数一百列左次共一百五十又列其次而以其三之一五十为一衰【因甲加葢多乙二倍故】加葢【得一百五十】比甲衰【五十】盈五十列左下【既倍甲五十只该一百今却一百五十故盈五十】另借一百一十为甲衰列右上葢数一百列右次共二百一十又列其次而以其三之一为乙衰【七十】加葢【一百七十】比甲衰【一百一十】不足五十列右下【倍甲一百一十即该二百二十今却一百七十故不足五十】盈不足相积为法左右互乘积为实以法除实得八十两为甲罏其加葢三分之一得六

　　问有人买鹌鹑不知其数但云以其二之一加三之一又加四之一再加二十二共得一百此是防何其法借一通数可以二三四分之者为主先借十二列左上而以二之一【六】三之一【四】四之一【三】并之得十三再加二十二共得三十五以比一百不足六十五列所不足于左下另借六十列右上而以二一【三十】三一【二十】四一【十五】并之得六十五加二十二共得八十七以比一百不足一十三列所不足于右下两不足相减为法左右互乘相减为实以法除实得七十二为所问之数以其二之一【三十六】三之一【二十四】