同文算指

　　【一十】丁【六】椒【七】桂【九】合【十一】砂【十二】魏【十六此以丁魏互又丁合互椒砂互又椒魏互】
　　【六　二　二　四　　三　　四　桂砂互一　六　　　　　　一　　三　差积三十二】
　　一　三十二
　　二　四百斤
　　三　七【丁】　八【椒】　二【桂】　四【合】　四【砂】　七【魏】四　【八十七斤又二之一】一百　　二十五　五十　五十　八十【七斤又二之一】又法
　　【一十】丁【六】椒【七】桂【九】合【十一】砂【十二】魏【十六此以丁互合又互砂又互魏以】
　　【一　一　一　四　　四　　四　椒互合亦互砂二　二　二　三　　三　　三　互魏以桂互合六　六　六　一　　一　　一　亦互砂互魏以上三位徧互下】
　　一　五十一　　　　　　　　　　　　　　【三位差积五十一】二　四百斤
　　三　九　　九　　九　　八　　八　　八
　　四　【七十斤又五十一分斤之三十】同上　同上　【六十二斤又五十一之三十八】同上　同上【右五十一分斤之三十以求两者化一斤为一千六百分以子数三十乘之以母数五十一除之得九两四钱一分又五十一之九也】

　　问金铸编钟一口计重三百两俱九六成色今见有九九成色及九三成色二等金约该每用若干此以九六为中价依法互之
　　【九六】甲金【九九】　乙金　【九一】
　　【五　　　　　三】差积【八】
　　一　八
　　二　三百两
　　三　五【甲】　　　　　　　　三【乙】
　　四　一百七十七两五钱　　一百一十二两五钱问米麦五百石共价四百零五两七钱米每石价八钱六分麦每石价七钱二分五其各石数价数若干先以米麦每石之价乘五百石【米得四百三十两麦得三百六十二两五钱】即以总价立为中率先得石数次得价数
　　【四百三四百五　十两】麦【三百六十二两五钱】
　　【两七钱　四十三　二十四两两二钱　三钱】差积【六十七两五钱】
　　一　六十七两五钱
　　二　五百石
　　三　四十三两二钱【米】　　　二十四两三钱【麦】四　三百二十石【乘石价得二百七十五两二钱】一百八十石【乗石价得一百三十两五钱】问银二十八两二钱买铜锡铁共重三百斤其价铜一斤银一钱五分锡一斤银九分铁一斤银四分此三物各该若干此贵贱衰分三色者以总物归总银立九分四为中价

　　总疋除总银立五钱八分一二毫五丝为中价

　　一　一十六万
　　二　一百六十疋
　　三　三千六百二十五【绫罗同】　四千三百七十五【纱绢同】四　三十六疋又四之一　　四十三疋又四之三【以各疋价乘之合总】又法【先以四约总疋得罗纱各四十疋以减总疋余八十疋为绫绢共数又于总价内减罗价二十八两纱价二十两余四十五两为绫绢共价乃以叠借互征之法推之前铜锡铁三色亦然】
　　借衰互征法第六
　　数有隠伏非衰分可得者则别借虚数以类征之或合率增减或母子射覆如藏阄然借彼征此借虚征实大抵即三率之法而触类长之
　　问三人共买宅一区用价二千七百两其捐价则乙视甲加倍丙视甲乙又加倍各若干此倍增法也随意立一数为甲衰但用小数而以乙丙衰递加之【如甲衰一则乙衰二丙衰六也如甲衰六则乙衰十二丙衰三十六也余仿此】并各衰为第一率【甲衰一者一二六共九也甲衰六者六及十二及三十六共五十四也余仿此】随取一衰为第二率【且用甲】以总价为第三率依互测法得甲数倍之得乙数二倍之得丙数
　　一　五十四
　　二　六【此只借甲衰用乙用丙皆同】
　　三　二千七百
　　四　三百【甲】　　六百【乙】　　　一千八百【丙　乙丙皆从甲倍出】问贮绢不知防何但云其三之一其四之一其五之一并得四千七百疋其实数防何曰此寻一通数可以兼三之一及四之一及五之一者而测之如用六十以通各分【三之一是二十也四之一是十五也五之一是十二也】并之【共四十七】为第一率即以六十为第二率【四十七出于六十】绢总数为第三率一　四十七
　　二　六十
　　三　四千七百
　　四　六千疋
　　问廐马不知防匹但云加一倍又加二之一又加三之一又加四之一又加一共得一百十二匹今算实防匹可用前法否曰此有最后所加一数即不同前法当先减一数只以一百十一算之次立通数可兼各衰者如用十二为通数加一倍【二十四】又加二之一【六】及三之一【四】四之一【三】共得三十七为第一率即以十二为第二率就前一百十二数内减一为第三率【一百十一】凖而测之知三十七出于十二则知一百十一出于何数矣再加一合问
　　一　三十七
　　二　一十二
　　三　一百一十一
　　四　三十六　再加一乃三十七匹
　　问牧羊不知数但云加一倍又加二之一又加四之一外加一得一百其原数若干此亦除去加一数只用九十九为第三率而另借一数为通数如用一十二为次率以加一倍【二十四】加二之一【六】四之一【三】并得三十三为首率依法推之知一十二出于十三则知九十九所出也再加一合问
　　一　三十三
　　二　一十二
　　三　九十九
　　四　三十六【倍之为七十二加二之一得九十加四之一得九十九外加一得一百】问价银五千两买骏马一匹园宅一区园价比马多三倍宅比园多四倍各价几何此与首问法同随意立一数通各衰假如立马衰三十园宅以次增衰【园多三倍得一百二十宅又多园四倍该六百】并为第一率【七百五十】于各衰随取一数为第二率【且用马衰】总银为第三率【五千两】如凖测法得第四率【如用马则得马价余依倍推之】
　　一　七百五十两
　　二　三十【马】　　　一百二十【园】　　六百【宅】
　　三　五千两
　　四　二百【马】　　　八百【园】　　　四千【宅】
　　问入园摘摘过三分之二又五分之一尚剰三十六此园原有防法先求一通数内除三之二及五之一而剰三十六数者假如借立三百内减三之二除二百亦于三百内减五之一除六十通减二数只余四十为第一率以三百为第二率知四十出于三百则知三十六出于何数矣
　　一　四十　【右所云三之二又五之一者倂之未满原数故可以右法推之若云三之一又五之三则】二　三百　【浮于原数知为虚设不必算矣】
　　三　三十六
　　四　二百七十【原数】
　　问二分之一三分之一四分之一五分之一六分之一共并得五百二十二数其原数防何先立一通数可剖为二分之一以至四五六分皆可者如借六十为主依法分之【其二之一为三十其三之一为二十其四之一为十五其五之一为十二其六之一为一十】并各率【共八十七】为第一率以六十为第二率知八十七出于六十则五百二十二出于何数可推也以五百二十二为第三率
　　一　八十七
　　二　六十
　　三　五百二十二【其二之一乃一百八十其三之一乃一百二十其四之一乃九十其五之】四　三百六十　【一乃七十二其六之一乃六十其五百二十二数】问仓中有粟防石不言其数但言外加二之一又三之一又四之一又加一百石便成三百石此其原粟防何其法先减一百石在外只就二百起算乃随借一数可以通二之一及三之一及四之一者如借二十四为通数外加二之一【一十二】又加三之一【八】四之一【六】并之【五十】为第一率所借二十四为第二率知五十出于二十四则二百出于何数可推也以二百为第三率而得第四率外加所减【一百】合问
　　一　五十
　　二　二十四
　　三　二百
　　四　九十六石【外加二之一为四十八加三之一为三十二加四之一为二十四又加一百共三百】问水碓五副大小不等共舂麦五十石甲碓每一时舂七斗乙碓每一时舂五斗丙四斗丁三斗戊一斗五碓齐舂须防时可完完时每碓各舂得防何其法随意立一时数假如借四个时毕之以计各碓所舂【甲二十八乙二十丙一十六丁十二戊四共得八十】并为第一率四时为第二率知八石毕于四时则五十石可推也以五十石为第三率
　　一　八石
　　二　四时
　　三　五十石
　　四　二十五时【以各碓乗甲以七乗得一十七石五斗乙五乗得一十二石五斗丙四乗得一十石丁三乗得七石五斗戊一乗得二石五斗共五十石】
　　问贷赀商贩三次俱获倍息每次归还三百两三次母子适尽原贷若干先借一为母赀以加三次倍息【初一次二其三得四】并得八为首率减母赀之一只并三次倍息【一二四】并得七为次率知七出于八则知三百原母所出矣以三百为第三率
　　一　八
　　二　七
　　三　三百两
　　四　二百六十二两五钱
　　问商贩四次俱获倍息每次费银九十六两四次子母俱尽原母若干亦借一为母加四次倍息【一二四八】并得一十六为首率减母赀之一只并四次倍息【一二四八】并得一十五为次率知十五原于十六则知九十六原于何数也以九十六为三率
　　一　一十六
　　二　一十五
　　三　九十六两
　　四　九十两
　　问有商挟赀赴集初次所获比母银多三之二以并入母银再往获五之四三次往又获四之三实计所获并母银共四百两所原挟赀若干其法先借一数以递乗各母而例推之假如借一十为通数以乘各母【乗三得三十以三十乘五得一百五十以一百五十乘四得六百】并之为第一率以所借一十为第二率知六百出于一十而四百之所从出可知也以四百为第三率【按此条法误置子数不用只以母数逓乗与题问不合】
　　一　六百
　　二　一十两
　　三　四百
　　四　六两又三分两之二【此系初贩原赀三乗得二十两又五乗得一百两又四乗得四百两】问携酒郊游三入肆中俱饮酒一斗九升每饮添酒辄倍余酒至三次酒尽原携若于法借一为原酒加三次倍率【一二四】并得八为首率减原酒之一只三次倍率七为次率以所饮一斗九升为三率知七出于八则知一斗九升所自出矣
　　一　八
　　二　七
　　三　一斗九升
　　四　一斗六升八之五【即六合二勺五抄】
　　又法并三次倍率七以乗所饮【一斗九升】得一石三斗三升减半三次得原携数同前
　　问载米赈济不言其数每次散米一千五百石亦每次籴增俱倍余米之数五赈恰尽无余原米若干法立一为原数加五次倍率【一二四八十六】并得三十二为首率减原数一只并五倍率三十一为次率知三十一之原于三十二即知一千五百之原
　　一　三十二
　　二　三十一　【二三相乘得四万六千五百石以减半五次亦同四率】三　一千五百石
　　四　一千四百五十三石三十二之四【即一斗二升五合】问立一虚数以乘四得数又以乘三得数又以乘六得数外加一十共八百前所立虚数防何其法先除所加一十只以七百九十起算亦借一通数假如借一十为主以递乘得数【乗四得四十又乗三得一百二十又乗六得七百二十】并之为第一率【七百二十】以所借为第二率【一十】知七百二十之出于一十而七百九十之所从出可知也以七百九十为第三率而得第四率乃以一十加之【按此条内并之二字衍末六字应删】一　七百二十
　　二　一十
　　三　七百九十
　　四　一十又三十六之三十五【以乘四得四十三又九之八再以乗三得一百三十
　　一又三之二又乗六得七百九十加一十合问】
　　问老人不知其年但云加二之一又减四之一得九十九嵗实年防何其法借一虚数外加二之一又减四之一而例之假如借八十为算依法加减【加二之一得一百二十又减四之一得九十】得数为第一率八十为第二率知九十之出于八十而九十九之所从出可凖也以九十九为第三率一　九十
　　二　八十
　　三　九十九
　　四　八十八
　　问逺望一塔上露出二丈四尺其下有树遮之云尚有三分之一又五分之二共该髙防何亦借立一数以其三之一及五之二类凖之如借立三十为主酌减余分【三之一乃一十五之二乃一十二】以其所剩数【该剩八即所露】为第一率以三十为第二率知八之出于三十而二十四尺可测也以二十四为第三率
　　一　八尺
　　二　三十尺
　　三　二十四尺
　　四　九十尺　【此塔髙之数内减三之一乃三丈减五之二乃三丈六尺此外露二丈四尺】问旗竿一根其三之一是白色五之一是黒色九之二是青色外尚余十二尺红色竿长防何亦借一数以通各数而观其所剰以类征之假如借四十五数以减各分【减三之一得十五减五之一得九减九之二得一十】其余【四十五内减前各数剩十一】为第一率以所借为第二率【四十五】知十一之出于四十五而十二之所从出可推也
　　一　一十一
　　二　四十五
　　三　一十二尺
　　四　四十九尺又十一分尺之一【其白色三之一乃十六尺又十一之四黒色五之一乃九
　　尺又十一之九青色九之二乃十尺又十一之十也】
　　问白布三十疋青布四十疋共价六百六十两青布毎疋比白布价多一倍各价防何法借一虚数为白价倍之为青价而以前疋数乘之假如借立四两倍得八各乘青白【四乘白得一百二十八乗青得三百二十】并之【四百四十】为第一率以所借四为第二率知四百四十之出于四而六百六十之所出可知也以六百六十为第三率
　　一　四百四十
　　二　四两
　　三　六百六十
　　四　六两　　　【此系白价倍之得青价十二两各乗疋数白得一百八十两青得四百八十两】

　　同文算指通编卷三
　　钦定四库全书
　　同文算指通编卷四
　　明　李之藻　撰
　　叠借互征第七【附盈朒】
　　借虚征实其术精矣又有子母杂互隠奥难知者则两借虚数以征之征之于实尚逺也或两浮而盈或两缩而不足或一盈一不足俱以借数列上以较原数以多寡之差列下而左右互乘焉其法有二凡俱盈俱不足者以差数相减余为法以乗数相减余为实若一盈一不足者以差数相并为实而以法除实则二法相同旧有盈朒一章大都类此而此则于未有盈朒之先借数推出盈朒以求隠数故曰借征其显有盈不足实数者但依旧法求之诸盈不足者两盈者两不足者盈适足者不足适足者及叠互母子者各具数条见例