皇朝经世文三编

　　今有台六百九十七尺长对面有敌国兵船从此头视之成角八十四度四十分从彼头视之成角八十六度三十分求船距二处及台与船最近之处相距各若干　　　　　　　　
杨枢

　　　答曰船距此头四千五百三十一又距彼头四千五百一十九尺台与船最近之处相距四千五百十一尺

* 图略

先求乙角法以丙角八十四度四十分与丁角八十六度三十分相并以减半周一百八十度余八度五十分为乙角度数

次求乙丁边

　一率　乙角正弦　九一八六二八
　二率　丙丁边　　二八四三二三
　三率　丙角正弦　九九九八一一
　四率　乙丁边　　三六五五　六

　　　检表得乙丁边四千五百一十九尺
　　　次求乙丙边

　一率　乙角正弦　九一八六二八
　二率　丙丁边　　二八四三二三
　三率　丁角正弦　九九九九一八
　四率　乙丙边　　三六五六一三
　　　检表得乙丙边四千五百三十一尺
　　　末求乙戊中垂线
　一率　半径　一0000000
　二率　丙角正弦　九九九八一一
　三率　乙丙边　　三六五六一九
　四率　乙戊垂线　三六五四三0

　　　检表得四千五百一十一尺即台与船相距最近之处

　　今有兄弟三家欲掘井使距各家维均甲乙相距二十丈乙丙二十二丈丙甲二十四丈试推其井应在何处与距各家之远近若何　　　　　　　　　　　　
左秉隆

　　　答曰井与各家相距十二丈五尺有奇

* 图略

如图以甲丙为一率甲乙乙丙和为二率甲乙乙丙较为三率求得四率为底边较三丈五尺与甲丙相减半之为句以甲乙为弦求得股十七丈四尺余为甲乙丙三角形之中垂线次以中垂线为一率甲乙为二率乙丙为[三]率求得四率二十五丈有奇为圆径半之为井与各家相距数

　　今有弧矢田试作一界线平分为二分　　　　
杜法孟

* 图略

如图丙乙甲弧矢田先作乙甲直线自乙甲弧折半丁点至壬作丁壬小矢自壬至丙作壬丙线以丁壬丙[为界](乙)即分弧矢田为两平分

解曰丁壬甲等于丁壬乙自壬与乙丙平行作壬戊线与甲丙平行作壬辛线则成壬戊甲壬戊丙辛壬乙辛壬丙四句股形等式等积甲壬丙乙壬丙皆得二句股积故等

又解曰丁壬甲等于丁壬乙甲壬丙乙壬丙二三角形其底等甲壬等于乙壬其高又等同以壬丙为高故其积等

　　弧矢形内求任作相切二圆其心俱在弧背其周俱切弦其法若何　　　　　　　　
杨兆鋆

* 图略

法自大圆心作心甲半径取甲点作戊辛之垂线甲丙以甲为心甲乙为度作圆乙即甲圆周切弦之一点引长甲丙线至丁作丁甲半径甲即甲圆心切弦之一点自丁至戊作丁戊线割甲圆周于己即二圆切点乃作甲己线引长至弧背得庚点即为庚圆心以庚己为度作圆其切弦点为壬即丁戊线交弦之点也

　　三角内求作相等相切六圆　　　　　　　　
懿善

* 图略

平分三边形之三边于一二三作乙一丙二甲三三中垂线相交于丁平分丁甲一角作分角线遇丁一线于子以丁为心以丁子为度度于二三两线遇于丑与寅则丑子寅为所求之三圆心而子一为其半径若过子点作线与甲丙边平行遇甲三丙二两线于卯辰又自卯与辰各作线与甲乙乙丙两线平行则得又三圆心

　　有长椭圆体及圆锥体椭圆短径等于锥之底径长径等于锥高此二体和即等径等高之圆柱试解其理　　　　　　　　　　　
蔡锡勇

* 图略

如图甲乙丙丁为圆柱积其长甲乙戊己丙丁并同即戊己庚辛椭圆体之长径戊 [ 乙 ](己) 丁锥体之高其阔甲丙庚辛乙丁并同即椭圆体之短径锥体之底径夫浑圆本得同径圆柱积三分之二锥体得三分之一椭圆亦然今以甲丙短径求得甲壬丙癸圆面甲乙乘之为柱积三归之为戊庚辛半椭圆积亦为戊乙丁圆锥积则戊庚己辛全椭圆积必得圆柱积三分之二戊乙丁圆锥积必得圆柱积三分之一故相并即圆柱积也

　　大球截积内求所容相等相切三球　　　　　
蔡兆熊

* 图略

如图子辰午为大球截积子午为截积通弦己午为正弦取丑未倍己午作丑未寅等边三角形其中垂线寅己引长己申至卯今申卯等于半己申以卯为心寅为界截辰卯线于酉则酉己为小球全径乃于截积平圆内面以圆心己为心酉己为边作等 [ 边 ](趋) 边三角其三角点即小球切点也

又图设三球心为乙为丙为甲作三线相连成乙甲丙等边三角形其心为戊丁为大球心作丁戊丁丙成戊丙丁句股乃立小球半径为天以代数求之

* 算式略

依式是三正弦为方正字上大矢为长阔较开四个方得小球半径三大矢为长阔较开一个方为小球全径寅己方三倍午己方己卯为半较得酉己即为小球径

　　六面体内容八面体其二体比例若何　　　　
汪凤藻

* 图略

如图甲乙正六面体先求作内容八等面体法取子乙乙丑丑卯卯子四面之心丙丁戊己四点作丙己己戊戊丁丁丙四线成丙戊直角四等边形即内容八面体半锥体之底面次取子丑乙卯二面之心庚辛二点作庚丙庚丁庚己庚戊辛戊辛丁辛己辛丙八线成庚辛丁己八等面体其六角均切六面体之面心欲明二体之比例命六面体之一边为甲八面体之一边为乙以数明之

* 算式略

　　不等面立三角求重心其法若何　　　　　　
汪凤藻

法任以一面为底面求得其重心点自此点至顶角作线必过立三角重心复取一面如法作之得二线交点即所求准此自底面取重心线四分之一即重心

　　今有正圆球三角垛共十球球径一尺求垛顶至平面高若干　　　　　　　　　
杜法孟

　　　答曰二尺六寸三分强

* 图略

法自上层一球与中层三球四球心作六线成六等边形边与球径等以一边为弦半边为句求得股为每一线之中垂线又以一边为弦中垂线三分之二即分角线为句求得股为六等边自尖至底中心之立垂线倍之加球径为垛顶至平面之高

如图子丑辰卯己午未寅酉申十球子为上层辰丑卯为中层己午未寅酉申为下层试自子辰丑卯四球心作甲乙丙丁六边形棱六角四平铺之则面亦四如壬辛各成一等边三角形试以乙丙丁一面为底取乙丙一边为弦丁丙一边折半为句求得乙戊股为底面之中垂线又以甲丙一边为弦己丙中垂线三分之二为句求得甲己股为自尖至底中心之立垂线即六边行之高亦即上层球心至中层球心之高亦即中层球心至层底球心之高故倍之加上下二半径得垛顶至平面之高

又法以倍球径为边作六等边形如前法求得立垂线加球径即得如前图甲乙边倍则甲己立垂线必倍故加球径即得

又法以每边自乘三归二因开平方即得自尖至底中心之立垂线如前图戊丙为甲丙线之半则戊丙方为甲丙方四分之一甲戊方必为甲丙方四分之三亦十二分之九又己戊线为甲戊线三分之一则己戊方为甲戊方九分之一甲己方必为甲戊方九分之八亦即甲丙方十二分之八亦即甲丙方三分之二故以每边自乘三归二因开平方得立垂线

　　今有官司依平方招兵初日方边四尺以后每日递加二尺每人日给银一两二钱已支银二万六千零四十两推招了几日已招若干兵　　　　　　　　　　　
黎子祥

　　　答曰共招十四日

　　　　　招兵四千九百五十六名

* 算式略

　　瓜豆同日发芽生蔓瓜蔓初日长一尺六寸以后每日所长递减半豆蔓初日长一寸以后每日所长递加半二蔓第几日相等　　　　　　　　　　
蔡锡勇

　　　答曰五日

解曰此即连比例率数瓜蔓初日所长为末率豆蔓初日所长为首率得若干率数即二蔓相等日数以代数明之

* 算式略

于此可见未之指数必比层数减一命层数于天则末率恒为● 即●准代数之理上式可变为 ●为首率一之对数等于　故以二之对数一0三除瓜蔓初日所长一尺六寸之对数四0二一得四加一得五为相等日数

　　有平句有明股求圆径　　　　　　　　　　
长秀

* 算式略

　　有边股有平句股较求圆径　　　　　　　　
廷铎

* 算式略

　　有底句有明股求圆径　　　　　　　　　　
长秀

* 算式略

　　有底弦较和有高句股较求圆径　　　　　　
辛泽贤

* 算式略

　　有断句股较有大弦和和求圆径　　　
联印

* 算式略

　　有明弦有底句求圆径　　　　　　　
斌衡

* 算式略

　　有明句有平弦求圆径　　　　　　
巴克他讷

* 算式略

　　有平句股较有弦求圆径　　　　　　　　
李逢春

* 算式略

　　有底弦和较有句弦较求圆径　　　　　　
左庚

* 算式略

　　有断句股较有句弦较求圆径　　　　　　
韩常泰

* 算式略

　　有断句股较有明弦较较求圆径　　　　　　
王镇贤

* 算式略

　　有大差弦和较有断句股较求圆径　　　　　
任敬和

* 算式略
　　有断句股较有大弦和和求圆径　　　　　　
王锺祥

* 算式略

　　有股弦较有明句弦较求圆径　　　　　　
王镇贤

* 算式略

　　有虚句股和有大中垂线求圆径　　　　　　
赓善

* 算式略

　　有容方边有 [ ] 句股较求圆径　　　　　　　
王镇贤

* 算式略

　　有圆城甲出北门东行二百步而立乙出南门直行回望见甲与城参相直复斜行至甲处其行五百六十步求城径若干　　　　　　　　　　
廷俊

　　　答曰二百四十步

立天元一为半径倍之即大弦和较甲行之路等于底句乙共行之路等于底弦明股和底句内减天元得甲[元]为大股弦较二底弦明股和内减二底句得　为二明三事和即二大句弦较以乘大股弦较得　寄左另以大弦和较自之得元　为同数与左相消得二　　开方得半径倍之即全径

* 算式略

　　二明股弦较等于虚弦和较试作图解　　　　
陈寿田

* 图略

如图甲乙丙明句股卯丙午虚句股试自图心己至切点作己戊线癸午与午戊等丙乙与丙戊等则丙午虚弦与丙乙午癸和等加卯丙午卯虚句股和得卯乙卯癸和为虚和和与乙丑等试取丁点令甲丁等于明弦则乙丁为明股弦较夫甲己与甲午等甲丁甲丙同为明弦以甲己减甲丁得丁己以甲午减甲丙得丙午为虚弦依显丁己亦为虚弦复取己子令与丁己等则子丑亦为明股弦较与乙丁必等丁子必为二虚弦以乙丑虚和和减之得乙丁子丑二之虚弦和较亦即二明股弦较故二明股弦较等于虚弦和较也

　　虚句弦较等于句股较试作图解　　　
英铎

* 图略

如图子丑虚句丁戊弦以子丑与丑戊句相加得子戊为平句以丁戊与地丁股相加得地戊亦为平句试于子戊平句内减去丁戊弦余必等于地丁弦再于地丁股内减 [ 丑戊]句余即为句股较也

　　大股内减边弦等于平句股较试作图解　　　
陈寿田

* 图略

如图戊为圆心甲乙为大股作丁戊线与丑戊正交戊丁丙平句股甲丁壬为边句股甲丁为边弦丙丁为平句丙戊平股与丙乙等则丁乙即平句股较以甲乙减甲丁得丁乙即平较故大股减边弦等于平句股较也

　　大股内减平句股较等于边股平句和试作图解　　　　　　　　
懿善

* 图略

如图甲乙丙大句股甲己丁边句股丁戊丙平句股甲乙大股甲己边股丁戊平股己乙等取己庚如丙戊为平句己乙平股内减己庚平句即庚乙平句股较故甲乙大股内减庚乙平句股较等于甲己边股加己庚平句

　　句股和内减虚股弦较等于弦试作图解　　　　
承霖

* 图略

如图庚壬丙为半径为股之平句股其弦则庚己虚弦己丙弦和其股则庚戊虚股戊壬股和其股弦较必为虚股弦较股弦较和而丁辛乙辛同为半径则平股弦较又等句依句股例和较小较相加为句则[虚]虚股弦较必等弦和较句股和减弦和较即虚小较故等于弦

　　明股句相乘等于虚句股积试言其理　　　
王宗福

* 图略

如图甲子己大句股外之丙天丁为虚句股今自圆心作甲己之垂线心地则丙地等丙辰明句地丁等丁戊股天辰内减天丙虚句余为半虚较和天戊内减天丁虚股余为半虚较较缘天辰天戊均为半虚和和故按较较乘较和等于二直积则明句之半虚较和乘股之半虚较较必等于虚句股积惟明句乘股原等于句乘明股故明股句相乘等于虚句股积

　　高股乘平句等于明股弦和乘句弦和试作图解　　　　　　　　　　　
胡玉麟

* 图略

如图甲乙丙大句股乙丁容圆方自心至切点作戊己线正交甲丙则辛己戊为高句股戊己庚为平句股以半径为勾半径为股故己癸等癸寅己子等子丑则辛己高股为明句弦和己庚平句即为股弦和故明句弦和高股与句弦和比若明股弦和与股弦和平句比

　　大差句乘小差句等于虚句乘大股亦等于边股乘倍股试作图解　　　　
胡玉麟

* 图略

如图甲乙丙大句股乙丁容圆方戊辰丙底句股癸午丙平句股子寅大差句己丑小差股自圆心至切点作甲丙正交线辛壬则戊壬辛为高句股辛壬癸为平句股以半径为句半径为股故壬癸等丙午壬丙即等丙辰则戊丙底弦减壬丙底句余戊壬等甲庚庚乙原等戊辰则甲乙大股即为底弦较和又壬己等己未子壬即等子卯作己申线与丙乙平行作子酉线与丁丑平行则戊申等戊壬申辰即为底弦和较等申辰之己丑亦为弦和较子酉癸亦为平句股辛未等丁未则未癸为平股弦较未酉即为平弦和较等未酉之丁子亦为其弦和较夫寅丁全径原为二平股内减丁子平弦和较则子寅大差句即平弦较和也故平弦较和大差句与底弦较和大股比若平弦和较虚句与底弦和较小差股比

又壬子等子卯寅亥等寅卯甲壬即等甲亥则壬癸即为边股弦较壬癸原等癸酉则酉亥即为边弦和较等酉亥之子寅亦为其弦和较又壬己原等己未丑辰原等丑未二壬丙即小差三事和内各减己丙小差弦 [ 余 ]二己壬股即为小差弦和较故边弦和较大差句与小差弦和较 [ 二股 ]比若边股与小差股比