皇朝经世文三编

　　弦和较乘弦和和等于二直积试作图明其理　　　　　　　　
汪远焜

* 图略

如图甲乙丙句股形以弦句为半径各作圆引长乙丙股至己及丁末作甲己甲戊二直线则成甲丙己甲丙戊大小二同式句股形丁戊小句股较本形弦和较与甲丙 [ 小股] 本形句之比若丙壬丙己内减去等丙戊之己壬即得大小二句股较和本形二股与甲丙丙己大小二股和本形弦和和之比故弦和较乘弦和和等于二直积

　　中垂线乘弦等于圆径乘半和试作图明其理　　　　　　　　
贵荣

* 图略

如图甲乙丙句股形甲壬句弦较癸丙股弦较壬癸为弦和较方即圆径方依乙丁中垂线平行作甲午丙己二线次依甲丙平行作戊己线联之则戊丙为中垂线乘弦移甲乙戊于丙庚辛移丙乙己于甲庚辛戊丙中垂线乘弦必等于辛乙句股直积除甲癸矩不动外移子癸股弦较乘弦和较于癸丑将辛寅股弦较乘句弦较改为甲卯弦和较半方则卯丑圆径乘半和辰丑弦和较即圆径亦等于辛乙句股直积卯丑与戊丙既各等句股直积则二矩宜无不等所以中垂线乘弦等于容圆径乘半和

　　三事和乘边线较等于圆径乘边线和试作图明其理　　　　　
王锺祥

* 图略

如图甲乙丙句股形乙丁中垂线乙己戊己均为方边自己作乙丁丁丙之垂线己庚己辛成乙庚己戊辛己二句股形与本句股形同式均以方边为弦则二形必等夫庚己等己辛亦等庚丁则乙庚己三事和即等于边线和而边线较即等其弦和较故大三事和与小弦和较即边线较相乘等于小三事和即边线和与大弦和较即圆径相未也

　　句乘弦较较等于三事和乘股弦较试作图明其理　　　　　　　　　　　　
贵荣

* 图略

如图甲乙丙句股形以弦为半径作丙戊己丁圆次从丙角作丙丁及丙戊二线成丁乙丙及丙乙戊大小二同式句股形何则试引长丙乙作丙己线丙己正交丁戊各至圆界戊己弧等于戊丙弧丁己弧等于丁丙弧小形丙角所当戊己弧与大形丁角所当戊丙弧等小形戊角所当丁丙弧与大形丙角所当丁己弧等余二乙角又俱直角所以同式大句本形句与大句股和本形三事和之比若小句本形股弦较与小句股和本形弦较较之比

　　句弦和乘弦和较等于弦较较乘股试作图明其理　　　　　　　
贵荣

* 图略

如图甲乙丙句股形丁乙为弦和较丁戊为其方戊丙为股弦较戊己为其倍乙己为弦较较甲丁为句弦较甲己矩为弦较较乘股幂除甲戊矩不动外试将庚辛二股弦较乘句弦较矩改为戊壬弦和较方次移辛己二股弦较乘弦和较矩补于壬癸成一甲癸幂其长即句弦和其阔即弦和较与原积甲己幂必等

　　倍股乘股弦较等于弦和较乘弦较较试作图明其理　　　　　　　　
杜法孟

* 图略

如图甲乙丙句股形丙子为股弦较丙丁为其方丙戊为句丙己为其方戊子为弦和较戊庚丁盘折形为弦和较乘弦较较丁辛壬盘折形为倍股乘股弦较二形之积等试各加一丙丁正方则子辛壬为股弦较乘股弦和丙己为句方其积原等今各减一丙丁正方其积仍等

　　句弦较乘倍股弦和等于弦较和自乘试作图明其理　　　　　　　　　　
贵荣

* 图略

如图甲乙丙句股形依弦作戊丙己半圆甲为圆心从形心作三分角线及三垂线复从丙作丙戊线成戊乙丙甲丁心大小二同式句股形可以比例

　一率　小句股较　本形句弦较
　二率　倍小股　　本形弦较和
　三率　大句股较　本形弦较和
　四率　倍大股　　本形倍股弦和

　　前题　　　　　　　　　　　　　　　　　
李逢春

* 图略

如图甲乙丙为边句股丁戊己为明句股甲庚己为大差句股戊辛为明句自乘壬癸与边句等庚壬为明句乘边句之积倍之得丑壬为明句乘边句之倍积必与子辛大差句自乘等何则因丑辛为同用之积所余子寅寅壬二积亦等因卯寅为二明句乘虚句寅辰亦为二明句乘虚句卯丑为平弦和较方午壬为平股弦较乘二平句弦较此二积又等故明句乘倍边句等于大差句自乘也明句即句

　　前题　　　　　　　　　　　　　　　　
王文秀

* 图略

如图甲乙丙句股形以股为半径截弦于丁丁丙为股弦较与丙戊等乙戊为弦和较作己戊方甲己为句弦较庚己为其倍自庚作直线切辛角而至丙即弦和较为股弦较二句弦较之中率故必切辛角成大小二同式形故庚己小股即二句弦较与庚己辛小句股和即弦较和之比若庚乙大股即弦较和与庚乙丙大句股和即股弦和之比

　　弦较边句即股弦和大差句即弦较和股弦和乘倍句弦较等于弦较和自乘试作图明其理　　　
汪凤藻

* 图略

如图甲乙丙句股形甲丙为股乙丁为股弦和乙戊为其方己丁为弦较和己庚方弦较和自乘也己辛为倍句弦较辛壬长方股弦和乘倍句弦较也曷见己庚辛壬二形积等乎曰除同用之己癸矩余丁癸弦和较承弦较和癸壬句乘倍句弦较二长方形试于丁癸形内作庚子方弦和较自乘于癸壬形内作癸丑矩股弦较乘倍句弦较为等积尚余子丁丑午二形同为弦和较乘倍句弦较又相等即丁癸与癸壬等矣次每加一己癸矩则己庚方不与辛壬长方等积乎

　　句弦较乘句弦和再以句乘之与股乘倍句股积等试作图明其理　　　　　　　
杜法孟

* 图略

如图庚己为句子辛等庚辛为股己戊等己辛为直积即二句股积再以己戊股乘之得辛戊一立方积子壬为句弦较乙丙等子乙为句弦和壬丙等子丙为句弦和乘句弦较再以子辛句乘之得辛丙一长立方积与辛戊之积等盖子丙面积为句弦较乘句弦和子戊面积为股自乘方其面积原等庚己子辛俱为句其高度又等故二立方之积等

　　前题　　　　　　　　　　　　　　　　　
贵荣

* 图略

如图甲乙丙句股形甲戊股幂乙丁句乘股直积即倍句股积并之得丁戊矩为句股和乘股幂己丁边句股和试截乙己大方股幂即句弦较乘句弦和盖句弦较乘句弦和原等股幂与乙丁小方倍句股积之比若甲己大边股与甲丁小边句之比即股乘股与股乘句之比若股与句比故句乘股幂 [ 即句弦较乘句弦和 ]等于股乘倍句股积

　　句股形容长方有句股较有长阔和有积较求句股及长阔　　　　　　　
陈寿田

* 算式略

右开方得句股和加句股较半之得股减句股较半之得句句股和句股较各自乘相减入归之为句股积减积较得长方积四因之以减长阔和自乘开平方得长阔较与长阔和相加半之为长与长阔和相减半之为阔

　　有直积一百二十有句股二方较一百六十一求句股弦各若干　　　　　
联秀

　　　答曰句八股十五弦十七

* 算式略

　　　开方得八为句自之加二方较开方得股十五用句股求弦法得弦十七

　　今有容方容圆二径和一百三十尺二径较加中垂线九十四尺求边径线各若干　　　
胡玉麟

　　　答曰方边六十尺圆径七十尺中垂线八十四尺

* 算式略

开方倍之得容圆径七十尺于甲数内减之余六十尺为方边乙数内减二径较十尺余八十四尺即中垂线

　　前题　　　　　　　　　　　　　　　　　
王宗福

　　　答曰方边六十尺圆径七十尺中垂线八十四尺

* 图略

如图甲己辛句股形卯辰丁午均为 [ 圆 ](图) 径丙庚庚己均为方边己丁为中垂线自庚作庚子庚癸二垂线成丙庚子己庚癸二同式句股形弦既等则句股亦等而癸庚等庚子亦等癸丁即己癸庚句股和等中垂线又自丑作丑寅垂线丑乙半径成乙丑寅句股形与本形同式即亦与丑己戊同式己丑与丑乙同为半径既等则寅丑等戊己寅乙等戊丑移乙丑于乙卯移寅卯于戊丁则乙丑寅三事和等于中垂线而乙丑寅弦和较等于线径较以代数求之有等式

* 算式略

开方得边六十与和相减余七十为圆径于九十四内减二径较十余八十四为中垂线

　　城根有河不知其阔由城楼顶引绳至河之外岸绳长一百九十五尺楼高一百六十九尺求河宽若干　　　　　　　　　　　　　　　
廷俊

　　　答曰九十七尺强

* 算式略

　　有甲乙二物俱不知价但云甲价之立方三倍等于乙价之平方而乙价之立方等于甲价之平方八十一倍求甲乙价各若干　　　　　　　　　
王文秀

　　　答曰甲三乙九

　天地二元细草

立天元一为甲价立地元一为乙价天元自之又以天元乘之又以三乘之得 ●乃以地元自之得●为同数与左相消得●为今式置天元自之以八十一乘之得●乃以地元自之又以地元乘之得●为同数与左相消得 ●为云式以地元乘今式直减云式得 ●为右行与今式之左一行相乘得● 又以今式与右行之左一行相乘得● 二数相消得●为左行置左右二行以内二行相乘得●相消得 ●外二行相乘得●相消得 ●

　开四乘方得甲价三乃以三自乘再乘又以三乘之得八十一以平方开之即得乙价九

　　今有甲乙二数不知多少但知甲之三乘方根等于乙甲乙二数相乘倍之等于四倍乙之自乘数求甲乙数各若干　　　
赓善

　　　答曰甲十六乙二

* 算式略

　　今有人赎质物本利共钱九千八百五十文只云利钱平方开之得数以加本钱共五千六百九十文又开方数为日数一百二十五分之十三求本利及日数每十文月利若干每月三十日不用小建　　　　　　　　　　　　　　　　　
王文灏

　　　答曰本五千六百二十五文利四千二百二十五文日数六百二十五日

* 算式略

　　今有人赌钱失本四分之一复得三两旋失三分之一又得二两终于失七分之一仅剩十二两求本银若干　　　　　　　　　　　　　　　
王文灏

　　　答曰二十两

* 算式略

　　今有富翁有银九万分与四儿多寡不同但云大儿之银以二除之二儿之银减二千三儿之银加二千四儿之银以二乘之则皆等求四儿银各若干　　　　　　　　　　
塔克什讷

　　　答曰大儿四万　二儿二万二千　三儿一万八千　四儿一万

* 算式略

　　今欲造正方台三座甲台之边多于乙台边七尺乙台之边多于丙台边五尺定造砖见方五寸共十二万一百八十四枚求三台各高若干　　　
贵荣

　　　答曰甲台高二丈二尺　乙台高一丈五尺　丙台高一丈

* 算式略

开方得四四折半得二丈二尺为甲台高减七尺得一丈五尺为乙台高又减五尺得一丈为丙台高

　　大小月每十九年循环共二百三十五计日六千九百四十求大小月各若干　　　
熊方

　　　答曰大月一百二十五小月一百一十

法以二百三十五用月小之二十九日乘之得六千八百一十五日以减六千九百四十余一百二十五即大月数以大月数减二百三十五余一百一十即小月数更以一百二十五用三十日乘之得三千七百五十以一百一十用二十九日乘之得三千一百九十并之恰得六千九百四十合问

　　欲造一土台上广二丈长三丈下广二丈三尺长三丈五尺高一丈八尺每日每人程工八立尺用匠七十二人几日毕工　　　　　　　　　　　　　　　　
沈铎

　　　答曰二十一日又八分日之七

法以上长三丈倍之得六丈加下长三丈五尺共九丈五尺以上广二丈乘之得一九0 0尺另倍下长得七丈加上长三丈共得十丈以下广二丈三尺乘之得二三00尺以两数相并得四二0 0尺以一丈八尺乘之得七五六00尺以六除之得一二六00为实以七十二人乘每日每人程工八立尺得五七六为法除之得二十一日又八分日之七

　　今有塔系石砖木造成全高三分之一为石四分之一为砖六分之一为木但知瓦顶三丈六求塔高若干　　　　　　　　　　　　　　
彦慧

　　　答曰十四丈四尺

* 算式略

法以三分之一展为六分之二加六分之一得六分之三收为四分之二加四分之一得四分之三为石砖木之高则瓦顶三丈六自必为四分之一以四倍三丈六得十四丈四尺即塔高

　　今有长方营盘南北一百八十丈东西一百二十丈四面濠沟与营盘同积求濠沟宽若干　　　
联芳

　　　答曰三十丈

* 算式略

　　某火药局藏硝炭磺不知各若干斤亦不知共若干斤但云于其共重之半加二千五百斤为硝于其共重之四分之一减一千斤为炭于其共重十分之二减一千斤为磺试推其共重若干斤　　　
朱格仁

　　　答曰一万斤

* 算式略

　　制球形炸径一尺二寸厚三寸求需铁若干　　　　　　　
李逢春

　　　答曰五千三百零三两三钱强

　　　先求大球积
　一率　定率立方积　　一000000 000
　二率　定率球积　　　　五二三五九八七七五
　三率　今有立方积　　　　　　　　一七二八
　四率　今求大球积　　　　　　　　　九0四又七七八六八三三0八
　　　次求小球积
　一率　定率立方积　　一000000 000
　二率　定率球积　　　　五二三五九八七七五
　三率　今有立方积　　　　　　　　　二二六
　四率　今求小球积　　　　　　　　　一二三又0八0三三五四00

既得大小二球相减余七九一六九一三四七九00以方寸铁重六两七钱乘之得五千三百零三两三钱强即所求

　　今有马二匹鞍一副值银二十两加于此马则与彼马价等加于彼马则与此马价相倍求马价各若干　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
贵荣

　　　答曰此马价值四十两　彼马价值六十两

* 算式略

　　有某问渔者得鱼若干对曰以鱼数自乘加十三开平方以十二乘之以四减之其数为八十试推鱼数　　　　　　　　　　　　　　　　
辛泽贤

　　　答曰六鱼

* 算式略

　　今有钱不知数欲匀分于若干人每人十二文多十二文每人十四文少十四文求人数钱数各若干　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
博勒洪武