数学

　　此图有三行其一戊寅庚夘岁轮心行至乙则太阳在午星在酉而伏见轮【酉栁女尾轮】亦交于酉其一辰子己房岁轮心行至氐则太阳在未星在戌而伏见轮【斗牛虚戌轮】亦交于戌其一丙亢壬角岁轮心行至巳则太阳在申星在亥而伏见轮【井室亥危轮】亦交于亥○又二十二日弱并前为八十八日弱岁轮又行一象限心至乙【并前一周】太阳自丁行至午八十六度太弱星自戊厯寅庚夘至酉【戊即第一图合伏戊防】二百七十三度少强伏见轮自心厯栁女尾至酉亦如之【心亦合伏防】　又二十二日弱并前为一百一十日弱岁轮又行一象限心至氐【并前一周又一象限】太阳自丁行至未一百○八度少强星自房厯辰子巳至戌【房即第一图合伏戊防】三百四十一度半强伏见轮自壁厯虚牛斗至戌亦如之【壁亦合伏防】○又二十二日弱并前为一百三十二日弱岁轮又行一象限心至巳【并前一周半】太阳自丁至甲一百二十日强星自壬左旋一周又五十度弱至亥【壬即第一图合伏戊防】伏见轮自奎右旋一周复至亥亦如之【奎亦合伏防】

　　锡山杨学山作枚曰【书五星纪要后】西法步五星土木火有岁轮金水有伏见轮虽两轮行度求角之法皆同然岁轮上为星离日之虚度轮心在本天伏见轮则有自行度轮心即太阳细按厯书之说葢谓上三星本天包太阳天外星离日而又与日有定距是生岁轮其半径恒与太阳天等若金水之本天即太阳天其平行与太阳同距等亦与太阳等【俱一千一百四十二地半径】而此伏见一轮以日为心绕日环转而为伏见使非此轮则星无所为伏见【以平行同太阳故也】故名伏见轮其轮之半径皆有定度【金星七千二百竒水星三千八百竒】是其意原非以伏见轮当岁轮若果即为岁轮则半径宜有大小何则火星因与太阳天近尚有日躔本天二差以变次均角岂金水在太阳天下而反无之今测不然是伏见轮另为一种行动为金水之所独故昔人别立伏见轮之名也其所云即岁轮者葢因行法相同而混言之耳今勿庵之说又异是谓五星皆同一法皆有岁轮上三星因本天大故用岁轮金水因岁轮大难用故用绕日圆象【即伏见轮如上三星围日之圏】如此可明金水自有本天因得自有高卑亦自有平行度因在日天下速于太阳本天斜倚黄道因有正交中交之名诸根底俱有着落且五星一贯但依此立算凡星平行自行之根数初均次均之度分南纬北纬之大小皆与厯书数迥异騐之于天未识合否余尝疑厯指论五星纬说多混淆金水尤畧因作五星纬行解一卷明之勿庵之说不敢遽定其是非存之以待参攷焉
　　永按学山先生谓勿庵之说不敢遽定其是非今绘图试之岁轮上星所到与伏见轮上星所到一一相符则勿庵先生之说信矣然诸图皆设歳轮心于本天未设本轮均轮愚初犹疑本轮均轮设于本天未必能符伏见轮上所算之数也既而拟法算之【算例见后】虽平行自行初均次均与伏见算大异而以后均加减岁轮行则与伏见所算之实行不约而同于是前疑尽释而算例亦可立矣若南纬北纬之大小勿庵先生已详言之谓本天上岁轮心所行之周半在黄道北半在黄道南其势斜立星体行伏见轮周其势亦斜立与之相应故其交角等夫交角既等则岁轮上之纬与伏见轮之纬亦必等岂两轮事事相符而纬行一事独违异者况星之纬南纬北实由岁轮心所到乎【轮心到正交中交则无纬度】杨先生亦可无疑于此也永别有余论具于左
　　凡星体皆载于岁轮上岁轮之心在均轮均轮之心在本轮本轮之心在本天其大迟速在本天之行其小盈缩在本轮均轮之转五星皆同
　　歳轮由星为太阳所摄而生岁轮随本天旋转聨其行迹自成绕日之轮其轮各与本天等大若主太阳言之似星本绕日因星在绕日轮上旋转而成与太阳本天等大之岁轮【西士谓五星皆以日为心】若主本天言之则绕日轮生于岁轮勿庵先生始谓上三星之绕日为虚迹非实象后又谓金水伏见轮亦如围日之圆象实为歳轮周行度所成然则本天与岁轮犹表也绕日圏伏见轮犹景也
　　置本轮均轮于金水岁轮上与伏见轮上所算之黄道度不殊然则上三星亦可置本轮均轮于绕日圏上立算此天能之巧妙若上三星用岁轮金水用伏见轮则步算之权宜也各星本轮均轮止一耳何以随人两置之而皆可由其本同故也其所以然者不出三角之理后有图明之
　　厯家于金水何以不用岁轮立算伏见显而歳轮隐也然则厯家既便于伏见立算矣必不用歳轮之隐而曲勿庵先生之说亦可置勿论乎曰不然畴人之所便用者法也儒家所讲求者理也有勿庵之说而后知二星亦有本天有岁轮与上三星一贯因其本天在日天下故其左旋者渐迟右旋者渐速下至太阴上至恒星高下迟速各以其等而西人始言天有重数之说得此益明故愚以为甚有功也否则但以二星之行与日等其本天与日天混而为一乌覩所谓九重者乎
　　梅先生恐人谓岁轮实有坚硬之物则有人持珠竿行于浮屠梯磴之喻门人刘着亦有风中放鸢之喻皆谓员周为虚设二喻皆妙永又思之使其只有一本天一岁轮则谓因相距之半径随天旋绕而成员象可也而本天之上有本轮本轮之上有均轮均轮之上乃有岁轮至太阴则小轮尤多诸轮又各有其左旋右转随动自动起防行度之异又火星之次轮时时不等水星之均轮一周三周一若实有诸轮相聨相贯相推相荡又且多其变态者则在天虽无轮之形质而有轮之神理虽谓之实有焉可也学山谓火星因与太阳天近故有日躔本天二差以变次均角愚始亦疑其然后细攷之此说未确使火星之次轮半径由近日天而致差则木星天距火星未甚逺岂得无些小之差土星天虽去日天甚逺而本轮比诸星独大亦岂得无微细之差厯家积之久虽有小差必能立法以追其变使土木次轮亦如火星之例岂不依火星距日日差之法为活动之算以穷其变今攷之不然则次轮半径有二差惟火星则然金水虽最近日次轮半径有定尤可互证伏见轮虽曰以太阳为心其实亦非真以太阳之形体为心也乃是太阳本轮之心为之心耳故算次均角不因太阳之盈缩髙卑而改变惟算合伏与退合两日以太阳实行定其实合伏实退合之时刻以此例之土木二星绕日圏其真心亦是太阳本轮心非太阳之形体也惟火星不然耳
　　梅先生云岁轮大小又因于太阳髙卑伏见轮既以日为心则太阳行最髙时伏见轮从之亦高而星去地逺太阳行最卑则伏见轮从之卑而去地近永思之金水近日使伏见半径果因太阳高卑而有改变则太阳行至三宫九宫平视两行差不啻两度伏见轮半径亦当大两度厯家有不觉者乎知其所谓心者为太阳本轮心非太阳形体则此疑冰释矣○梅先生又谓太阳有高卑则黄道半径有大小星亦能变纬度论视纬当兼用两种髙卑立算永谓算视纬必用星距地心线定其逺近此线即黄道上星距太阳本轮心之界线也算次均角即此线所界之度求次均不因太阳高卑而变则此线亦不因太阳高卑而改疑其无纬差
　　五星纪要详于金畧于水永考水星与金星不同者有二事其一则均轮也他星均轮最高时起最近防右旋而倍引数独水星均轮最高时起最逺防右旋三倍引数【引数一度均轮三度】其一则交角也金星交角三度二十九分惟一耳水星交角则时时不同伏见轮心在大距与黄道交角五度四十分伏见轮心在正交当黄道北则减南则加伏见轮心在中交当黄道北则加南则减其加减各有与大距交角相较之数以距交实行逐度算其交角加减交角而得实交角此二事葢相因其理极精微
　　又按厯书水星前后纬表南北之向与金星相反初不知其何故及考之厯象考成求金水正交行置最高平行金星则减十六度水星则加减六宫得正交平行乃知水星正交与最卑同度而旧法谓与最高同度是以正交为中中交为正故南北与金星相反当易其正中之名乃与诸曜一例
　　金水算例
　　从伏见轮立算二星皆以太阳之平行为平行轮上绕日之行为伏见平行求初均于本星平行内减最高行为引数金星用直角形水星用三角形【厯数考成之法】求得均角以加减本星之平行为初实行【初宫至五宫为减六宫至十一宫为加】又反用加减号以加减伏见平行为伏见实行【加星行则减伏见行减星行则加伏见行】求次均先求伏见轮心距地心线【求得初均角即用割线比例求之】以此线与伏见轮半径为两邉以伏见实行为所夹之外角【过半周者与全周相减用其余】用切线分外角法求半较角以减半外角余为次均角以加减初实行【伏见轮初宫至五宫为加六宫至十一宫为减】为黄道上实行
　　右法厯家所用者也若用岁轮算法如后【永所推】
　　从岁轮立算二星皆以行度【即本星平行与太阳同】离度【即伏见平行】并之为岁轮之平行置本轮均轮于各本天【与伏见法置于太阳本天者异】于岁轮平行内减最高行为引数亦用直角【金星】三角【水星】形法求均角以加减本星之行度为初实行又反用加减以加减本星之离度为定离度于定离度内求次均亦先求得岁轮心距地心线为一邉【此邉小】以岁轮半径为一邉【此边大】定离度为所夹之外角【过半周者伏见轮之半径小次均为对小邉之角故以半较角减半外角为对邉之小角岁轮半径大次均为对大邉之角故以半较角加半外角为对邉之大角】以次均加减岁轮平行【初宫至五宫为减六宫至十一宫为加】为黄道上实行与伏见轮所算实行同

　　算理
　　金水本天与太阳本天高下不同其本轮均轮一置于伏见轮心一置于岁轮心各依本法算之所得之初均次均数亦迥不同而求黄道实行两者若合符节此必有所以然之理作图明之

　　甲为地心丙为太阳乙
　　为金星辰午丁弧为本
　　天戊丙巳弧为黄道子
　　辛丑弧为岁轮壬乙癸
　　弧为伏见轮丁为嵗轮
　　心丙为伏见轮心此设
　　太阳自戊行至丙而嵗
　　轮心自辰行至丁则星
　　体必在乙乙防为岁轮与伏见轮相交之处也岁轮子乙弧与黄道戊丙弧同度亦即与伏见轮壬庚弧同度皆星本行之度与太阳行度等者也岁轮乙辛弧与黄道丙己弧同度亦即与伏见轮庚乙弧同度皆为星离合伏之度厯家所谓伏见行者也【岁轮左旋自辛至乙为离度伏见右旋自庚至乙为离度】夫辛乙与庚乙同度黄道上为丙夘巳之度而人从甲望乙见黄道上星在夘则夘丙为星距太阳之视度其角为夘甲丙角亦即庚甲乙角若从伏见立算当算庚甲乙角得丙夘加戊丙得戊夘为黄道上实行度若从岁轮立算则轮上辛乙从黄道上视之为巳夘其角为己甲夘亦即辛甲乙当算辛甲乙角得夘己以夘巳减戊巳亦得戊夘为黄道上实行度○然则两轮立算始异终同由辛乙与庚乙同度黄道上为丙己中间有星距地心线【乙甲】截丙巳于夘分为两甲角【一夘甲丙一夘甲己】算两甲角一加一减则必无不合也○两甲角成斜方形邉有四线丙甲为伏见轮心距地心线乙丙为伏见轮半径丁甲为岁轮心距地心线乙丁为岁轮半径两轮心所到各不同则斜方形亦不一皆此四线之伸缩其极也四线合为一线中线如两线之长【合伏与退合时】○此图未加本轮均轮则乙丙等丁甲乙丁等丙甲对边皆平行本非天上实象姑以此明立算之本设本轮均轮之四线图如左

　　此图乙丙乙丁如前丙甲与
　　乙丁丁甲与乙丙各微不等
　　对边亦各不平行由丙丁二
　　轮心有本轮均轮各有髙卑
　　则丙甲丁甲二距地心线有
　　改变乙防为心所在亦有移
　　动而黄道上丙夘丙巳两视度亦有损益也而算两甲角以求实行度必无不合○凖前图论之丙甲丁甲二距线若常如两轮半径则丙角与丁角同大【邉线平行同对乙甲线故也】丙甲乙角与丁乙甲角同大【同对半径小邉】丙乙甲角与丁甲乙角同大【同对半径大邉】如后图丙甲丁甲二距线既变则两形中无相等之角即丙丁二甲亦变矣角变而丙己之弧度不变是以其终必合也○丙丁二角何以变也依前图言之丙角之外角度为伏见轮上庚乙丁角之外角度为岁轮上辛乙庚乙与辛乙本同度也因两轮上各有初均加减则度不同而庚丙乙与乙丁辛两外角变矣外角变故内角必变也○丙己之弧度何以不变也凡初均数加星行者即减伏见加伏见者即减星行二者迭为损益而总数不改是以斜方形中但移其乙甲距线而黄道上丙己之度为戊丙之余原与庚乙乙辛等者未尝变是以次均算得夘巳减戊己犹之算得丙夘加戊丙也○由是观之任丙甲丁甲二邉时时改变乙甲线时时移动而得黄道上戊夘之实度必无不同○乙甲丙角所对者乙丙小邉故以半较角减半外角爲甲角乙甲丁角所对者乙丁大边故以半较角加半外角爲甲角自然之理也○两轮算黄道实度旣同矣乙甲爲星距地心线亦同乎曰此不待言也乙甲者丙角丁角同用之对边也以角算度旣合矣边焉得不合
　　右图就金星轮图之水星仿此

　　数学卷六
<子部,天文算法类,推步之属,数学>
　　钦定四库全书
　　数学卷七
　　婺源江永撰
　　中西合法拟草
　　【明李之改宪也徐文定公尝言镕西人之精算入大统之型模固欲参合中西舍短取长以为不刋之典正朔闰月之类从中不从西定气整度之类从西不从中然因用定气遂以每月交中气时刻为太阳过宫时刻举中法十二次之名系之而西法十二星象之宫亦时用之于表此则既非中法复非西法虽相沿至今实可疑之端也余于辛亥年着厯法管见尝论及此后读勿庵先生厯学疑问补已畅言之固非余之私言又疑整度一事似未尽言中西当参酌者此亦其一端爰以此二事拟数表名曰中西合法拟草仍以梅先生之説冠于卷首且附愚之鄙见焉】
　　厯学疑问补云问旧厯太阳过宫与中气不同今何以复合为一曰新厯之测算精矣然其中不无可商当俟后来详定者则此其一端也何则天上有十二宫宫各三十度每歳太阳以一中气一节气共行三十度【如冬至小寒共行三十度大寒立春又共行三十度其余并同】满二十四气则十二宫行一周故厯家恒言太阳一歳周天也