御制历象考成

　　丙弧四十二度三十一分二
　　十二秒之余七百三十七
　　万零九十八为二率乙丙弧
　　一十六度二十二分三十八
　　秒之余九百五十九万四
　　千二百六十七为三率求得
　　四率七百零七万一千零六
　　十八为甲乙弧之余检表
　　得四十五度即甲乙黄道弧
　　之度也如图甲乙丙正弧三
　　角形之次形为乙己丁葢甲
　　丙弧之余即乙己丁次形
　　之己角之正为丙辰而乙
　　丙弧之余即乙己丁次形
　　之乙己弧之正为乙未又
　　甲乙弧之

　　余即乙己丁次形之乙
　　丁弧之正为乙子而丙
　　辰癸勾股形与乙子未勾
　　股形为同式形故丙癸与
　　丙辰之比同于乙未与乙
　　子之比也
　　求黄道交极圈之乙角则
　　与求黄赤交角之理同葢
　　乙角即如黄赤交角乙丙
　　即如赤道甲丙即如距纬
　　其勾股比例同也
　　设如黄赤交角二十三度三十分黄道交极圈角七十二度五十四分三十四秒求黄道度及赤道度并距纬度各防何【第七】
　　甲乙丙正弧三角形甲为
　　黄赤交角丙为直角乙为
　　黄道交极圈角求甲乙黄
　　道弧则用次形法以乙角
　　七十二度五十四分三十四
　　秒之正切三千二百五十二
　　万四千六百八十三为一率
　　半径一千万为二率甲角二
　　十三度三十分之余切二千
　　二百九十九万八千四百二
　　十五为三率求得四率七百
　　零七万一千零六十八为甲
　　乙弧之余检表得四十五
　　度即甲乙黄道弧之度也如
　　图甲乙丙正弧三角形之次
　　形为乙己丁葢乙角之正切
　　亦即乙己丁次形之乙角之
　　正切为寅壬而甲角之余切
　　即乙己丁次形之丁己弧之
　　正切为丑丁又甲乙弧之余
　　即乙己

　　丁次形之丁乙弧之正为
　　丁子而寅壬癸勾股形与丑
　　丁子勾股形为同式形故寅
　　壬与壬癸之比同于丑丁与
　　丁子之比也求甲丙赤
　　道弧亦用次形法以甲角二
　　十三度三十分之正三百
　　九十八万七千四百九十一
　　为一率乙角七十二度五十
　　四分三十四秒之余二百
　　九十三万八千八百二十为
　　二率半径一千万为三率求
　　得四率七百三十七万零九
　　十八为甲丙弧之余检表
　　得四十二度三十一分二十
　　二秒即甲丙赤道弧之度也
　　如图甲乙丙

　　正弧三角形之次形为己庚
　　辛葢甲角之正亦即己庚
　　辛次形之庚己弧之正为
　　庚己而乙角之余即己庚
　　辛次形之庚辛弧之正为
　　庚午又甲丙弧之余即己
　　庚辛次形之己角之正为
　　卯辰而庚午己勾股形与卯
　　辰癸勾股形为同式形故庚
　　己与庚午之比同于卯癸与
　　卯辰之比也求乙丙距纬弧
　　亦用次形法
　　以乙角七十二度五十四分
　　三十四秒之正九百五十
　　五万八千四百一十七为一
　　率半径一千万为二率甲角
　　二十三度三

　　十分之余九百一十七万
　　零六百零一为三率求得四
　　率九百五十九万四千二百
　　六十七为乙丙弧之余检
　　表得一十六度二十二分三
　　十八秒即乙丙距纬弧之度
　　也如图甲乙丙正弧三角形
　　之次形为乙己丁葢乙角之
　　正亦即乙己丁次形之乙
　　角之正为辛酉而甲角之
　　余即乙己丁次形之己丁
　　弧之正为巳申又乙丙弧
　　之余即乙己丁次形之己
　　乙弧之正为己未而辛酉
　　癸勾股形与巳申未勾股形
　　为同式形故辛酉与辛癸之
　　比同于巳

　　【象考成上编卷二】

　　申与巳未之比也御制厯
<子部,天文算法类,推步之属,御制历象考成>
　　钦定四库全书
　　御制歴象考成上编卷三
　　弧三角形下
　　斜弧三角形论
　　斜弧三角形边角比例法
　　斜弧三角形作垂弧法
　　斜弧三角形用总较法【次形法附】
　　斜弧三角形设例八则

　　斜弧三角形论
　　弧三角之有斜弧形犹直线三角之有锐钝形也但直线三角之锐钝形惟二种一种三角俱鋭一种一钝两锐而斜弧形则不然或三角俱锐或三角俱钝或两锐一钝或两钝一锐其三边或俱大过于九十度或俱小不及九十度或两大一小或两小一大参错成形为类甚多而新法算书所载推算之法抑复繁杂难稽葢三角三边各有八线但线与线之比例相当即可相求是故或同步一星或同推一数而所用之法彼此互异遂使学者莫知所从兹约以三法求之无论角之锐钝边之大小并视先所知之三件为断其一先知之三件有相对之边角又有对所求之边角则用边角比例法其一先知之三件有相对之边角而无对所求之边角【或求角而无对角之边或求边而无对边之角】则用垂弧法其一先知之三件无相对之边角【或三边求角或有两边一角而角在所知两边之间或三角求边或有两角一边而边在所知两角之间】则用总较法明此三法则斜弧之用已备而七政之升降出没经纬之纵横交加无不可推测而知矣
　　斜弧三角形边角比例法
　　凡斜弧三角形先知之三件有相对之边角又有对所求之边角者则用边角比例法如甲乙丙斜弧三角形有甲角有甲乙边有乙丙边而求丙角则乙丙为对所知之边甲为所知之角甲乙为对所求之边乃以对所知之乙丙边正与对所求之甲乙边正之比同于所知之甲角正与所求之丙角正之比也又如丁戊己斜弧三角形有丁角有己角有丁戊边而求戊己边则己角为对所知之角丁戊为所知之边丁为对所求之角乃以对所知之己角正与对所求之丁角正之比同于所知之丁戊边正与所求之戊己边正之比也
　　斜弧三角形作垂弧法
　　凡斜弧三角形先知之三件有相对之边角而无对所求之边角者则用垂弧法如甲乙丙斜弧三角形有甲角有甲乙边有乙丙边而求乙角及甲丙边乃自乙角作乙丁垂弧于形内分为甲乙丁丙乙丁两正弧三角形算之先用甲乙丁形求乙丁垂弧甲丁分边及乙分角葢此形有甲角有甲乙边有丁直角以丁角正【即半径】与甲角正之比同于甲乙边正与乙丁垂弧正之比而得乙丁垂弧以半径与甲角余之比同于甲乙边正切与甲丁边正切之比而得甲丁分边以甲乙边正与甲丁边正之比同于丁角正【即半径】与乙分角正之比而得乙分角次用丙乙丁形求乙分角及丁丙分边葢此形有乙丙边有乙丁垂弧有丁直角以乙丙边正切与乙丁垂弧正切之比同于半径与乙分角余之比而得乙分角以丁角正【即半径】与乙分角正之比同于乙丙边正与丁丙边正之比而得丁丙分边既得两分角并之即乙角得两分边并之即甲丙边也又如戊己庚斜弧三角形有戊角有庚角有己庚边而求戊庚边及己角乃自己角作己辛垂弧于形外将戊庚弧引长至辛作戊己辛庚己辛两正弧三角形算之先用庚己辛形求己辛垂弧庚辛虚边及己虚角葢此形有庚外角有己庚边有辛直角以辛角正【即半径】与庚角正之比同于己庚边正与己辛垂弧正之比而得己辛垂弧以半径与庚角余之比同于己庚边正切与庚辛虚边正切之比而得庚辛虚边以己庚边正与庚辛边正之比同于辛角正【即半径】与己虚角正之比而得己虚角次用戊己辛形求戊辛总边及己总角葢此形有戊角有己辛垂弧有辛直角以戊角正切与半径之比同于己辛垂弧正切与戊辛边之比而得戊辛总边以己辛垂弧正与戊辛边正之比同于戊角正与己角之比而得己总角既得戊辛总边内减去庚辛虚边即戊庚边得己总角内减去己虚角即己角也
　　斜弧三角形用总较法
　　凡斜弧三角形知三边求
　　角者则用总较法以角傍
　　之两边相加为总弧相减
　　为较弧各取其余相加
　　减【总弧较弧俱不过象限或俱过象限则两余
　　相减若一过象限一不过象限则两余相加其或
　　过二象限者与过一象限同过三象限者与不过象
　　限同】折半为中数又以对边
　　之矢与较弧之矢相减余
　　为矢较乃以中数与矢较
　　为比同于半径与所求角
　　之正矢之比也如知两边
　　一角而角在两边之间者
　　以半径与所知角之正矢
　　为比同于中数与矢较之
　　比既得矢较与较弧之矢
　　相加即得对边之矢也如
　　甲乙丙斜弧三角形有三
　　边求甲角则以甲角傍之
　　甲乙甲丙二边相加得乙
　　丁【甲丙甲戊甲丁三弧同为丁戊距等圈所截故
　　其度相等】为总弧其正为丁
　　己余为己庚甲乙与甲
　　丙相减余乙戊为较弧其
　　正为戊辛余为辛庚
　　两余相加得己辛【乙丁总弧
　　过象限乙戊较弧不过象限其两余在圜心之两
　　边故相加】折半得辛壬与癸子
　　等为中数乙丙对边与乙
　　丑等【乙丙与乙丑两弧同为丑寅距等圈所截
　　故其度相等】其正为丑卯余
　　为卯庚正矢为乙卯以
　　乙卯与乙戊较弧之正矢
　　乙辛相减余辛卯与辰巳
　　等为矢较戊辰巳与戊癸
　　子为同式两勾股形故癸
　　子与辰巳之比同于戊子
　　与戊巳之比也又午庚为
　　半径戊子为距等圈之半
　　径午未与戊己两段同为
　　甲丙申大圈所分则戊子
　　与戊己之比原同于午庚
　　与午未之比是以中数癸
　　子与矢较辰巳之比即同
　　于半径午庚与甲角正矢
　　午未之比也以午未与午
　　庚半径相减余未庚为甲
　　角之余检表即得甲角
　　所当午申弧之度也若先
　　有甲角及甲乙甲丙二边
　　求乙丙对边则以半径午
　　庚与甲角正矢午未之比
　　即同于中数癸子与矢较
　　辰巳之比既得辰巳与辛
　　卯等与乙戊较弧之正矢
　　乙辛相加得乙卯为乙丙
　　对边之正矢也如有甲乙
　　甲丙乙丙三边求乙角则
　　以乙角傍甲乙乙丙二边
　　相加得甲丁【乙丙乙丁乙戊三弧同为
　　戊丁距等圈所截故其度相等】为总弧其
　　正为丁己余为己庚
　　甲乙与乙丙相减余甲戊
　　为较弧其正为戊辛余
　　为辛庚两余相减余
　　辛己【甲丁总弧甲戊较弧皆不过象限其两余
　　同在圜心之一边故相减】折半得辛
　　壬与癸子等为中数甲丙
　　对边与甲丑等【甲丙与甲丑两弧同
　　为寅丑距等圈所截故其度相等】其正
　　为丑卯余为卯庚正矢
　　为甲卯以甲卯与甲戊较
　　弧之正矢甲辛相减余辛
　　卯与辰巳等为矢较戊癸
　　子与戊辰巳为同式两勾
　　股形故癸子与辰巳之比
　　同于戊子与戊巳之比也
　　又午庚为半径戊子为距
　　等圈之半径戊巳与午未
　　两段同为乙丙申大圈所
　　分则戊子与戊巳之比原
　　同于午庚与午未之比是
　　以中数癸子与矢较辰巳
　　之比即同于半径午庚与
　　乙角大矢午未之比也【凡钝
　　角所用诸线皆与外角同惟矢则有正矢大矢之别
　　如庚未为乙锐角所当申酉弧之余亦为乙钝角
　　所当午申弧之余检表锐角即得本角度钝角与
　　半周相减亦即得本角度而未酉为乙锐角之正矢
　　乃于酉庚半径内减庚未余午未为乙钝角之大
　　矢乃于午庚半径加庚未余也此正矢大矢之别
　　过弧亦然】于午未大矢内减午
　　庚半径余庚未为乙角之
　　余检表得乙外角度与
　　半周相减余即乙钝角之
　　度也若先有乙钝角及甲
　　乙乙丙二边求甲丙对边
　　则以半径午庚与乙角大
　　矢午未之比即同于中数
　　癸子与矢较辰巳之比既
　　得辰巳与辛卯等与甲戊
　　较弧之正矢甲辛相加得
　　甲卯为甲丙对边之正矢
　　也
　　斜弧三角形知三角求边
　　者则用次形法如甲乙丙
　　形可易为丁戊己次形葢
　　甲角之度当庚辛弧而庚
　　辛与己戊等【庚己与辛戊皆象限故庚
　　辛与己戊等】故本形之甲角即
　　次形之己戊边乙外角之
　　度当壬癸弧而壬癸与己
　　丁等【壬己与癸丁皆象限故壬癸与己丁等】故本形之乙外角即次形
　　之己丁边丙角之度当子
　　丑弧而子丑与戊丁等【子戊
　　与丑丁皆象限故子丑与戊丁等】故本形
　　之丙角即次形之戊丁边
　　是本形之三角即次形之
　　三边也又次形丁角之度
　　当癸丑弧而癸丑与乙丙
　　等【丙丑与乙癸皆象限故癸丑与乙丙等】故
　　次形之丁角即本形之乙
　　丙边戊外角之度当辛子
　　弧而辛子与甲丙等【丙子与甲
　　辛皆象限故辛子与甲丙等】故次形之
　　戊外角即本形之甲丙边
　　己角之度当庚壬弧而庚
　　壬与甲乙等【乙壬与甲庚皆象限故庚
　　壬与甲乙等】故次形之己角即
　　本形之甲乙边是本形之
　　三边即次形之三角也故
　　用丁己戊次形仍用总较
　　法算之求得次形之三角
　　即得本形之三边也如有
　　乙角丙角及乙丙边而求
　　甲角亦用丁戊己次形有
　　己丁边戊丁边及丁角仍
　　用总较法算之求得己戊
　　边即甲角也
　　设如申正初刻测得太阳髙三十二度地平经度偏西八十一度四十二分四十八秒求太阳距赤道纬度几何
　　甲乙丙三角形甲为北极
　　乙为天顶丙为太阳乙丁
　　戊己为子午经圏乙丙癸
　　戊为地平经圏丁己为地
　　平庚辛为赤道庚壬为申
　　正初刻距午正赤道六十
　　度即甲角丙癸为太阳髙
　　三十二度【即地平纬度一名髙弧】与
　　乙癸象限相减余太阳距
　　天顶五十八度即乙丙边
　　丁癸为地平经度偏西八
　　十一度四十二分四十八