几何原本

　　论曰依前论甲戊下有直线既云必入圜内即此直线偕戊甲所作各直线鋭角皆小于圜分角而切边角小于各直线鋭角
　　系己甲线必切圜以一防
　　増先解曰甲乙丙圜其心丁其径甲
　　丙从甲作戊甲为甲丙之垂线题言
　　戊甲全在圜外
　　増正论曰试于甲戊线内任取一防为庚自庚至丁作直线其甲丁庚角形之丁甲庚丁庚甲两角小于两直角【一卷十七】而丁甲庚为直角即丁庚甲小于直角对大角之丁庚线大于对小角之丁甲线矣【一卷十九】则庚防在圜之外也凡戊甲以内作防皆
　　依此论故戊甲线全在圜外
　　増次解曰从甲作甲辛线在戊甲之
　　下题言甲辛必割圜为分
　　増正论曰试作甲丁壬角与戊甲辛角等其甲丁壬辛甲丁两角并等于戊甲丁直角必小于两直角而丁壬甲辛两线必相遇【分论十一】其相遇又必在圜之内如壬何者壬甲丁壬丁甲两角既与一直角等即甲壬丁必为直角【一卷卅二】而对大角之甲丁线必大于对小角之丁壬线矣【一卷十九】夫甲丁线仅至圜界则丁壬不能抵圜界必在圜之内也后支前已正论
　　或难曰切边角有大有小何以毕不得两分向者闻几何之分不可穷尽如庄子尺棰之义深着明矣今切边之内有角非几何乎此几何何独不可分邪又十卷第一题言设一小几何又设一大几何若从大者半减之减之又减必至一处小于所设小率此题最明无可疑者今言切边之角小于直线鋭角是亦小几何也彼直线鋭角是亦大几何也若从直线鋭角半减之减之又减何以终竟不得小于切边角邪既本题推显切边角中不得容一直线如此着明便当并无切边角无角则无几何此则不可得分耳且几何原本书中无有至大不可加之率无有至小不可减之率若切边角不可分岂非至小不可减乎答曰谬矣子之言也有圜有线安得无切边角且既言直线鋭角大于切边角即有切边角矣苟无角安所较大小哉且
　　子言直线与圜界并无切边角
　　则两圜外相切亦无角乎曰然
　　曰试如作甲己乙圜其心丙而
　　丁戊为切线即丁甲己为切边角次移心于庚又作甲辛癸圜即丁甲辛为切边角而小于丁甲己次移心于子又作甲丑寅圜即丁甲丑为切边角而又小于丁甲辛如是小之又小疑无角焉次又于切线之外以辰为心作甲己午圜而与前圜外相切于甲依子所説疑无角焉然两圜外相切而以丁戊线分之不可分乎更自辰至寅作直线截两圜之界而分丁戊为两平分不可分乎两圜两直线交罗相遇于甲也能不皆以一防乎如以一防也即此一防之外不能无空即不能不为四切边角矣子所据尺棰之分无尽又言几何原本书中无至小不可减之率也是也夫切边角但不可以直线分之耳若用圜线则可分矣如甲乙庚圜与丙甲丁直线相切于甲作丁甲庚切边大角若移一心作甲戊辛
　　圜又得丁甲辛切边角即小于丁甲庚也又移一心作甲己壬圜又得丁甲壬切边小角即又小于丁甲辛也如此以至无穷则切边角分之无尽何谓不可减邪若十卷第一题所言元无可疑但以圜角分圜角则与其説合矣彼所言大小两几何者谓夫能相较为大能相较为小者也如以直线分直线角以圜线分圜线角是已此切边角与直线角岂能相较为大小哉
　　増题有两种几何一大一小以小率半増之递増至于无穷以大率半减之递减至于无穷其元大者恒大元小者恒小
　　解曰戊甲乙切边角为小率壬庚辛直线鋭角为大率今别作甲丙甲丁等圜俱切戊己线于甲其切边角愈増愈大如前论别以庚癸庚子线作角分壬庚辛角于庚愈分愈小然直线角恒大切
　　边角恒小乃至终古不得相比
　　又増题旧有一説以一小率加一大率之上或以一大率加一小率之上不相离逐线渐移之必至一相等之处又一説有率大于此率者有率小于此率者则必有率等于此率者昔人以为皆公论也若用以律本题即不可得故今斥不为公论解曰甲乙丙圜其径甲丙令甲丙之甲界定在于甲而引丙线逐线渐移之向已其所经丁戊己及中间逐线所经无
　　数然依本题论则甲丙所经凡割圜时皆为鋭角即小于半圜分角才离鋭角便为直角即大于半圜分角是所经无数线终无有相等线可见前一旧説未为公论又直线鋭角皆小于半圜分角直角与钝角皆大于半圜分角是有大者有小者终无等者可见后一旧説未为公论也
　　第十七题
　　设一防一圜求从防作切线
　　法曰甲防求作直线切乙丙圜其圜心丁先从甲作甲丁直线截乙丙圜于乙次以丁为心甲为界作甲戊圜次从乙作甲丁
　　之垂线而遇甲戊圜于戊次作戊丁直线而截乙丙圜于丙末作甲丙直线即切乙丙圜于丙
　　论曰乙戊丁角形之戊丁丁乙两腰与甲丙丁角形之甲丁丁丙两腰各等【一卷界説十五】丁角同即甲丙乙戊两底亦等【一卷四】而戊
　　乙丁为直角即甲丙丁亦直角则甲丙偕乙丙圜之半径丁丙为一直角矣岂非圜之切线【本篇十六之系】第十八题
　　直线切圜从圜心作直线至切界必为切线之垂线解曰甲乙直线切丙丁圜于丙从戊心至切界作戊丙线题言戊丙为甲乙之垂线论曰如云不然令从戊别作垂线如至已
　　而截丙丁圜于丁其丙戊己角形之戊己丙既为直角即宜大于己丙戊角【一卷十七】而对大角之戊丙边宜大于对小角之戊己边矣【一卷十九】夫戊丙与戊丁等也戊丙大于戊已则戊丁亦大于戊己乎
　　又论曰若云丙非直角即其两旁角一鋭一钝令乙丙戊为鋭角则鋭角乃大于半圜分角乎【本篇十六】第十九题
　　直线切圜圜内作切线之垂线则圜心必在垂线之内解曰甲乙线切丙丁戊圜于丙圜内作戊丙为甲乙
　　之垂线题言圜心在戊丙线内
　　论曰如云不然心在于已令从已作己丙直线即己丙亦为甲乙之垂线【本篇十八】而已
　　丙甲与戊丙甲等为直角是全与其分等矣
　　第二十题
　　负圜角与分圜角所负所分之圜分同则分圜角必倍大于负圜角
　　解曰甲乙丙圜其心丁有乙丁丙分圜角乙甲丙负圜角同以乙丙圜分为底题言乙丁丙角倍大于乙甲丙角
　　先论分圜角在乙甲甲丙之内者曰如上图试从甲过丁心作甲戊线其甲丁乙角形之丁甲丁乙等即丁甲乙丁乙甲两角
　　等【一卷五】而乙丁戊外角与内相对两角并等【一卷卅二】即乙丁戊倍大于乙甲丁矣依显丙丁戊亦倍大于丙甲丁则乙丁丙全角亦倍大于乙甲丙全角
　　次论分圜角不在乙甲甲丙之内而甲乙线过丁心者曰如上图依前论推显乙丁丙外角等于内相对之丁甲丙丁丙甲两
　　角并【一卷卅二】而丁甲丁丙两腰等即甲丙两角亦等【一卷五】则乙丁丙角倍大于乙甲丙角
　　后论分圜角在负圜角线之外而甲乙截丁丙者曰如上图试从甲过丁心作甲戊线其戊丁丙分圜角与戊甲丙负圜角同
　　以戊乙两圜分为底如前次论戊丁丙角倍大于戊甲丙角依显戊丁乙分圜角亦倍大于戊甲乙负圜角次于戊丁丙角减戊丁乙角戊甲丙角减戊甲乙角则所存乙丁丙角必倍大于乙甲丙角
　　増若乙丁丁丙不作角于心或为半圜或小于半圜则丁心外余地亦倍大于同底之负圜角
　　论曰试从甲过丁心作甲戊线即丁心外余地分为乙丁戊戊丁丙两角依前论推显此两角倍大于乙甲丁丁甲丙两角
　　第二十一题
　　凡同圜分内所作负圜角俱等
　　解曰甲乙丙丁圜其心戊于丁甲乙丙圜分内任作丁甲丙丁乙丙两角题言此两角等
　　先论函心大分所作曰试从戊作戊丁戊丙线其丁戊丙分圜角既倍大于丁甲丙角丁乙丙角【本篇十二】即
　　甲乙两角自相等【公论七】
　　后论半圜分不函心小分所作曰丁甲乙丙或为半圜分或为不函心小分俱从甲从乙过戊作甲己乙庚两线若不函心更从戊作戊丁戊丙两线其丁戊己分圜角既倍大于丁甲己负圜角【本篇二十】依显丙戊
　　己分圜角亦倍大于丙甲己负圜角而丁戊庚庚戊己两角与丁戊己一角等则丁戊庚庚戊己己戊丙三角必倍大于丁甲丙依显此三角亦倍大于丁乙丙则丁甲丙丁乙丙两角自相等
　　又后论曰二十题増言分圜不作角其心外余地倍
　　大于同底各负圜角即各角自相等又后论曰甲丙乙丁线交罗相遇为已试作甲乙线相联其甲丁己角形之三角并与乙丙己角形之三角并等【一卷卅二】次每减一交角相等之甲己丁乙己丙【一卷十五】即己甲丁己丁甲两角并与己丙乙己乙丙两角并等矣而甲丁乙乙丙甲两角同在甲丁丙乙函心大分内又等【本题第一论】则丁甲丙与丙乙丁亦等
　　又后论曰丁丙之外任取一界为已作丁己丙己两线令俱函心而丁甲乙丙己与丙乙甲丁己俱为大分次于甲己乙己各作直线相聨其丁甲已与丁乙己两角同负于甲乙丙己圜界即等【本题第一论】依显丙乙己与丙甲已两角同负丙乙甲丁己圜界又等此二相等率并之则丁甲丙丁乙丙两全角亦等
　　第二十二题
　　圜内切界四边形每相对两角并与两直角等
　　解曰甲乙丙丁圜其心戊圜内有甲乙丙丁四边形题言甲乙丙丙丁甲两角并乙丙丁丁甲乙两角并各与两直角等
　　论曰试作甲丙乙丁两对角线其甲乙丁甲丙丁两角同负甲乙丙丁圜分即等【本篇廿一】依显丙甲丁丙乙丁两角亦等则甲乙丁丙乙丁两角并为甲乙丙一角与甲丙
　　丁丙甲丁两角并等次每加一丙丁甲角即甲乙丙丙丁甲并与甲丙丁丙甲丁丙丁甲三角并等此三角并元与两直角等【一卷卅二】则甲乙丙丙丁甲相对两角并与两直角等依显乙丙丁丁甲乙并亦与两直角等
　　第二十三题
　　一直线上作两圜分不得相似而不相等
　　论曰如云不然令于甲乙线上作同方两圜分相似而不相等必作甲丙乙又作甲丁乙其两圜相交止于甲乙两防【本篇十】即
　　一圜分全在内一圜分全在外矣次令作甲丁线截甲丙乙圜于丙末令作丙乙丁乙两线相聨夫两圜分相似者其负圜角宜等【本卷界説十】则乙丙甲外角与相对之乙丁甲内角等乎【一卷十六】
　　第二十四题
　　相等两直线上作相似两圜分必等
　　解曰甲乙丙丁两线上作甲丙乙丙己丁相似两圜分题言两圜分等
　　论曰甲乙丙丁两线既等试以甲乙线加丙丁线上两线必相合即甲丙乙丙己丁两圜分相加亦相合如云不然必两圜分相加或在内或在外或半在内半在外矣若在内在外即一直线上有两圜分相似而不相等也【本篇廿三】若半在内半在外即两圜三相交也【本篇十】两俱不可故相似者必
　　等
　　第二十五题
　　有圜之分求成圜
　　法曰甲乙丙圜分求成圜先于分之两端作甲丙线次作乙丁为甲丙之垂线次作甲乙线相联其丁乙甲角或大于丁甲乙角或等
　　或小若大即甲乙丙当为圜之小分何也乙丁分甲丙为两平分即知圜之心必在乙丁线内【本篇一之系】而心在丁防之外则从丁防所出丁乙为不过心径线至小【本篇七】故对小边之丁甲乙角小于对大边之丁乙甲角也【一卷十八】即作乙甲戊角与丁乙甲角等次从乙丁引出一线与甲戊线遇于戊即戊为圜心论曰试从戊作戊丙线其甲丁戊角形之甲丁线与丙丁戊角形之丙丁线等丁戊同线而甲丁戊丙丁戊两皆直角即对直角之甲戊与戊丙两线等【一卷四】夫甲戊与乙戊以对角等故既等【一卷六】戊丙与甲戊又等则从戊至界三线皆等而戊为心【本篇九】
　　次法兼论曰若丁乙甲丁甲乙两角等即甲乙丙为半圜而甲丙为径丁为心何也丁乙丁甲两边等然后丁乙甲丁甲乙两角等【一卷】
　　【五】今丁乙甲丁甲乙两角既等即丁乙丁甲两线必等【一卷六】丁丙元与丁甲等则从丁所出三线等而丁
　　为圜心【本篇九】
　　后法曰若丁乙甲小于丁甲乙即甲乙丙当为圜大分何也乙丁分甲丙为两平分
　　即知圜心在乙丁线内【本篇一之系】而丁防在心之外则所出丁乙为过心径线至大【本篇七】故对大边之丁甲乙大于对小边之丁乙甲也【一卷十八】即作乙甲戊角与丁乙甲角等而甲戊线与乙丁线遇于戊即戊为圜心
　　论曰试从戊作戊丙线其甲丁戊角形之甲丁线与丙丁戊角形之丙丁线等丁戊同线而甲丁戊丙丁戊两皆直角即对直角之甲戊戊丙两线亦等【一卷四】夫乙戊与甲戊以对角等故既等【一卷五】戊丙与甲戊亦等则从戊至界三线皆等而戊为心【本篇九】
　　増求圜分之心有一简法于甲乙丙圜分任取三防于甲于乙于丙以两直线联之各两平分于丁于戊从丁从戊作
　　甲乙乙丙之各垂线为己丁为己戊而相遇于己即已为圜心
　　论曰己丁己戊既各以两直角平分甲乙乙丙两线即圜之心当在两垂线内【本篇一】而相遇于已即已为圜心
　　其用法圜界上任取四防为甲为乙为丙为丁每两防各自为心相向各任作圜分四圜分两两相交于戊于己于庚于辛从戊己从庚辛各作直线引长之
　　交于壬即壬为圜心
　　论曰试作甲戊戊乙乙己己甲四直线此四线各为同圜等圜之半径各等即甲戊己角形之甲戊己甲己戊两角等而乙戊己角形之乙戊己乙己戊两角亦等次作甲乙直线分戊己于癸即甲己癸角形之甲己边与乙己癸角形之乙己边等己癸同边而对甲己癸角之甲癸边与对乙己癸角之乙癸边亦等【一卷八】则甲癸己乙癸己俱为直角而戊己线必过心【本篇一】依显庚辛线亦过心而相遇于壬为圜心
　　第二十六题【二支】
　　等圜之乘圜分角或在心或在界等其所乘之圜分亦等
　　先解在心者曰甲乙丙丁戊己两圜等其心为庚为辛有甲庚丙与丁辛己两乘圜角等题言所乘之甲丙丁己两圜分亦等论曰试于甲乙丙丁戊己两圜分之上任取两防于乙于戊从乙作乙甲乙丙从戊作戊丁戊己各两线次作甲丙丁己两线相联其乙与戊两角既各半于庚辛两角即乙与戊自相等【本篇二十】而所负甲乙丙与丁戊己两圜分相似【本卷界説十】又甲庚丙角形之甲庚庚丙两边与丁辛己角形之丁
　　辛辛己两边各等庚角与辛角又等即甲丙与丁己两边亦等【一卷四】而相似之甲乙丙与丁戊己两圜分在等线上亦等【本篇卄四】夫相等圜减相等圜分则所存甲丙丁己两圜分亦等故云等角所乗之圜分等后解在界者曰两圜之乙与戊两乘圜角等题言所乘之甲丙丁己两圜分亦等