九章算术

　　术曰：下有半，是二分之一。以一为二，半为一，并之，得三，为法。置田二百四十步，亦以一为二乘之，为实。实如法得从步。

　　今有田广一步半、三分步之一。求田一亩，问从几何？答曰：一百三十步一十一分步之一十。

　　术曰：下有三分，以一为六，半为三，三分之一为二，并之，得一十一，为法。置田二百四十步，亦以一为六乘之，为实。实如法得从步。

　　今有田广一步半、三分步之一、四分步之一。求田一亩，问从几何？答曰：一百一十五步五分步之一。

　　术曰：下有四分，以一为一十二，半为六，三分之一为四，四分之一为三，并之，得二十五，以为法。置田二百四十步，亦以一为一十二乘之，为实。实如法而一，得从步。

　　今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一。求田一亩，问从几何？答曰：一百五步一百三十七分步之一十五。

　　术曰：下有五分，以一为六十，半为三十，三分之一为二十，四分之一为一十五，五分之一为一十二，并之，得一百三十七，以为法。置田二百四十步，亦以一为六十乘之，为实。实如法得从步。

　　今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一。求田一亩，问从几何？答曰：九十七步四十九分步之四十七。

　　术曰：下有六分，以一为一百二十，半为六十，三分之一为四十，四分之一为三十，五分之一为二十四，六分之一为二十，并之，得二百九十四，以为法。

　　置田二百四十步，亦以一为一百二十乘之，为实。实如法得从步。

　　今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一。求田一亩，问从几何？答曰：九十二步一百二十一分步之六十八。

　　术曰：下有七分，以一为四百二十，半为二百一十，三分之一为一百四十，四分之一为一百五，五分之一为八十四，六分之一为七十，七分之一为六十，并之，得一千八十九，以为法。置田二百四十步，亦以一为四百二十乘之，为实。

　　实如法得从步。

　　今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一。求田一亩，问从几何？答曰：八十八步七百六十一分步之二百三十二。

　　术曰：下有八分，以一为八百四十，半为四百二十，三分之一为二百八十，四分之一为二百一十，五分之一为一百六十八，六分之一为一百四十，七分之一为一百二十，八分之一为一百五，并之，得二千二百八十三，以为法。置田二百四十步，亦以一为八百四十乘之，为实。实如法得从步。

　　今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一。求田一亩，问从几何？答曰：八十四步七千一百二十九分步之五千九百六十四。

　　术曰：下有九分，以一为二千五百二十，半为一千二百六十，三分之一为八百四十，四分之一为六百三十，五分之一为五百四，六分之一为四百二十，七分之一为三百六十，八分之一为三百一十五，九分之一为二百八十，并之，得七千一百二十九，以为法。置田二百四十步，亦以一为二千五百二十乘之，为实。实如法得从步。

　　今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一。求田一亩、问从几何？答曰：八十一步七千三百八十一分步之六千九百三十九。

　　术曰：下有一十分，以一为二千五百二十，半为一千二百六十，三分之一为八百四十，四分之一为六百三十，五分之一为五百四，六分之一为四百二十，七分之一为三百六十，八分之一为三百一十五，九分之一为二百八十，十分之一为二百五十二，并之，得七千三百八十一，以为法。置田二百四十步，亦以一为二千五百二十乘之，为实。实如法得从步。

　　今有田广一步半、三分步之一、四分之步一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一、十一分步之一。求田一亩，问从几何？答曰：七十九步八万三千七百一十一分步之三万九千六百三十一。

　　术曰：下有一十一分，以一为二万七千七百二十，半为一万三千八百六十，三分之一为九千二百四十，四分之一为六千九百三十，五分之一为五千五百四十四，六分之一为四千六百二十，七分之一为三千九百六十，八分之一为三千四百六十五，九分之一为三千八十，一十分之一为二千七百七十二，一十一分之一为二千五百二十，并之，得八万三千七百一十一，以为法。置田二百四十步，亦以一为二万七千七百二十乘之，为实。实如法得从步。

　　今有田广一步半、三分步之一、四分步之一，五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一、十一分步之一、十二分步之一。求田一亩，问从几何？答曰：七十七步八万六千二十一分步之二万九千一百八十三。

　　术曰：下有一十二分，以一为八万三千一百六十，半为四万一千五百八十，三分之一为二万七千七百二十，四分之一为二万七百九十，五分之一为一万六千六百三十二，六分之一为一万三千八百六十，七分之一为一万一千八百八十，八分之一为一万三百九十五，九分之一为九千二百四十，一十分之一为八千三百一十六，十一分之一为七千五百六十，十二分之一为六千九百三十，并之，得二十五万八千六十三，以为法。置田二百四十步，亦以一为八万三千一百六十乘之，为实。实如法得从步。

　　〔淳风等按：凡为术之意，约省为善。宜云“下有一十二分，以一为二万七千七百二十，半为一万三千八百六十，三分之一为九千二百四十，四分之一为六千九百三十，五分之一为五千五百四十四，六分之一为四千六百二十，七分之一为三千九百六十，八分之一为三千四百六十五，九分之一为三千八十，十分之一为二千七百七十二，十一分之一为二千五百二十，十二分之一为二千三百一十，并之，得八万六千二十一，以为法。置田二百四十步，亦以一为二万七千七百二十乘之，以为实。实如法得从步。”其术亦得知，不繁也。〕

　　今有积五万五千二百二十五步，问为方几何？答曰：二百三十五步。

　　又有积二万五千二百八十一步，问为方几何？答曰：一百五十九步。

　　又有积七万一千八百二十四步，问为方几何？答曰：二百六十八步。

　　又有积五十六万四千七百五十二步四分步之一，问为方几何？答曰：七百五十一步半。

　　又有积三十九亿七千二百一十五万六百二十五步，问为方几何？答曰：六万三千二十五步。

　　○开方

　　〔求方幂之一面也。〕

　　术曰：置积为实。借一算，步之，超一等。

　　〔言百之面十也。言万之面百也。〕

　　议所得，以一乘所借一算为法，而以除。

　　〔先得黄甲之面，上下相命，是自乘而除也。〕

　　除已，倍法为定法。

　　〔倍之者，豫张两面朱幂定袤，以待复除，故曰定法。〕

　　其复除，折法而下。

　　〔欲除朱幂者，本当副置所得成方，倍之为定法，以折、议、乘，而以除。

　　如是当复步之而止，乃得相命。故使就上折下。〕

　　复置借算，步之如初。以复议一乘之，〔欲除朱幂之角黄乙之幂，其意如初之所得也。〕

　　所得副以加定法，以除。以所得副从定法。

　　〔再以黄乙之面加定法者，是则张两青幂之袤。〕

　　复除，折下如前。若开之不尽者，为不可开，当以面命之。

　　〔术或有以借算加定法而命分者，虽粗相近，不可用也。凡开积为方，方之自乘当还复有积分。令不加借算而命分，则常微少；其加借算而命分，则又微多。

　　其数不可得而定。故惟以面命之，为不失耳。譬犹以三除十，以其余为三分之一，而复其数可以举。不以面命之，加定法如前，求其微数。微数无名者以为分子，其一退以十为母，其再退以百为母。退之弥下，其分弥细，则朱幂虽有所弃之数，不足言之也。〕

　　若实有分者，通分内子为定实，乃开之。讫，开其母，报除。

　　〔淳风等按：分母可开者，并通之积先合二母。既开之后，一母尚存，故开分母，求一母为法，以报除也。〕

　　若母不可开者，又以母乘定实，乃开之。讫，令如母而一。

　　〔淳风等按：分母不可开者，本一母也。又以母乘之，乃合二母。既开之后，亦一母存焉，故令一母而一，得全面也。

　　又按：此术“开方”者，求方幂之面也。借一算者，假借一算，空有列位之名，而无除积之实。方隅得面，是故借算列之于下。“步之超一等”者，方十自乘，其积有百，方百自乘，其积有万，故超位，至百而言十，至万而言百。“议所得，以一乘所借算为法，而以除”者，先得黄甲之面，以方为积者两相乘，故开方除之，还令两面上下相命，是自乘而除之。“除已，倍法为定法”者，实积未尽，当复更除，故豫张两面朱幂袤，以待复除，故曰定法。“其复除，折法而下”者，欲除朱幂，本当副置所得成方，倍之为定法，以折、议、乘之，而以除，如是，当复步之而止，乃得相命。故使就上折之而下。“复置借算，步之如初，以复议一乘之，所得副以加定法，以定法除”者。欲除朱幂之角黄乙之幂。“以所得副从定法”者，再以黄乙之面加定法，是则张两青幂之袤，故如前开之，即合所问。〕

　　今有积一千五百一十八步四分步之三。问为圆周几何？答曰：一百三十五步。

　　〔于徽术，当周一百三十八步一十分步之一。

　　淳风等按：此依密率，为周一百三十八步五十分步之九。〕

　　又有积三百步，问为圆周几何？答曰：六十步。

　　〔于徽术，当周六十一步五十分步之十九。

　　淳风等按：依密率，为周六十一步一百分步之四十一。〕

　　开圆术曰：置积步数，以十二乘之，以开方除之，即得周。

　　〔此术以周三径一为率，与旧圆田术相返覆也。于徽术，以三百一十四乘积，如二十五而一，所得，开方除之，即周也。开方除之，即径。是为据见幂以求周，犹失之于微少。其以二百乘积，一百五十七而一，开方除之，即径，犹失之于微多。

　　淳风等按：此注于徽术求周之法，其中不用“开方除之，即径”六字，今本有者，衍剩也。依密率，八十八乘之，七而一。按周三径一之率，假令周六径二，半周半径相乘得幂三，周六自乘得三十六。俱以等数除幂，得一周之数十二也。其积：本周自乘，合以一乘之，十二而一，得积三也。术为一乘不长，故以十二而一，得此积。今还原，置此积三，以十二乘之者，复其本周自乘之数。凡物自乘，开方除之，复其本数，故开方除之，即周。〕

　　今有积一百八十六万八百六十七尺，〔此尺谓立方尺也。凡物有高、深而言积者，曰立方。〕

　　问为立方几何？答曰：一百二十三尺。

　　又有积一千九百五十三尺八分尺之一，问为立方几何？答曰：一十二尺半。

　　又有积六万三千四百一尺五百一十二分尺之四百四十七，问为立方几何？答曰：三十九尺八分尺之七。

　　又有积一百九十三万七千五百四十一尺二十七分尺之一十七，问为立方几何？答曰：一百二十四尺太半尺。

　　开立方〔立方适等，求其一面也。〕

　　术曰：置积为实。借一算，步之，超二等。

　　〔言千之面十，言百万之面百。〕

　　议所得，以再乘所借一算为法，而除之。

　　〔再乘者，亦求为方幂。以上议命而除之，则立方等也。〕

　　除已，三之为定法。

　　〔为当复除，故豫张三面，以定方幂为定法也。〕

　　复除，折而下。

　　〔复除者，三面方幂以皆自乘之数，须得折、议，定其厚薄尔。开平幂者，方百之面十；开立幂者，方千之面十。据定法已有成方之幂，故复除当以千为百，折下一等也。〕

　　以三乘所得数，置中行。

　　〔设三廉之定长。〕

　　复借一算，置下行。

　　〔欲以为隅方。立方等未有定数，且置一算定其位。〕

　　步之，中超一，下超二等。

　　〔上方法，长自乘而一折，中廉法，但有长，故降一等；下隅法，无面长，故又降一等也。〕

　　复置议，以一乘中，〔为三廉备幂也。〕

　　再乘下，〔令隅自乘，为方幂也。〕

　　皆副以加定法。以定法除。

　　〔三面、三廉、一隅皆已有幂，以上议命之而除，去三幂之厚也。〕

　　除已，倍下，并中，从定法。

　　〔凡再以中、三以下，加定法者，三廉各当以两面之幂连于两方之面，一隅连于三廉之端，以待复除也。言不尽意，解此要当以棋，乃得明耳。〕

　　复除，折下如前。开之不尽者，亦为不可开。

　　〔术亦有以定法命分者，不如故幂开方，以微数为分也。〕

　　若积有分者，通分内子为定实。定实乃开之。讫，开其母以报除。

　　〔淳风等按：分母可开者，并通之积先合三母。既开之后一母尚存，故开分母，求一母，为法，以报除也。〕

　　若母不可开者，又以母再乘定实，乃开之。讫，令如母而一。