皇朝经世文三编

　　五星算术源流　　　　　
黄炳垕

古人不究五纬句巳迟疾之故辄以顺轨为吉逆行为凶超次为殃留守为变夫星之距地不知几万万里也星大于地不知几十百倍也自星视地地直渺如一粟也大地生人多于太仓稊米也五星即能以行度为灾祥安得应于地哉安得应于地之某人某事哉曰土曰木曰火曰金曰水不过以色之黄白行之迟速位之高卑随人意象为之名耳岂真能显其相坐相克之功用耶慨自术家妄言休咎而星学晦亦自历家不求本原而星学愈晦汉志三统术言五步之法为推步五纬见于纪载之始其率甚疏宋人以五行生成数推顺疾退留亦多不合元郭太史作授时历定五星段目悉用实测颇为善法然犹未知纬度之南北也明太祖平元都得回回历法始知五星各有本轮次轮为退顺疾迟所由生又各有本道交道为南北纬度所由判然其法犹未密也万历时西洋利玛窦入中国始知五星半径即不同心天之两心差多禄某汉顺帝时西洋人用其四分之三为本轮半径水星用六分之五四分之一为均轮半径水星用六分之一厥后第谷万历时西洋人改定之而算法始密法详历象考成上编今时宪书用之　国朝康熙闻西人日葛西尼测得五星本天皆椭圆一端度阔一端度狭心不居中故也阔狭度之差即初均数之加减乃悟前此本轮均轮之象为虚设矣乾隆中蒋友仁入中国始信歌白尼明成宏正嘉时西洋人测得地为行星与诸星同绕太阳地道与星道交错因两动而生迟留顺逆之变并悟前此次轮之象为虚设矣咸丰中伟烈亚力与李君善兰译谭天一书知刻白尔顺治中西洋人推行星三例一曰历时同则星日距线所过面积亦同二曰诸星行皆行椭圜道以日为椭圜之一心三曰诸行星距中日数与周时皆公比例及摄动诸差皆确有证据益信地球绕日东行为万世不易之定论于乎合三万里智慧之士积二千年测算之劳始得见其本原焉星学岂易言哉

　　星道以日为心论
旧说五星各有本天重重包裹皆以地为心遂据太阳与诸星同环地球立算率多扞格不通之处盖其本象不如是也厥后西人精测天象知大地亦行星之一其大与金星等五星与地皆绕日东行其道俱为椭圜水星距日最近行最速八十八日绕日一周金次之二百二十五日弱绕日一周地又次之一年绕日一周火又次之六百八十七日绕日一周木又次之四千三百四十日绕日一周土又次之一万零七百四十六日绕日一周西人又测得土星之上有天王天王之上有海王亦为行星恒星最远行最迟二万四千九百二十三年以新定每岁东行五十二秒算绕日一周金水行道在地道环之内名内二星土木火行道在地道环之外名外三星故金水有合日之时星在日上为合伏星在日下为边合伏无冲日之时自地视星无时不在日左右焉土木火三星与地对冲时日在星地间自地面视之日与星同度为合与地同度时地在星日间自地面视之日与星相对为冲所谓本天者特各星所行之道耳由是行度多寡退顺迟疾悉归一公共之例不必强天以求合矣谨案历象考成上编列古新二图而融贯其说不言地为行时其时华人未谙新法恐骇睹闻也近日畴人家知新法之尽美海内诸君子亦多晓然于地行之有据故不妨直表其说以见本象之非同虚设尔

　　五星顺逆迟留说
西人旧术推五星各有本轮均轮次轮本轮心右旋于本天周均轮心左旋于本轮周次轮心右旋于均轮周星右旋于次轮周三轮大小每星不同次大于本本大于均其大较也星在次轮上弧其行与轮行相从则为顺为速星在次轮下弧其行与轮行相反则为逆为迟在次轮之两旁星虽行而自地面视之不见其为行则为前留为后留上下两弧皆非平分上弧常多下弧常少因五星距地各有远近而次轮又各有大小也多禄某首创其说第谷改定其数历象考成采用其法矣然行度虽合于垂象而诸轮俱由于虚设藉以推步度数期与实测相符而已明正嘉时西士加利阿歌白尼诸人精推天行之金水二星绕日轨道尚与虚设次轮之象相似以其在地球行道之内也土木火三星行道在地道之外虽绕日东行星与地同而星迟地速厥象殊焉尝测星与地对冲前后即星与日同度前后自地面视心为顺为疾过此则由疾而迟而为前留矣星与地同度前后即星与日对冲前后自地面视心为退为留过此则由顺而迟复为疾行矣究之五星无时不顺行平行也人见为留逆迟速者因地球不在星道之心又行于本道生诸视差故耳此说行而一切推步悉本于实象究其所得之数与旧法相同而加密焉愈以见轮法之巧合而历学之久而弥精云

　　星学辨惑论
甚哉星学之当求其原也知地为行星之一日为星地道之心则五星顺逆迟留之故尽明而星与地之行法皆归于公理迥异于私智穿凿矣顾人犹有疑之者谓地球绕日旋转何以地上之物不散飞于空中乎殊不思地球四面皆人物也所以不散飞于空中者正以地之速转故耳不见夫舞火球者乎置炭器中颠倒底面而炭不倾坠者由动力而生摄力也置水或他物于器中挈而舞之亦可颠倒空中不致倾坠地之绕日亦犹是已盖天空有压力诸物有重力俱直射地心有摄力吸引诸物与地球之动力相助人居地面如蚁附球而行球转而蚁不觉也故地自转一周成昼夜人自地面视之恍如日月星辰东生西没焉所居之地面日则谓日东出所居之地背日则谓日西入星月亦然地绕日一周成寒暑人自地面视之恍如太阳环行十有二宫焉地在丑宫人见太阳在未地在戌宫人见太阳在辰岂知无穷者天非里数所能纪断无一日能绕地一周之势至速之炮弹一时不过行数千里若星辰[昼](画)夜绕地一周则一时当行几万万里故知为必无之事至大者日地与星月皆借其光岂有与星月同环地球之理乃人第拘于目之所见则一望平原浩无边际谓地之大不可测度乎仰观日月如盆如镜览诸星如粟如珠渺乎小矣不知此特诸曜之视径耳由视径推其实径木星大于地十一倍半上星大于地力倍半金星与地同大小于地者惟火水二星与月耳至日体之大有合地与五星之体不能得其一隅者而谓其能绕地而行乎此皆天文家累测千百年而后得其详者不同影响之谈也或曰地转之说测诸形象揆诸理势诚确然不易矣顾圣人作易曷云天行健乎曰历算未精之世虽圣人有所不知历法大备之时即愚人不难尽晓此则时为之也尚书考灵曜云地体虽静而终日旋转如人坐舟中自行动人不能知春星西游夏星北游秋星东游冬星南游一年之中地有四游是地转之说华人早知之但未用之于历算年

　　枪取准算法考
考枪取准法至不一而准尤难然大旨不外无定法有定法二者而已何谓无定法天时有寒暑燥湿则空气疏密不同阻力因之而异风气有顺逆偏侧则弹行助遏相反能力因之而大异地段有水陆高下则地力与空气兼有轻重厚薄之殊皆足以改变弹路致生诸差如高低差左右差广远差之类而各本差各本差有多寡微甚问乎制造四国制炮虽本算术准而后造及演放时配准弹药更以密求远近句股度数似可无差而微差终不能免若制工精逊则差数更大司炮者必熟试其所差若干而损益其用庶可取准然而易炮或易人则又不良矣尚不在此列是皆在乎熟习审知各事攸关更复运以精心贯以神明庶几变化无方鲜有不准者所谓无定法非言可宣者也何谓有定法盖即弹路所成之物物线可以算术得其高低远近之数以取准也夫弹之所以必循拋物线者系合三种力所成为势所必然之重学非理可强也一为弹行本重速力一为地心吸引力一为空气阻力合而较之而拋物线之理得矣拋物线之理既得则弹所能及之道里丈尺不难推算而知所谓有定法其数可测者也非言可宣者姑不具论有数可测者请试推求且不必举大小长短各一一求之试即二十四生特之而求其平击与上下斜击之数并明其所以区别则举一可以反三而各准法俱可融会贯通矣按生特乃法国度衡取数之名考法国一枚当英国三十九寸三七一百分枚之一为一生特二十四生特即抵英尺九寸四四九0四尺法国一格祗英十五厘四三四三二二三一百格为一生特抵英一千五百四十三厘有奇即英权三两二一五合二十四生特计之等英六磅四三二十四生特之炮等于英国九寸径此推管径非口径也口径仅合三寸有奇而用六磅弹实得七十七两一六之炮也查此炮始速率约为一千零五十尺五千步之末速率约为六百三十尺则其平速率约得八百四十尺凡炮愈远则平速愈近愈减则平速愈增若在一千尺之内则平速所差无几即始速也准此以算庶无差谬今试就平下上三等击法推数式如左

　设平置本高于地平十六尺以下推弹所及若干列式以明之

平置炮高历时时羃弹及

十六尺一秒得一一千0五十尺凡一秒内之拋物线几成直角与轴所差甚微弹及地时多不能入土
十五尺千分秒之九六八 0九三七五一千0十六尺　
十尺千分秒之七九一 0六二五八百三十尺　
八尺千分秒之七0七 0五七百四十二尺　
四尺十分秒之五 0二五五百二十五尺　
一尺百分秒之二五 00六二五二百六十三尺　

右数式举以概其余十六尺为一秒时之半地力数以下皆在一秒之始速率内故皆准始速立算但一秒内始速尚应有递减之数微故不剖设更置高于地平六寸四分则弹行二百十尺及地历时十分秒之二再将本贴地平置则口中心应去地四寸七与八之间凡算高低皆当以口中心为准故此弹尚行一百八十尺及地当十分里之一历时千分秒之一七三皆弹掠土而过跳行若干尺乃止

　设更平置本高于地平三十六尺以上推弹所及若干列式以明之

平置炮高历时时幂递减中数平速尺数弹及尺数

三十六尺一秒五二二五 0五一0四九五一五七四此式内拋物线之落角度渐高亦渐曲其余平线则渐短
六十四尺二秒得四一尺一0四九二0九八　
一百尺二五六二五一五一0四八五二六二一　
二百尺三五三一二五三尺一0四七三七00 　
四百尺五秒二五六尺一0四四五二二0 　
九百尺七五五六二五十三一0三七七七七七　

右亦举数式自一秒以上皆各有始末递减之平速率其递减之数系就本炮五千步化为二万五千尺之末速率计减始速四百二十尺历时约三十秒自乘得时羃九百为法以除减数四百二十尺得四寸六七为空气阻力所致是即每秒平方递减之根数惟五千步之平速系八百四十尺照三十秒当微欠二百尺包之以便算耳凡数中不尽之小余不便细列者所差甚微故亦或包或抹以取简便此式内自三十六尺至九百尺之高可平击敌船自十分里之八七五至四里又十分里之三二弹力至此已减一百二十五斤若更击远恐虽及无济且此惟山麓守口之炮台能有如许之高可以平击近海口之敌若在海面兵轮相交或在平陆两军相对彼此等高则用此平击总在半里之内方克有济所以欲击更远则斜向上击之昂度不可不知又若敌船已近或敌已登岸而台上平置之高不可及则斜向下击之低度亦不可不知惟欲知低度必先明昂度爰循序而分列于左云

　设在平地将本昂高二十二度半以下推弹所及列式以明之

昂高度数历时秒数时幂中减尺数平速尺数弹及尺数
二二五十三五一八二二五四二五一00七五一三六00
一一二五六七五四五五六一0五一0二九五七0一六
七五四五二0二五五尺一0四五四七二五
五六二五三三七五一一三九三尺一0四七三五三四
四五二七七九二二尺一0四八二八三0
一度 0六 0三六一尺一0四九六二九

右亦举数式以概其余凡昂高四十五度则弹及为最远本若昂四十五度弹当去二万三千七百六十尺及地历时二十七秒其平速为八百八十尺是不能至二万五千尺也准所定之末速率须在更高四十余尺数再昂四十五度方可究未知其如何试定也今以平地言故就二十二度半以下推之其历时之数系以四十五度除二十七秒得六每度照加其递减中数亦止取整如将此中数加平速即始速率减平速即末速率此式内弹及里数至多约七里半至少不及半里其拋物线之落角至大在三十度外至少在一度外凡昂角与落角差有大小愈远则差愈大然各昂若差不同即一亦恒有不同故不赘列昂度既明而后低度可推矣

　设在高六十四尺或九百尺处平置本而敌已迫近于一里之内则平击必越过甚多宜将尾垫高俾口低下若干度斜击方中亦列式以明之

高六十四尺处平击本历二秒弹及原数二千0九十八尺
低一度当反减十分秒之六折半得三以减本历得一七为八五折以成原数得一千七百八十三尺在一里内矣
低二度反减一二折半得六以减本历得一四为七折以成原数得一千四百六十八尺六
低三度半反减一一折半得一0五以减本历得九五为四七五折以成原数得九百九十六尺有半
低五度反减三秒折半得一五以减本历余五为二五折以乘原数得五百二十四尺半

高九百尺处平击本历七秒半弹及原数七千七百七十七
低二度半反减一五折半得七五以减本历得六七五为九折以乘原数得六千九百九十九尺在四里内约近半里矣
低七度半反减四五折半得二二五以减本历得五二五为七折以乘原数得五千四百四十四尺较原近一里三
低十度反减六秒折半得三秒以减本历得四五为六折以乘原数得四千六百六十六尺约二里半有奇
低二十度反减十二秒折半得六秒以减本历余一五为二折以乘原数得一千五百五十五尺在一里内矣

右二式既非试得亦非有本不过借昂度之理反观而酌取之以为当如是耳盖凡用平度昂度者则弹力与地心力相背而相至其势逆故秒数递增而弹及愈远低度则弹力与地心力相并而相随其势顺故秒数递减而弹及愈近折半者仍属弹力欲循轴线使然过低即不能准此例入算者因弹力与地力渐近全顺向之地力仅能引弹下坠不能减弹力前行之速者今则转助其速矣向之弹力虽欲背地驰行不能减弹力吸引之权者今则转助其权矣故愈低则愈不合拋物线之理当改用角度算之兹不具列