律吕阐微

　　载堉言置黄钟倍律九而一以为外周用求句股术得其内周此算术仍未精宻后详考订正之算律须求真数不可有毫厘之差也
　　新书言空围当有九方分非也昔人明言周言围不得以周围为方幂如言方幂则黄钟不得有九方分新法算黄钟面幂九分八厘一毫七丝有竒者横黍尺之分厘毫丝也以斜黍九十分者约之只得八分八厘三毫五丝有竒耳其云围十分三厘八毫径三分四厘六毫者围三径一之谬法也如围十分三厘八毫则径只有三分三厘二毫如径三分四厘六毫则围有十一分零七毫有竒矣又以径自乘为方积四分取三为圆积以求合于九方分此又圆田求积之粗率不可用之以算律管也夫径三分四厘六毫者安定胡瑗之律也因律太短不能容千二百黍故扩其围径以就之当时用上党羊头山黍以三等筛筛之而取其中则黍亦可迁就矣要之黍非真黍律非真律而算亦非真算蔡氏犹仍其误岂古人有宻率载在史志者竟未尝深究耶
　　周径幂积密率
　　按平圆周径幂积可互相求旧云周三径一又以方积四分之三为圆积皆疎舛之率不可承用者也欲算各律之外周内周外径内径及空围内之面幂实积须求最宻之率方凖古之算家祖冲之为最其割圆之法用缀术渐次求之得其周径之率攷之隋书律志祖氏原有三率一云径七周二十二者约率也一云径一百一十三周三百五十五者密率也然约率则强宻率犹稍弱仍有最宻之率则径一周三一四一五九二六五是也葢三一四一五九二七为赢限三一四一五九二六为朒限正数在赢朒二限之间末位约之为五三一四一五九二六五共得九位亦可以为算周径之用矣周径相乘得七八五三九八一六二五为平幂或以半径乘半周亦得平幂此最宻之率也试借西人八线表验之
　　西人分周天为三百六十度一度又析为六十分是分大圆为二万一千六百边也八线各有相当正与余割相乗与半径全数自乘等积查表一分之余割线三四三七七四六八二因此求得一分之正二九○八八八二○四五○一以二万一千六百折半为一万○八百乗之得三一四一五九二六○八六一八正是直线圆周是曲线几与之等而曲者必稍赢是以比圆周稍朒焉故径一则周三一四一五九二六五为最宻之率宜用之
　　朱载堉宻率法云圆周四十容方九句股求数可知遂以此为求径率求周求积亦如之谓圆周四十寸者内容方九寸九寸各自乘并得一百六十二寸开方得斜为圆径也今按此法犹未宻正法圆周三一四一五九二六五内容方七○七一○六七八一葢圆周四十则容方不啻九若容方九则圆周不及四十载堉以此率求诸律周径幂积惟径无差若周幂积四位以后稍有嬴余不得为真数矣数不真确不可载之于书故今依祖氏法推算
　　先求三十六律通长真数
　　载堉云黄钟倍律通长二尺容黍二合称重二两律度量衡无非倍者此自然全数也故算法皆从倍律起若夫正律于度虽足于量于衡则皆不足只容半合只重半两比诸倍律似非自然全数故算法不从正律起亦不从半律起倍律正律半律各有十二共为三十六律
　　按诸律通长已见前篇其以次迭求之法已见第二卷兹不再述
　　次求三十六律外径内径
　　按载堉之法先求周今易之先求径六阳律之外内径有与他律通长相应退一位即得者不必求一位者十分之一也开列如左
　　蕤賔正律通长退一位即黄钟倍律外径
　　林钟正律通长退一位即太蔟倍律外径
　　夷则正律通长退一位即姑洗倍律外径
　　南吕正律通长退一位即蕤賔倍律外径
　　无射正律通长退一位即夷则倍律外径
　　应钟正律通长退一位即无射倍律外径
　　黄钟半律通长退一位即黄钟倍律内径正律外径大吕半律通长退一位即太蔟倍律内径正律外径太蔟半律通长退一位即姑洗倍律内径正律外径夹钟半律通长退一位即蕤賔倍律内径正律外径姑洗半律通长退一位即夷则倍律内径正律外径仲吕半律通长退一位即无射倍律内径正律外径蕤賔半律通长退一位即黄钟正律内径半律外径林钟半律通长退一位即太蔟正律内径半律外径夷则半律通长退一位即姑洗正律内径半律外径南吕半律通长退一位即蕤賔正律内径半律外径无射半律通长退一位即夷则正律内径半律外径应钟半律通长退一位即无射正律内径半律外径凡倍律内径折半即半律内径
　　凡六隂吕以阳律之径分为实以十亿乗之以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之即得本吕之径隂吕求阳律亦仿此十亿○二千九百三十万有竒之数者应钟倍律外径五一四六五一一一八三二一七四六○进位倍数也
　　次求三十六律外周内周
　　以本律之径乗三一四一五九二六五以十除之得周
　　如迭求之以本律之周为实以十亿乘之以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之得次律之周
　　倍律外周折半即正律内周半律外周
　　倍律内周正律外周折半即半律内周
　　次求三十六律面幂
　　以本律之周径相乘为实以四归之或以半周半径相乗皆得面幂
　　如迭求之以本律之面幂为实以十亿乘之以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之得次律之面幂
　　倍律面幂折半即正律之面幂正律面幂折半即半律之面幂
　　置七八五三九八一六二五以四除之得倍律黄钟面幂各以正律通长乘之得各倍律之面幂
　　置七八五三九八一六二五以八除之得正律黄钟面幂各以倍律面幂折半得各正律之面幂
　　置七八五三九八一六二五以一十六除之得半律黄钟面幂各以正律面幂折半得各半律之面幂
　　次求三十六律实积
　　各律以通长乘本律面幂再以通长乘所得即本律实积
　　如欲以次求之置本律实积为实以十兆乗之以十一兆二千二百四十六万二千○四十八亿三千○九十三万七千二百九十八除之得次律实积
　　倍律实积四归之得正律实积正律实积四归之得半律实积
　　黄钟倍律面幂进一位即蕤賔倍律之实积倍之即黄钟倍律之实积
　　太蔟倍律面幂进一位即林钟倍律之实积倍之即大吕倍律之实积
　　姑洗倍律面幂进一位即夷则倍律之实积倍之即太蔟倍律之实积
　　蕤賔倍律面幂进一位即南吕倍律之实积倍之即夹钟倍律之实积
　　夷则倍律面幂进一位即无射倍律之实积倍之即姑洗倍律之实积
　　无射倍律面幂进一位即应钟倍律之实积倍之即仲吕倍律之实积
　　黄钟正律面幂进一位即黄钟正律之实积半之即蕤賔正律之实积
　　太蔟正律面幂进一位即大吕正律之实积半之即林钟正律之实积
　　姑洗正律面幂进一位即太蔟正律之实积半之即夷则正律之实积
　　蕤賔正律面幂进一位即夹钟正律之实积半之即南吕正律之实积
　　夷则正律面幂进一位即姑洗正律之实积半之即无射正律之实积
　　无射正律面幂进一位即仲吕正律之实积半之即应钟正律之实积
　　已上诸律有相应处可见一气贯通之妙载堉未言今推之如此学者宜深玩之
　　律管长短广狭自然之理数河图已显其象象数篇详之

　　律吕阐防卷三
<经部,乐类,律吕阐微>
　　钦定四库全书
　　律吕阐防卷四
　　婺源江永撰
　　律体【下】
　　造律自毫以下非目力所能察然周径容积各有细数不可不纪其实载堉书有三十六律立成惜其未考古人周径宻率误用圆周四十容方九之率是以算律管及周鬴皆有防强之数不得其真如黄钟正律内周实是一一一○七二○七二有竒而算一一一一一一一一一不尽幂积实是九八一七四七七○三有竒而算九八二○九二五五一六四七九八二六七诸律强数皆仿此由其四十与九根数未也今所列立成较精宻后有量律新法各律容积中式与否皆可试验尤可补载堉书所未逮云
　　新法倍正半律通长周径幂积算率立成【内周幂积三项系今订定】
　　【倍律通长】黄钟二【尺　寸　分○　○　○○○○○○○○】
　　大吕一八八七七四八六二五三
　　太蔟一七八一七九七四三六二
　　夹钟一六八一七九二八三○五
　　姑洗一五八七四○一○五一九
　　仲吕一四九八三○七○七六八
　　蕤賔一四一四二一三五六二三
　　林钟一三三四八三九八五四一
　　夷则一二五九九二一○四九八
　　南吕一一八九二○七一　一五○
　　无射一一二二四六二○四八三
　　应钟一○五九四六五○九四三
　　【正律通长】黄钟一【尺寸分○○○○○○○○○○】
　　大吕○九四三八七四三一二六
　　太蔟○八九○八九八七一八一
　　夹钟○八四○八九六四一五二
　　姑洗○七九三七○○五二五九
　　仲吕○七四九一五三五三八四
　　蕤賔○七○七一○六七八一一
　　林钟○六六七四一九九二七○
　　夷则○六二九九六○五二四九
　　南吕○五九四六○三五五七五
　　无射○五六一二三一○二四一
　　应钟○五二九七三一五四七一
　　【半律通长】黄钟○五【寸　分○○○○○○○○○】
　　大吕○四七一九三七一五六三
　　太蔟○四四五四四九三五九○
　　夹钟○四二○四四八二○七六
　　姑洗○三九六八五○二六二九
　　仲吕○三七四五七六七六九二
　　蕤賔○三五三五五三三九○五
　　林钟○三三三七○九九六三五
　　夷则○三一四九八○二六二四
　　南吕○二九七三○一七七八七
　　无射○二八○六一五五一二○
　　应钟○二六四八六五七七三五
　　【倍律外周】黄钟○二【寸】二【分】三一四四一四四一
　　大吕○二一五八二○一三二四
　　太蔟○二○九六七三三二四六
　　夹钟○二○三七○一四九一四
　　姑洗○一九七九○七九三三三
　　仲吕○一九二二七三八七九二
　　蕤賔○一八六八○○二一六三
　　林钟○一八一四七二三七八○
　　夷则○一七六三一五九二五八
　　南吕○一七一二九六五五三八
　　无射○一六六四二○○七三五
　　应钟○一六一六八六七五○九
　　【倍律内周】黄钟○一【寸】五【分】七○七九六三二五【与正律外周同】
　　大吕○一五二六○七八八○一
　　太蔟○一四八二六三四三○一
　　夹钟○一四四○四一六五八一
　　姑洗○一三九九四二○四三二
　　仲吕○一三五九五八一七二五
　　蕤賔○一三二○八七六九九八
　　林钟○一二八三二七○二七五
　　夷则○一二四六七四一八六八
　　南吕○一二一一二四九五四七
　　无射○一一七六七六七六二四
　　应钟○一一四三二六七三三五
　　【正律内周】黄钟○一【寸】一【分】一○七二○七二○【与半律外周同】
　　大吕○一○七九一○○六六二
　　太蔟○一○四八三六六六二三
　　夹钟○一○一八五○七四五九
　　姑洗○○九八九五三九六六六
　　仲吕○○九六一三六九三九六
　　蕤賔○○九三四○○一○八一
　　林钟○○九○七三六一八九○
　　夷则○○八八一五七九六二九
　　南吕○○八五六四八二七六九
　　无射○○八三二一○○三六七
　　应钟○○八○八四三三七五四
　　【半律内周】黄钟○○七八五三九八一六二
　　大吕○○七六三○三九四○○
　　太蔟○○七四一三一七一五○
　　夹钟○○七二○二○八二九○
　　姑洗○○六九九七二○二一六
　　仲吕○○六七九七九○八六二
　　蕤賔○○六六○四三八四九九
　　林钟○○六四一六三五一三七
　　夷则○○六二三三七○九三四
　　南吕○○六○五六二四七七三
　　无射○○五八八三八三八一二
　　应钟○○五七一六三三六六七
　　【倍律外径】　黄钟○○七【分】○七一○六七八一
　　大吕○○六八六九七六八二三
　　太蔟○○六六七四一九九二七
　　夹钟○○六四八四一九七七七
　　姑洗○○六二九九六○五二四
　　仲吕○○六一二○二六七七一
　　蕤賔○○五九四六○三五五七
　　林钟○○五七七六七六三四八
　　夷则○○五六一二三一○二四
　　南吕○○五四五二五三八六六
　　无射○○五二九七三一五四七
　　应钟○○五一四六五一一一八
　　【倍律内径】黄钟○○五【分】○○○○○○○○【与正律外径同】
　　大吕○○四八五七六五九七○
　　太蔟○○四七一九三七一五六
　　夹钟○○四五八五○二○二一
　　姑洗○○四四五四四九三五九
　　仲吕○○四三二七六八二八○
　　蕤賔○○四二○四四八二○七
　　林钟○○四○八四七八八六三
　　夷则○○三九六八五　二六二
　　南吕○○三八五五五二七六
　　无射○○三七四五七六七六九
　　应钟○○三六三九一三二九五
　　【正律内径】黄钟○○三五三五五三三九○【与半律外径同】
　　大吕○○三四三四八八四一一
　　太蔟○○三三三七○九九六三
　　夹钟○○三二四二○九八八八
　　姑洗○○三一四九八○二六二
　　仲吕○○三○六○一三三八五
　　蕤賔○○二九七三○一七七八
　　林钟○○二八八八三八一七四
　　夷则○○二八○六一五五一二
　　南吕○○二七二六二六九三三
　　无射○○二六四八六五七七三
　　应钟○○二五七三二五五五九
　　【半律内径】黄钟○○二五○○○○○○○
　　大吕○○二四二八八二九八五
　　太蔟○○二三五九六八五七八
　　夹钟○○二二九二五一○一○
　　姑洗○○二二二七二四六七九
　　仲吕○○二一六三八四一四○
　　蕤賔○○二一○二二四一○三
　　林钟○○二○四二三九四三一
　　夷则○○一九八四二五一三一