益古演段

　　二之积步加之従内欠一个方
　　减二积时漏下二个圆池又该欠一个半方共欠二步半虚常法也
　　第四十二问
　　今有直田一叚中心有圆池水占之外计地一万八百步只云从外田角至水池楞六十五步其外田阔不及长七十步问二事各多少
　　答曰田长一百五十步　阔八十步　圆池径四
　　十步
　　法曰立天元一为内池径加倍至一
　　百三十步得□丨为田斜以自之得
　　□□丨为田斜幂于头又置田较七
　　十步以自之得□为较幂以减头位
　　得□□丨为二田积寄左再立天元池径以自之身外加五得【元○】□为两个池积也加二之见积二万一千六百步□○□亦为二直积与左相消得□□□开平方得四十步即池径也以径自之三之四而一加入见积为实以阔不及长为従开方得田阔依条叚求之二之田积内加较幂却减四叚至步幂为实四之至步为従半步虚常法
　　义曰二积内加一个较幂恰补
　　就一个斜幂也其二积内有两
　　个圆池是元虚了一步半方也
　　扵积内却实有一步除外止虚了半步也

　　益古演段卷中
<子部,天文算法类,算书之属,益古演段>
　　钦定四库全书
　　益古演叚卷下　　　　　　元　李冶　撰第四十三问
　　今有圆田三叚【一依古法一依宻率一依徽率】共计地二十畆五十二步一百七十五分步之二十三只云宻径多于古径九步徽径多于宻径九步问三径各多少
　　答曰古径三十六歩　宻径四十五步　徽径五
　　十四步
　　法曰立天元一为古径加多九步得
　　□丨为宻径以自之得下□□丨为
　　宻径幂又以十一乗之得□□□为
　　十四叚宻圆积于头又立天元古径
　　加二之多步一十八步得□丨为徽
　　径以自之得□□丨为徽径幂也又
　　以一百五十七乗之得□□□为二
　　百叚徽圆积于中【按徽率周一百五十七径五十径乗】
　　【周四归为圆幂今以径幂乗周当以径五十除之再四归之为圆幂不除便为五十乗之又四乗之之二百圆幂也】又置天元古径以自之又三之得【元○】□为四叚古圆积于下乃求三积齐同分母而并之先以分母一万七千五百【按此即十四除二十四万五十之数】乗十四叚宻圆积得□□□为二十四万五千叚宻圆积于头位次以分母一千二百二十五乗二百叚徽积得□□□为二十四万五千叚徽积于中位次以分母六万一千二百五十乗四叚古积得○○□为二十四万五千叚古积于下位三位相并得□□□为二十四万五千叚如积数寄左然后列见积通分内子得八十四万九千一百二十三就分以一千四百乗之得一十一亿八千八百七十七万二千二百与左相消得下式□□□平方开之得三十六步为方径也各加多步见徽宻二径也　义曰所以齐同于二十四万五千叚者以元母一百七十五乗一千四百得此数依条叚求之以一千四百乗田积于头位置徽径多古径自之为幂又以一千九十九【按置一千四百分以徽圆幂率一百五十七乗之方幂率二百除之即得】乗之减头位续置宻径多古径自之为幂又以一千一百【按置幂十】一【千四百分以宻率圆乗之方幂十四除之即得】乗之复减头位余为实又倍徽径多古径以千九十九乗之为徽从又倍宻径多古径以一千一百乗之为宻从并二从得五万九千三百六十四为从法亷常置三千二百四十九
　　义曰以一千四百乗积者取其三率皆可以除之也
　　齐同分母湏至于二十四万五千
　　叚者葢以分母一百七十五元乗
　　积数一千四百此二数相乗得二
　　十四万五千也

　　此问求真积实数　古径三十六得积九百七十二步　宻径四十五步得积一千五百九十一步一十四分步之一　徽径五十四步得积二千二百八十九步二百分步之一十二并三积全步四千八百五十二步外【宻零一十四分步之一徽零二百分步之一十二】以上维乗下位【宻子得二百分　徽子得一百六十八分】相并得三百六十八分为子实又上二位相乗得二千八百分为母法子母俱以十六约之为一百七十五分步之二十三　一千四百乗田积来厯盖只就宻率上定之也置一千四百在地以宻率十一之如十四而一为一千一百积　若以古率三之四而一则得一千五十积　若以徽率一百五十七乗之如二百而一得一千九十九积所以用一千四百乗积者縁古法四徽法二百皆可以除之也　求三积齐同分母元分母数一百七十五元乗积数一千四百此二数相乗二十四万五千即大分母也三积总率皆齐同于此既得此齐同分母乃各以先求到叚数约之徽率得一千二百二十五宻率得一万七千五百古率得六万一千二百五十故反以乗叚数皆齐同于二十四万五千也
　　按条叚分母数简于前法者用旧术也然各分母之数犹有可省者盖众数取分母数必得最小者方爲确凖其义见秦九韶数学九章大衍术中今附其法于后以发明前法所未尽者
　　法列四数先以元母一百七十五与
　　宻方率十四相度得度尽二数之数
　　为七次以二数相乗以度尽数除之
　　得三百五十为二数总母又以二数
　　总母与徽方率数相度得度尽二数
　　之数为五十以二数相乗度尽数除
　　之得一千四百为三数总母又以三
　　数总母与古方率数相度则古方率
　　四即为度尽二数之数二数相乗度
　　尽数除之仍得一千四百即为四数
　　总母然后以宻方率十四除之得一
　　百为宻分母以徽方率二百除之得
　　七为徽分母以古方率四除之得三
　　百五十为古分母以元分母一百七
　　十五除之得八为原积分母以此数
　　与各叚幂积相乗除较原数所省多
　　矣
　　第四十四问
　　今有梯田一叚长二百四十步并不知东西两濶只云从东头截长五十步计地三畆从西头截长三十步计地五畆问二濶各多少
　　答曰东头元濶一十一步二分　西头元濶四十
　　一步九分二厘
　　法曰此问先湏求见两头各截之停广求东截停广者置东头所截三畆之积七百二十步以截长五十步除之得一十四步四分为东截地之停广也求西截停广者置西头所截五畆之积一千二百步以截
　　长三十步除之得四十步为西头所
　　截停广也乃立天元一为毎步之差
　　以东头截长五十步乗之折半得□
　　以减东停广一十四步四分得□【分】□为东头元小濶于上再置天元差
　　步以西头截长三十步乗之得□折半得□加入西头停广四十步得□□为西头大濶也内减东头小濶余□步□为二濶总差也寄左再立天元毎步差以正长二百四十步乗之得□亦为二濶总差与左相消得□步□下法上实如法而一得一分二厘八毫为毎步之差也置毎步之差以西头截长三十步乗之得三步八分四厘折半得一步九分二厘加入西头停广四十步得四十一步九分二厘为西头元大濶也又置毎步之差以东头截长五十步乗之得六步四分折半得三步二分以减于东头停广一十四步四分余一十一步二分为东头元小濶也此问止求毎步之差更不湏以条叚明之
　　旧术依法求得东停广与西停广数乃以二停广相减余以二百而一【谓东截长五十步其停广当二十五步余去了二十五步也西截长三十步其停广当一十五步余去了一十五步也两头计去了四十步以减于正长二百四十步余二百步】所得为毎步之差乃副置半步之差左以东截长乗之以减东停广余为东元濶也右以西截长乗之以加西停广并为西元濶也又法置一步之差以正长二百四十乗之所得为都濶差也以都濶差加于小头濶则为大头濶也
　　第四十五问
　　今有方田一叚中心有方田池占之外计地一畆只云从外田东南隅至内池西南隅一十三步问内外田方各多少
　　答曰内池方七步　外田方一十七步
　　法曰立天元一为内池方以自乗倍之得【元○】□加入见积得□□寄左又列至步自之得一百六十九步
　　又倍之得三百三十八步与左相消
　　得□○□开平方得七步即内池方
　　也池方自之加入见积再开平方即
　　外田方面也
　　依条叚求之只据前式便是更不湏重画也只是将见积打作四叚小直田以池面为较以外田方面为和以斜至步为然此问惟是其池正在方田中心可依此法求之若稍有偏侧则不能用也　旧术列去角步自乗为二位头位减半田积开平方见内池面下位加半田积开平方见外田面也
　　第四十六问
　　今有方圆田各一叚共计积一百二十七步只云其方面大如圆径圆径穿方斜共得二十步问面径各多少
　　答曰方面一十步　圆径六步
　　法曰立天元一为圆径减穿步得□丨为方斜以自
　　之得□□丨为方斜幂于头再
　　置天元圆径以自之又以一步
　　四分七厘乗之得□□步为展
　　起圆田也并入头位得□□□
　　步为展数如积一叚寄左然后
　　列见积一百二十七步两度下加四【两度下加四止是以一步九分六厘乗之也以一步九分六厘乗之者变方田为斜田也】得二百四十八步九分二厘与左相消得下式□□□开平方得六步即圆径也以径减穿步即方斜也
　　依条叚求之穿步幂内减去展起见积为实二之穿步为从二步四分七厘虚隅
　　义曰下式乃展起之圆
　　积也亦俱是减数也此
　　数该一步四分七厘之
　　方又从步内叠出一步
　　虚隅计得二步四分七厘常法也
　　旧术曰以一步九分六厘乗田积为头位又列穿步自乗内减去头位余为实倍穿歩为从亷常置二歩四分七厘减从开方
　　第四十七问
　　今有直田一叚中心有小方池结角占之外计地二千七十九步只云从田二头至池角二十一步半两邉至池角七步半问三事各多少
　　答曰长六十四步　濶三十六步　池方一十五步
　　法曰立天元一为内方面身外加四
　　又加二之头至步四十三得□□为
　　田长也又置池方面身外加四又加
　　入二之邉至步一十五得□□为田
　　濶也长濶相乗得下式□□□为直田积于头又置天元池方面以自之得【元○】丨为内方池以减头位得□□□为如积一叚寄左然后列见积二千七十九步与左相消得□□□开平方得一十五步即内池方面也方面外加四副二位若加两头至池步见长若加两邉至池步即见濶也
　　依条叚求之积步内减四叚邉至与头至步相乗数为实并至头至步倍之又身外加四为从九分六厘常法
　　义曰水池外有九分六厘常法从
　　步皆加四者盖于斜上求方面也

　　第四十八问
　　今有方田一叚内有直池水占之外有地三百四十步只云其池广不及长四步又云从田楞通池长一十五步问三事各多少
　　答曰田方二十步　内池长一十步　广六步
　　法曰立天元一为池长减于倍通步□丨为田方面以自之得□□丨为田方积于头再置天元池长内减较四步□丨为池濶以天元乗之得□丨为直池
　　积以减头位得□□○为如积一叚
　　寄左然后列直积三百四十步与左
　　相消得□□下法上实如法而一得
　　一十步即池长也以长减于倍通步
　　即方田面也
　　依条叚求之四叚通步幂内减田积为实四之通步内减池较为法如法得池长
　　义曰四之通步为法内欠一个池长幂却用所漏之
　　池补之犹差一池较
　　为法合除之数也既
　　于实积内虚了此数
　　故作法时于四之通步内减去一数也
　　第四十九问
　　今有方田一叚内有小方池结角占之外计地一万八百步只云从外田楞至内池角各一十八步问内外方各多少
　　答曰外田方一百二十步　内池方六十步
　　法曰立天元一为内方面身外加
　　四又加倍至步三十六得□□为
　　田方面以自乗得□□□为外方
　　积于头再置天元内方面以自之
　　得【元○】丨为内池积也以减头位得□□□为如积一叚寄左然后列真积一万八百步与左相消得□□□开平方得六十步为内池方面也内方面身外加四又加倍至步即方面也
　　依条叚求之见积内减四叚至步幂为实四之至步身外加四为从九分六厘常法
　　义曰从步内加四者是于一个方
　　面上求

　　第五十问
　　今有方田一叚自有小方池结角占之外计地九千三百七十五步只云从外方角至内池面各五十七步半问内外方各多少
　　答曰外田方一百步　内池方二十五步
　　法曰立天元一为内方面
　　加倍至步一百一十五步
　　得□丨为外田斜以自之
　　得□□丨为所展方积于
　　头再置天元内池面以自
　　之得【元○】丨为内池积又就分以一步九分六厘乗之得下【元○】□亦为所展之池积也以减头位得□□□为一叚所展如积寄左然后列真积九千三百七十五步以一步九分六厘乗之得一万八千三百七十五与左相消得□□□开平方得二十五步即内方面也
　　依条叚求之展积内减四叚至步幂为实四之至步为从九分六厘虚常法
　　义曰展积时其池亦展得虚了九
　　分六厘也

　　第五十一问
　　今有方田一叚内有小方池结角占之外计地四十五畆只云从外田南邉斜通池北角一百二步问内外方各多少
　　答曰外田方一百二十步　内池方六十步
　　法曰立天元一为内方面身
　　外加四为池斜以减于倍通
　　步二百四步得□□为外方
　　面以自之得□□□为方田
　　积于头又置天元内池面以自之得下【元○】丨为内方池也以内方池减头位得□□□为如积一叚寄左然后列真积一万八百步与左相消得□□□平方开之得六十步为池方面也
　　依条叚求之四叚通步幂内减见积为实四之通步加四为从九分六厘虚隅法
　　义曰从步身外加四者盖是于池
　　斜上求池面也

　　旧术曰倍通步自乗以田积减之余折半为实倍通步加四为从亷常置四分八厘减从开方见内方面
　　第五十二问
　　今有方田一叚内有方池结角占之外计地三十九畆零一十五步只云从田东南角至内池西北面八十二步半问内外方面各多少