新法算书

　　以数明之乙甲丙角为四十度所包大小两隠角为乙甲壬壬甲丙其两正乙丁丙戊之比例为七与四即乙子子丙之比
　　例亦七与四而乙丙之总数如十一平分之于丑即乙丑丑丙各得五有半而乙辛辛丙两弧各二十度又以大线七与半线相减余一有半以半线五有半与小线四相减亦余一有半又甲辛为半径即辛丙二十度弧之切线辛癸为三六三九七○二即以丑丙五有半为第一率以辛癸切线三六三九七○二为第二率以子丑一有半为第三率而得辛壬切线九九二六四六为第四率既得第四率即得辛壬所当辛甲壬角为五度四十○分八秒以减辛丙二十度余壬甲小角一十四度一十九分五十二秒以加半弧乙辛得乙甲壬大角二十五度四十○分八秒
　　此题为用切线根本
　　根法四　凡直角三边形之各邉皆能为半径
　　其一以线为半径作弧即余两腰包直角者各为其对角之正
　　如上甲乙丙形其乙丙为对直角之线以为半径作丁丙弧即甲丙小腰为对角乙之正甲乙大腰为对角丙之正
　　其二以大腰为半径即小腰为小角之切线而线为
　　小角之割线
　　如上甲乙大腰为半径即甲丙小腰为乙小角之切线而乙丙为乙角之割线
　　其三以小腰为半径即大腰为大角之切线而线为大角之割线
　　如上甲丙小腰为半径即甲乙大腰为丙大角之切线而乙丙线为其割线

　　此题为用割圆各线根本

　　新法算书卷十
　　测天约説叙目
　　测天者脩厯之首务约説者议厯之初言也不从测无縁推筭故测量亟矣即测推筭亦非甚难不可几及之事所难者其数曲而繁其情密而隠耳欲御其繁曲宜自简者始欲穷其密隠宜自显者始约説之义则总厯家之大指先为简显之説大指既明即后来所作易言易知渐次加详如车向康庄此为发轫已又古之造厯者不欲求明抑将晦之诸凡名义故为隠语诸凡作法多未及究论其所从来与其所以然之故墙宇既峻经途斯狭后来学者多不得其门而入矣此篇虽云率略皆从根源起义向后因象立法因法论义亦复称之务期人人可明人人可能人人可改而止是其与古昔异也或云诸天之説无从考证以为疑义不知厯家立此诸名皆为度数言之也一切逺近内外迟速合离皆测所得舍此即推步之法无从可用非能妄作安所置其疑信乎若夫位置形模实然实不然则天载幽人灵浅尠谁能定之姑论而不议可矣都为二卷共八篇如左
　　钦定四库全书
　　新法筭书卷十一　　　　　　明　徐光启等　撰测天约説卷上
　　首篇
　　度数之学凡有七种共相连缀初为二本曰数曰度数者论物几何众其用之则筭法也度者论物几何大其用之则测法量法也【测法与量法不异但近小之物寻尺可度者谓之量法逺而山岳又逺而天象非寻尺可度以仪象测知之谓之测法其量法如筭家之专术其测法如算家之缀术也】既有二本因生三干一曰视人目所见一曰听人耳所闻一曰轻重人手所揣耳所闻者因生乐器乐音手所揣者因生举运之器举运之法惟目视一又生二枝一曰测天一曰测地七者在西土庠士俱有专书今翻译未广仅有几何原本一种或多未见未习然欲略举测天之理与法而不言此理此法即説者无所措其辞听者无所施其悟矣七者之中音乐与轻重别为二家故兹所陈特举其四曰数曰测量曰视曰测地四学之中又每举其一二为卷中所必需其余未及缕悉者俟他日续成之也为他篇所共赖故列于篇次之外曰首篇欲知他篇须知此篇故又名须知篇
　　数学一题
　　比例者以两数相比论其几何
　　比例有二一曰相等之比例一曰不等之比例若二数相等以此较彼无余分名曰等比例也若二数不等又有二一曰以大不等一曰以小不等如以四与二相比四之中凡为二者二是为以大即命曰二倍大之比例也如以二与四相比倍其身乃得为四是为以小即命曰二分之一之比例或命曰半比例也
　　测量学十八题
　　第一题至十四题论测量之理
　　第十五题至第十八题论测量之法
　　几何原本书中论线论面论体今第一至第五论线也第六至十四论体也此书中不及面故不论面几何原本中多言直线圜线其理易明今不及论论其稍异者五题前二题言独线后三题言两线
　　第一题【独线一】
　　长圆形者一线作圏而首至尾之径大于腰间径亦名曰瘦圈界亦名撱圏
　　如甲乙丙丁圏形甲丙与乙丁两径等即成圏今甲首至丙尾之径大于己至庚之腰间径是名长圆或问此形何从生荅曰如一长圆柱横断之其防处为两面皆圆形若防处稍斜其两面必稍长愈斜愈长或
　　称卵形亦近似然卵两
　　端大小不等非其类也
　　【指其面曰平长圆若成体曰立长圆】
　　第二题【独线三】
　　蛇蟠线者于平面上作一线自内至外恒平行恒为圏线而不遇不尽如上图自甲至乙者是
　　旋风线者于平圆柱上作一线亦如蛇蟠但蜿蜓腾凌而
　　上如旋风也
　　如上图自甲至乙者是
　　螺旋线者于球上从腰至顶作一线如蛇蟠而渐髙如旋
　　风而渐小
　　如上图自甲至乙者是
　　此书独用螺旋线欲解其形势故备言之
　　第三题【下三题言二线者或直或不直或相遇或相离】
　　二线相遇者有三但相遇而止名曰至线因至线在所至线之上故又曰在上其割截而过者名曰交线亦曰割线亦曰截线其至而不过又不止者名曰切线其至线而有所分截者亦称割线或曰截线或曰分线
　　如上图甲乙线与丙乙丁线丙乙丁
　　圈相遇至乙而止则甲乙为至线又
　　曰丙乙丁上线
　　如上图甲乙线截丙丁于戊己庚
　　线截辛壬癸圏于辛子丑寅圏截
　　丑卯寅圏于丑于寅皆名交线
　　又如上图甲乙线遇丙丁圏于
　　丙戊己庚圏遇戊辛壬圈于戊
　　皆名切线
　　如上图甲丙线分甲乙丙圈者曰分圈线亦曰割圏线亦曰截圏
　　第四题
　　两线不相遇而相离之度恒等名曰距等线【或称平行线侣线俱通用】
　　如上三图甲至己乙至戊丙至丁
　　其相离之度俱等
　　第五题
　　两线相遇即作角
　　本是一面为两线所限限以内即成角也
　　如上图甲乙与乙丙两线相遇于乙即包一甲乙丙角【第二字即所指角】
　　其球上两圏线相交亦作角如上图甲丙乙丁两线交而相分于戊即成甲戊丁丁戊丙丙戊乙乙戊甲四球上角也
　　第六题
　　自此至第十四题皆论体诸体中球为第一此书所用独有球体故未他及【凡物之圆者皆名球诸题中名义凡立圆物皆有之非独天也】第六至第八言球内之理第九至十四言球外之理
　　球之内有心心者从此引出线至球面俱相等
　　如上图甲乙丙球丁为心从丁引出线至甲至乙至丙各等即作百千万线皆等

　　第七题【球内】
　　径者一直线过球心两端各至面半径者从心至面如上图甲乙球丙为心一直线过丙两端至甲至乙即甲乙为径线其丙乙丙甲皆为半径线
　　第八题【球内】
　　球不离于本所而能旋转则其一径之不动者名为轴轴之两端名为两极也凡一球止有一心凡球之转止有
　　一轴其径甚多无数可尽
　　如上图甲乙丙丁球戊为心乙丁过心此球从甲向丙丙又向甲旋转而不离其处
　　则乙戊丁直线为不动之处是名轴也乙与丁则为两极球心若离于戊防如己则从心所出两半径线如庚己己辛必不等故曰止有此心凡轴皆利转若有二轴二俱转即相碍一不转即非轴故曰止有一轴从心出直线茍至面皆径也故曰无数
　　第九题【球外】
　　球之面可作多圏圏有大有小大圏者其心即球心若从圏剖球为二则其圏之径过球心也各大圏从圏面作垂线各有其本圏之轴与其两极
　　如图甲乙丙丁球上作甲戊丙己大圏其垂线乙丁即乙丁为本圈之轴乙丁两防即其两极故大圏在两极间离两极俱等
　　第十题【球外】
　　小圏者不分球为两平分不与球同心其去两极一近一逺愈近所向极愈小愈近心愈大
　　如上图甲乙为大圏丙丁戊己庚皆小圈也故一大圏之上之下可作无数小圏众小圈之间止可作一大圏
　　第十一题【球外】
　　圏不论大小其分之有三等
　　三等者一曰大分一曰小分一曰细分如两平分之为半圏四平分之为象限此大分也每象限分为九十度此小分也每度又析为百分每分为百秒递析为百至纎而止西厯则每度析为六十分每分为六十秒递析为六十至十位而止此细分也
　　第十二题【球外】
　　两大圈交而相分为角欲测其角之大从交数两弧各九十度而遇过极之圏两弧所容过极圏之弧度分即命为本角之度分
　　如上图戊丁乙为过极圏有甲乙丙甲丁丙两大圏交而相分于甲于丙问丁甲乙角为几何度分之角法从甲交数各九十
　　度而遇过极之戊丁乙圈为甲丁甲乙此两弧间所容过极圏之分为丁乙弧如丁乙六十度即命丁甲乙角为六十度角
　　第十三题【球外】
　　凡大圏俱相等两大圏交而相分其所分之圏分两俱相等
　　凡大圈必于本球之腰腰者最大之线也凡最大之线止有一不得有二故辰转作无数大圈俱相等圈既相等则以大圏分大圏其两交线必在球之腰此交至彼交必居球之半故无数大圏各相分所分之两圏分各相等有不等者即小圏也
　　第十四题【球外】
　　大圈俱相等故所分之度分秒各所容皆相等小圏各不相等故度分秒之名数等其所容各不等
　　如上图甲乙己为大圈丙丁戊为小圈大圈既相等即多作大圈皆与甲乙己圈等而各圏之甲至乙其度皆等若丙丁戊小
　　圏既与甲乙己大圏不等则甲至乙与丙至丁同名为若干度而所容之广狭不等
　　第十五题【以下四题言测量之法】
　　长方面其中任设一防欲定其所在为何度分作经纬度求之法曰先平分其长为若干度分名经线次平分其广为若干度分名纬线经与纬每度分之小大俱等次视经纬之线其过防各若干度分即命为防所在之度分
　　如上图甲乙丙丁长方形欲知戊防所在先从乙向丙作距等经线次从乙向甲作距等纬线次视戊防在经纬线之交为是
　　何度即命曰在经度之四纬度之八也【乙至丙丙防得命为第六乙防不得命为第一而命为初厯家言算外者俱准此】
　　第十六题
　　其在球也亦如之球之中任设一防欲定其所在为何度分亦先作球之经度
　　法曰先于两极之间作一大圈为腰圏平分腰圏为三百六十度从各度各作一过极大圏即半圈平分为一百八十度是为腰圏上之经度
　　如上图甲乙丙丁球乙丁为两极于其
　　间作甲戊丙己腰圈从戊向丙丙向己
　　各作过极大圏即乙庚丁乙辛丁等线
　　皆腰圏上之经度
　　第十七题
　　次作球之纬度即定所设防在何度分
　　腰圏之两旁有两极从腰圏向极分为九十度每度各作一距等小圏渐逺腰渐小至极而为一防即第九十小圏也次视经纬两线之交命所设防在何度分如图甲乙丙丁球上依前题既作甲庚丙甲辛丙各经线次于乙戊丁腰圏上向甲极分为九十度每度各作一距等小圏如壬子癸丑之皆纬圈也次视经纬各遇防之交从腰
　　圈线考其经度从过极线考其纬度即命所设己防在从戊向丁之第四经圏从戊向甲之第三纬圏凡言度者各有二义其一一度之广能包一度之地是其容也其一自此度至彼度各以一防为界是其限也腰圏度之容以各过极度之线限之过极度之容以各距等线限之
　　凡圏互相为经亦互相为纬如以过极为经则距等为纬若以距等为经则过极为纬如几何原本之论线互相为直线互相为垂线也
　　第十八题
　　论纬圏以大圏为宗
　　过极经圏皆大圏也皆等距等线限之诸度分之容亦等距等纬圏皆小圏也各不等过极圏限之诸度分之容愈近极愈狭至极而尽矣故纬度之容等于经度者独有腰圏一线独有初度初分初秒之一率过此以上无不狭也故当以大圏为宗大圏左右诸纬圏之上凡言经度之容者皆从此推减之圏愈小度愈狭即差愈多也
　　视学一题
　　凡物必有影影有等大小有尽不尽

　　不透光之物体前对光体后必有影焉若光体大于物体其影渐逺渐杀鋭极而尽若光体小于物体其影渐逺渐大以至无穷若光物相等其影亦相等亦无穷
　　测地学四题
　　第一题
　　地为圆体与海合为一球
　　何以征之凡人任于一处向北行二日半则北方之星在子午线上者必髙一度次后二日半复髙一度恒如是为相等之差向南行亦如之知从南至北为圆体也
　　如上图甲为北星
　　丁为南星乙辛丙
　　圏为地球人在乙
　　则见甲正在其顶

　　至戊则少一度矣从戊至己与乙至戊道里等又少一度矣迨至辛则不见甲至壬则反见丁安得非圆体乎若云地为平体则见星当如癸从丑向寅至辰宜常见不隠又丑至寅寅至卯若见子之髙下所差等则道里宜不等【别有算数】安得有时不见又恒为相等之差也若人东行渐逺则诸星出地者渐先见西行渐逺渐后见故东西人见日月食迟速先后各异是知东西必圆体也
　　第二题
　　地在大圜天之最中
　　何以征之人任于所在见天星半恒在上半恒在下故知地在最中也
　　如上图丙为地东见甲西见乙甲乙以上恒为天星之半知丙在中也若云非中当在丁则东望戊西望己当见天之小半而
　　不见者大半
　　第三题
　　地之体恒不动
　　一不去本所二亦不旋转云不去本所者去即不在天之最中也云在本所又不旋转者若旋转人当觉之且不转则已转须一日一周其行至速一切云行鸟飞顺行则迟逆行则速人或从地掷物空中复归于地不宜在其初所今皆不然足明地之不转
　　第四题
　　地球在天中止于一防
　　何以徴之人在地面不论所在仰视填星歳星荧惑彼此所见恒是同度故知地体较于天体则为极小若地大者两人相去絶逺其视三星彼此所见不宜同躔如上图丙己戊乙为天甲为地丁为星地体若大能为天分数者则人在庚宜见丁在己度人在辛宜见丁在戊度今不然者