新法算书

　　假如半径为千万表中诸线中不至差千万分之一分自一以内或半或大或少不能无差而微乎微矣故作表中半径必用极大之数最少者一万以上或至百万千万或至万万可也【七位即千万八位即万万】
　　定半径之全数即可求一象限内各弧各度分之半以此半可求得其切线割线
　　凡半径用数少即差多【如用千则差千之一用万则差万之一】用极大之数即难推【如用万万以上数极繁矣】今定为防何则可曰凡半径之数其中之小分与半弧度分之小分大约相等而上之即是中数
　　假如欲测有分之弧问半径应定防何分曰一象限九十度毎度六十分则一象限五千四百分又古率圆与径之比例大畧为二十二与七则象限弧与半径之比例若十一与七
　　如上图周二十二四分之则一象限为五又半径七二分之则三又半此二比例有畸零之数故各倍之为十一与七也
　　今用同比例法【即三率法】以象限十一为第一数以半径七为第二数以象限五千四百分为第三数而求得第四数为三千四百三十六故半径分为三千四百三十六则半径之各分略象等于一象限之各分五千四百也故用大数最少一万为与五千相近用此乃可推有分之弧也
　　欲推弧分之秒亦用此法其象限为三十
　　二万四千秒依三率法十一与七若三十二万四千与二十○万六千一百八十二其半径细分与象限之分秒相等而上之必用百万

　　表原篇第三
　　表原者作表之原本也测圆无法必以直线直线与圆相准不差又极易见者独有六边一率而已古云径一围三是也然此六弧之非六弧之本数自此以外虽分至百千万亿皆耳故测弧必以愈细数愈宻其法仍由六边之一准率始自此又推得五率此六率皆相准不差但后五率其理难见推求乃得是名为六宗率其法先定半径为若干数【今用一千万】则作圏内六种多边形【俱见防何第四卷】推此六形各等边之数得此六数即为六通各当其本弧因以为作表原本
　　宗率一　圏内六边等切形求边数
　　防何原本四卷十五题言六边等形在圏内者其各边俱与半径等半径既定为千万即边亦千万凡边皆也圏分三百六十度此各相当之弧各六十度各与千万相当矣相当者千万即六十度弧之也如上乙丙圏内有六边等形其半径甲乙既定为千万即乙丙为六边形之一边亦千万而相当之乙丙弧六十度
　　宗率二　内切圏直角方形求边数
　　防何四卷第六言一线在圏内对一象限为方形边其上方形等于两半径上方形并【防何一卷四七】此句股法也故用两半径之实并而开方而得本形边
　　如上乙丙圏内方形甲乙为半径句股法甲乙甲丙上两方并与乙丙上方等即以之开方而得乙丙边今两半径上方形并
　　为二○○○○○○○○○○○○○○【此数为二百万万万旁作防者万也末○为单数】以开方得其边一千四百一十四万二千一百九十六此为乙丙弧之也乙丙弧为四分圏之一九十度则乙丙数为乙丙九十度弧相当之数
　　宗率三　圏内三边等切形求边数
　　防何十三卷十二题言三边等形内切圏其各边上方形三倍于半径上方形【丁乙方与丙丁丙乙两方等而四倍于　　　丙丁形则丙乙为丁乙四之三而三倍于丙丁】如上乙丙圏甲乙为半径乙丙上方三倍大于甲乙上方即三因半径上方为三○○○○○○○○○○○○○○【此数为二百万】
　　【万万有奇】开方得一千七百三十二万○五○八弱
　　宗率四圏内十边等切形求边数
　　防何十三卷九题言以比例分半径为自分连比例线其大分则十边等形之一边
　　如上图甲乙半径与戊己等
　　用自分连比例法【防何六卷三十
　　称理分中末线】分为大小分其大
　　为丁己与十边形之乙丙边等盖戊己线与己癸等己癸线既两平分于庚则戊己己庚线上两方并与庚戊上方等【防何一卷四十七】今以庚戊上方开得庚戊线为一千一百一十八万○四百三十○次减去己庚五百万余六百一十八万○四百三十○即丁己线亦即乙丙而乙丙弧为全圏十分之一得三十六度是乙丙为三十六度弧之也
　　宗率五　圏内五边等切形求边数
　　防何十三卷第十题言圏内五边等切形其一边上方形与六边等形十边等形之各一边上方形并等如上圏内甲乙戊为五边等形甲丙己为六边等形甲丁乙为十边等形题言甲丁甲丙上两方并与甲乙上
　　方等者前言甲丙半径为万万甲丁
　　线为六百一十八万○四百三十○
　　各自之并得数开方得甲乙线为一
　　千一百七十五万五千七百○四弱
　　其弧五分全圏得七十二即甲乙为七十二度弧之度
　　宗率六　圏内十五边等切形求边数
　　防何四卷十六题言圏内从一防作一三边等形又作一五边等形同以此防为其一角从此角求两形相近之第一差弧即十五边形之一边
　　如上图从甲防作甲乙丙三边形甲丁戊五边形求得两形相近之第一差为乙戊即十五边等形之一边乃丁乙全差之半其
　　数先有三边形之乙丙一百二十度之为一千七百三十二万○五百○八弱又有五边形之戊子七十二度之为一千一百七十五万五千七百○四弱则乙庚六十度之正为乙丙之半得八百六十六万○二百五十四弱戊辛三十六度之正为戊子之半得五百八十七万七千八百五十二两相减余为乙癸得二百七十八万二千四百○二夫乙己半径上方减壬乙六十度之正乙庚上方余己庚依开方法为五百万己子半径上方与己辛三十六度之正辛子上两方并等依前法亦得己辛八百○九万○一百七十○己辛己庚两相减余为庚辛得三百○九万○一百七十○庚辛即戊癸也既得乙癸二百七十八万二千四百○二今得戊癸三百○九万○一百七十○用句股术求得乙戊为四百一十五万八千二百三十四为十五边等形之一边其乙戊弧为全圏十五分之一得二十四则乙戊为二十四度弧之相当
　　六题总表
　　边　　　　弧度　　　　数
　　三　　　　一百二十　　一七三二○五○八
　　四　　　　九十　　　　一四一四二一九六
　　五　　　　七十二　　　一一七五五七○四
　　六　　　　六十
　　十　　　　三十六　　　　六一八○三四○
　　十五　　　二十四　　　　四一五八二三四既得全数今推半弧【即半角】半
　　弧度　　　　半
　　六十　　　　八六六○二五四
　　四十五　　　七○七一○九八
　　三十六　　　五八七七八五二
　　三十　　　　五○○○○○○
　　十八　　　　三○九○一七○
　　十二　　　　二○七九一一七

　　新法算书卷九
　　钦定四库全书
　　新法算书卷十　　　　　明　徐光启等　撰大测卷二
　　表法篇第四
　　既得前六宗率更用三要法作表
　　要法一　前后两其能等于半径【图説系法俱见本篇总论第十二条】要法二　有各弧之前后两求倍本弧之正如上甲戊弧三十五度其正为戊己得五七三五七六四其余即乙己得八一九一五二○今以此二求倍甲戊而为甲丁弧之正其法以乙戊半径千万为第一率以戊己正为第二率以乙壬余为第三率即得壬庚第
　　四率与辛癸等为四六九八四六二倍之得丁癸为九三九六九二四其弧甲丁七十度
　　论曰乙戊己与乙壬甲两三角形比例等则乙己与乙壬等而戊己与甲壬亦等乙己与乙壬等故乙壬为余也而乙壬庚乙戊己两形之比例等故第四率为壬庚壬庚与辛癸同为直角形之邉故等又丁壬戊戊壬甲同为直角则甲戊戊丁两弧等甲壬壬丁两亦等而丁辛与壬庚亦等故倍辛癸得丁癸也又丁辛壬壬庚甲两形之三邉俱等依句股法得甲庚邉倍之为甲癸以减半径得癸乙为余
　　要法三各弧之全上方与其正半上偕其矢上两方幷等
　　句股术也
　　如上甲丁弧之正为丁辛其矢为甲辛此两线上方幷与甲丁上方等
　　系法有一弧之正及其余而求其半弧之正弦如上甲丁弧其正为丁辛余为乙辛而求甲戊弧之甲己半其法于甲乙半径减乙辛余得甲辛矢其上方偕丁辛半上方并与甲丁通上方等开方得甲丁线半之
　　得甲己为甲戊弧之正其数如上甲丁弧三十度其半丁辛为五○○○○○○乙辛余为八六六○二五四以减全半径得甲辛矢一三三九七四六丁辛上方为二五○○○○○○○○○○○○甲辛上方为一七九四九一九三四四五一六并之得二六七九四九一九三四四五一六开方得甲丁线五一七六三六○即甲丁弧三十度之也半之为甲己半得二五八八一九○其弧十五度
　　用前三要法即大测表大畧可作又有简法二题其用甚便但非恒有
　　简法一　两正之较与六十度左右距等弧之正等【见本卷第二篇】
　　解曰甲乙丙象限内有丙己小弧丙己戊丁大弧丙戊弧为六十度而戊己戊丁两弧等其前两正一为己辛一为丁庚其
　　较丁癸题言丁癸较与己壬壬丁两正各等论曰试作一己子线则丁己子成三邉等角形何也此形中有子丁壬壬己子两三角形此两角形等又何也子壬同腰而丁壬壬己两腰等则丁壬己壬两直角亦等而丁子子己
　　两底亦等子丁己子己丁两角亦等又丙戊弧既六十度其余戊乙弧必三十度而乙甲戊角为三十度角甲乙庚丁既平行甲戊线截二线于子即内外角等而丁子戊角亦三十度戊子己角亦三十度是丁子己为六十度角也丁与全己全子三角既等两直角【一之三十二】则共为一百八十度于中减全子角六十度则丁己两全角百二十度而此两角既等即各得六十度则此形之三角三边俱等夫丁己己子两线等则己癸垂线所分之丁癸子癸两直角亦等而己癸同腰则丁癸与癸子必等丁癸为丁子之半丁壬为丁己之半全线等则所分必等是丁癸与丁壬等与壬己亦等
　　系题两弧各有其正半两半至弧之防在六十度之左右而距度防等则前两正半之较即后两半如图丙己戊弧六十度丙己弧五十度己戊弧十度丙己之正半己辛先得七千六百六十丙丁弧七十度丁戊弧亦十度丙丁弧之正半为丁庚先得九千三百九十六今求丁戊弧之半其法以己辛丁庚两半相减得丁癸较一千七百三十六即丁戊弧十度之丁壬半【此数半径设一万】
　　次系有六十度左右相离弧之正一率又有其原正一率而求其相对之彼正其法有二一以大求小一以小求大以大求小者用大弧之正与相离弧之正相减其较为小弧之正【余则称余倒则称倒】以小求大者用相离弧之半加小弧之半即大弧之半如上丁壬离弧之正即己壬与丁癸较等为一千七百三十六丁庚大为九千三百九十六相减得癸庚七千六六○即
　　己丙弧之己辛小反之丁癸较为一千七百三十六【即丁壬离】以加于癸庚【即辛己小】七千六百六十得丁庚大九千三百九十六
　　用此法于象限内先得半六十率用加减法即得其余三十率
　　简法二　有两弧不等之各正又有其各余而求两弧相加相减弧之各正其法有二一相加一相减相加者以前弧之正乘后弧之余弦以后弧之正乘前弧之余各得数并之为实以半径为法而一得两弧相加为总弧之正相减者亦如前法互乘得各
　　数相减余为实以半径为法而一为
　　两弧相减弧之正
　　如上甲乙前弧二十度乙丙后弧十
　　五度总三十五度其差五度甲乙弧之半为三四二○二○一其余弧甲丁之半为九三九六九二六乙丙弧之半为二五八八一九○其余弧乙丁之半为九六五九二五八以甲乙半与丙丁余之半乘得三三○三六六○三八七○八五八以乙丙半与甲丁余乘得二四三三二一○二九九○五七四○以相加得五七三五七六三【以下满半收为一不满去之】三七七六五九八以半径为法而一得五七三五七六三即三十五度弧之半若以相减则余八七一五五七三九六五一一八以半径为法而一得八七一五五七即○五度弧之半此题多罗某所用全故説中云半而图与数皆全然全与全半与半比例等则亦未有异也
　　有前六宗率为资有后三要法为具【资为材料具如器械】即可作大测全表
　　如用前法求得十二度弧之正半率而求其相通之他率
　　弧　　　度　分　　　　用法得半数
　　正弧　　一二　　　　　　　　二○七九一一七
　　【半之】　　○六　　　　　　　　一○四五二八五
　　【又半之】　○三　　　　　　　　　五二三三六○
　　【又半之】　○一三○　　　　　　　二六一七六九
　　【又半之】　○○四五　　　　　　　一三○八九六其余弧　八四　　【六度之余】第一九九四五二一九八七　　【三度之余】　　九九八六二九五八八三○【一度半之余】　　九九九六五七三八九一五【○度四十五分之余】　　九九九九一四三
　　弧　　度　分　　　　　用法得正数
　　【半其余八十四度】四二　　　　　　　　六六九一三○六
　　【半之】　　二一　　　　　　　　三五八三六七九
　　【又半之】　十○三○　　　　　　一八二二三五五
　　【又半之】　○五一五　　　　　　　九一五○一六
　　【半其余八十七度】四三三○　　　　　　六八八三五四六
　　【又半之】　二一四五　　　　　　三七○五五七四
　　【半其余八八三○】四十四　十五　　　　六九七七九○五又用前七率之余弧而求其正
　　四八　　【四十二之余】第一七四三一四四八六九　　【二十一之余】　　九三三五八○四七九三○【十度半之余】　　九八二二五四九八四四五【五度十五分之余】　　九九五八○四九四六三○【四十三度半之余】　　七二五三七四四六八一五【二十一四十五分余】　　九二八八○九六四五四五【四十四十五分之余】　　七一六三○一九