数学九章

　　法设骑路之阔当二十人先以总三角数与前方阵数相减得今多八千人乃倍骑路阔人数得四十人为截骑路上小三角之阔求得小三角数八百二十以减今多数余七千一百八十为寔以四十为法除之得一百七十九人为内鋭阔余二十人依术内不尽者为补队兵次置总阔减去内阔余一百九十六人再减并骑阔四十人余一百五十六人半之得七十八人为外后阔是内鋭阔长皆为一百七十九人外鋭长为三百七十五人后两阔共一百五十六人骑路阔二十人乃以内鋭阔求得内三角数一万六千一百一十人以内阔并两骑阔得二百一十九人为阔求得内外间三角数二万四千零九十人未置总三角数内减去内外间三角数余四万六千四百一十人加内三角数得六万二千五百二十人再减补队兵二十人得六万二千五百人与方阵总兵原数脗合

<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷八上>

　　圆营敷布
　　问周制一军欲布圆营九重毎卒立圆邉六尺重间相去比立尺数倍之于内摘差兵四分之一出竒不可缩营示弱须令仍用原营布满余兵欲知原营内外周及立人数并出竒后每卒数立尺数外周人数各几何
　　答曰周制一军一万二千五百人出竒三千一百二十五人　原内周八百四丈立一千三百四十人原外周八百六十一丈六尺立一千四百三十六人　出竒后原外周立一千八十九人原内周立一千一十六人内外周人立七尺九寸一分
　　术曰以啇功求之置重数减一余为叚以叚乗圆差为衰以衰乗重数为率求圆周以率减兵余如重数而一得内周人数不满为余兵以人立圆邉乗内周人得内周尺倍衰乗圆邉为泛以泛并内周尺得外周尺为实如圆邉而一得外周人求出竒后以率加存兵如重数而一得外周人不满为余兵以外周人约原外周尺得后立尺以后立尺约原内周得内周人

　　按求圆阵草中用圆束法圆束实六等邉形非图形也盖圆形重数相距等则弧邉上相距不等弧邉上相距等则重数相距不等惟圆束可并取相等故用其法至次阵减人数不减营周尺数则各重周上相距不能相等故草中又以尺数求内周人数然未免与圆束逐层相差数不合亦仅取其大畧也又旧用二图各防为圆周九重今用一图防为六等邉形三重惟取易见则二图九重其理一也
　　草曰置九重减一余八为叚以乗圆束差六得四十八为衰【按圆束每层差不今内外重数相距倍于人立相距则每层差一十二为倍差常法重数减一与半差相乗为衰今倍差故即与差数相乗为衰也】九重得四百三十二为率

　　求原周以率四百三十二减周制一军一万二千五百余一万二千六十八为实如重数九而一得一千三百四十人为内周人数不满八人为余兵

　　次以人立圆邉六尺乗内周人一千三百四十得八千四十尺收作八百四丈为内周尺数

　　倍衰四十八得九十六乗圆邉六尺得五百七十六尺为泛

　　以泛五百七十六尺并内周八千四十尺得八千六百一十六尺为外周尺

　　以外周尺八千六百一十六为实如圆邉六尺而一得一千四百三十六人为外周人数

　　求出竒后以竒母四约一万二千五百得三千一百二十五为竒兵以减总军余九千三百七十五为存兵次以率四百三十二加之得九千八百七十为实加重数九而一得一千八十九为外周人不尽六

　　次以原外周八千六百一十六尺为实以外周人一千八十九约之得七尺九寸一分不尽二尺一分与法求等得三俱约之为分下三百六十三分之六十七

　　置原内周八千四十尺为实以后立尺七尺九寸一分约之得一千一十六为内周人数不尽三尺四寸四分为寛地

　　本术所求内外周之人数既定不拘竒出竒入皆以六人为重差或累差加减各得诸重围数或并九重人课总军存兵
　　计布圆阵
　　问歩率二千六百人为图阵人立圆九尺形如车辐无丽布阵阵重间倍人立圆邉尺数须合内径七十二丈圆法用周三径一之率欲知阵重几数及内外周通径并所立人数各几何
　　答曰内周二百一十六丈立二百四十人　外周三百二丈四尺立三百三十六人　通径一百丈八尺阵计九重【不尽八人】
　　术曰以啇功求之以圆率因内径为内周以人立尺约之为内周人数乃以圆求差率为隅次置内周人减隅余约从方列兵数为寛开平方得重数不尽为余兵置重数减一余四因又乗圆邉尺数并内径共为通径以圆率因通径得外周
　　按旧本有图前题同今删去

　　草曰以圆率三因内径七十二丈得二千一百六十尺为内周以圆邉九尺约内周得二百四十为内周人数乃以圆束差六为从隅次置内周二百四十人减隅余二百三十四为从方列兵二千六百为寔开平方歩法从方进一位隅法超一位今方隅皆不可超进乃于寔约啇置九重以啇生隅六得五十四増入从方内共得二百八十八乃命上啇九重除寔讫寔余八人为余兵副置九重减一余八以四因之【按九重八间径両端应二因之间倍于立歩又应二因之今合为四因】得三十二又乗图邉九尺得二百八十八尺并内径七百二十尺得一千八尺为通径又以圆率三因通径得三千二十四尺为外周次以圆邉九尺为法除外周尺数得三百三十六人为外周人数合问
　　按圆束环积有内周求重数法置积为寔圆束差半之为从隅又以半差减内周余为从方开平方得重数此圆束环积每层为倍差故即以圆束差为从隅减内周为从方也又按周三径一正与六邉形相合故人数尺俱无竒零也

　　数学九章卷八上
　　钦定四库全书
　　数学九章卷八下　　　　宋　秦九韶　撰军旅
　　军器功程
　　问今欲造弓刀各一万副箭一百万只据工程七人九日造弓八张八人六日造刀五副三人二日造箭一百五十只作院见管弓作二百人刀作五百四十人箭作二百七十六人欲知毕日防何
　　答曰造弓一万张三百九十三日四分日之三造刀一万副一百七十七日九分日之七造箭一百万只一百四十四日二百七分日之一百八十二【按六十九分之六十四讹二百七分之一百八十二】
　　术曰以粟米求之互换入之置各功程原人率于右行置原日数于中行置欲求数为左行以三行对之为各实列右行置原物数于中行置见人为左行以左行乘中行各为法以对除右行各得日数草曰置原造弓七人造刀八人造箭三人于右行次置造弓九日造刀六日造箭二日列中行又置于造弓一万欲造刀一万欲造箭一百万列左行以三行对乗

　　次列原造弓八张刀五副箭一百五十只放中又列见管弓作二百人刀作五百四十人箭作二百七十六人于左行

　　以两行对乗之上得一千六百中得二千七百下得四万一千四百各为法

　　先以上法一千六百除寄右行弓日实六十三万日得三百九十三日为造弓一万张日数

　　不尽一千二百与法求等得四百俱约之为四分日之三

　　次以中得二千七百除寄右行刀日实四十八万日得一百七十七日为造刀一万副日数

　　不尽二千一百与法求等得三百俱约之为九分日之七

　　次以下法四万　　百除寄右行箭日实六百万日得一百四十四日为造箭一百万只日数

　　不尽三万六千四百日与法四万一千四百求等得二百俱以约之得二百七分日之一百八十二为造箭日分合问【按不尽数三万八千四百误为三万六千四百分母六十九讹二百零七分子六十四讹一百八十二】

　　计造军衣
　　问库有布绵絮三色计料欲制军衣其布六人八疋少一百六十疋七人九疋剰五百六十疋其绵八人一百五两剰一万六千五百两九人一百七十两剰一万四千四百两其絮四人一十三斤少六千八百四斤五人一十四斤适足欲知军士及布绵絮各几何答曰兵士一万五千一百二十人　布二万疋绵三十万两　絮四万二十三百二十六斤

　　术曰以盈拙求之置人数于左右之中置所给物各于其上置盈拙各于其下令维乘之先以人数互数乘其所给率相减余为法次以人数相乘为寄后以盈拙互乘其上未减者是谓未乘騐其下系一盈一拙以上下皆并之为物其上并之实其下并之乘寄为兵寔如法而一各得騐其系两盈或两拙者以上下皆相减之其上减之余为物寔其下减之余乘寄为兵寔二寔皆如法而一各得騐其或一盈一足或一拙一足者其适足乃以空互乘其上未减者去之只以所用盈拙数互乘其上为物寔以盈或拙一数乘寄为兵寔皆如法而一各得
　　求布草曰置布于六人左中八疋于左朏上一百六十四疋于左下置七人于右中九疋于右上盈百五六十于布下先以左右之中六七互乘左右之上讫左上得五十五右上得五十四以相减之余二为法次以左右中六七相乘得四十二为寄于中次以左下亏一百六十乘右上未减五十四得八十六百四十又以右下盈五百六十乘左上未减五十六得三万一千三百六十验得左右之下系一盈一朏当并之以三万一千三百六十并右上八千六百四十得四万为布实次以左下朏一百六十并左下盈五百六十得七百二十乗寄四十二得三万二百四十为兵实二实皆如法二而一得二万疋为布得一万五千一百二十为兵
　　求布图

<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷八下>
　　求绵草曰置八人于左中绵一百五十两于左上余一万六千五百两于左下次置九人于右中一百七十两于右上余一万四千四百两于右下以左右中八九五乘各上讫左上得一千三百五十右上得一千三百六十相减余一十为法次以中八九相乘得七万二为寄于中次以左下一万六千五百乘右上一千三百六万得二千二百四十四万却以右下一万四千四百乘左上一千三百五十得一千九百四十四万验其下系两盈当相减之其右上余三百万为绵实其左右之下亦相减之余二千一百乘寄七十二得二十五万一千二百为兵实二实皆如法一十而一绵得三十万两兵得一万五千一百二十人
　　求绵图

<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷八下>

　　求絮草曰置四人于左中一十三觔于左上少六千八百四觔于左下又置五人于右中一十四觔于右上适足为空于右下以左右之中四五互乘其上讫左上得六十五右上得五□六利减余九为法以中四五相乘得二十为寄于中先以左下六千八百四互乘右上五十六得三十八万一千四百二十却以右适足之空乘左上六十五亦为空乃去之只以右上三十八万一千二十四觔为絮实只以左下六千八百四乘寄二千人得一十三万六千八十为兵实二实皆如法九而一具絮得四万二千三百三十六觔其兵得一万五千一百二十人合问
　　求絮图
<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷八下>
　　已上布绵絮三项求人兵数皆同今仍于各图立算求之以合本术
　　先计军程
　　问一军三将三十队队七十五人每将分左右傔作九行爬头拽行每日六十里明日路狭以军拽行至晚欲知先宿程里数几何
　　答曰六里二百四十歩
　　术曰以均输求之置行数为法以单数一行乘日程为寔寔如法两一得宿程里歩
　　草曰置行数九为法以单傔数一行用乘六十里为寔寔如法而一得六十不尽六里以里法三百六十歩通之得二千一百六十歩又为寔仍如法九而一得二百四十歩为六里二百四十歩宿程
　　按此草易见旧有算式今删
　　移运均劳【分郡县郷科均】
　　问今起夫移运县饷于某郡交纳合起一万二千夫甲州有三县上县力五十七万三千二百五十九贯五百文至输所九百二十五里中县力五十万四千九百八十三贯七百八十文至输所六百五十二里下县力四十九万八千七百六十贯九百五十文至输所四百六十五里乙军倚郭一县五郷仁郷力一百二万八千三百七十一贯九百八十文至输所七百
　　六里义乡力一　　　　　　　　　　　六百文至输所七百九十五里礼郷力一十万八千四百六十三贯五十文至输所七百九十里智乡力八万四千千二百三十六贯二百八十五文至输所七百十九里信乡力九千三百四十五贯一百六十六文至输所八百四里欲知以物力多寡道里逺近均运之令费劳等各合科夫几何
　　答曰甲州上县差二千四百三十夫中县差三千三十七夫下县差四千二百六夫　乙军郭县仁乡七百一十三夫义乡五百八十九夫
　　礼乡五百三十八夫智乡四百四十一夫信郷四十六夫
　　术曰以均输求之置各县及乡力皆如里而一不尽者约之复通分内子互乘之或就母迁退之各得变力可约约之为定力副并为法以合起夫徧乘未并定力各得为实并如前法而一各得夫其余分軰之草曰置甲州三县及乙军五乡物力里数作八行列之具图于后

<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷八下>

　　置上县力五十七万三千二百五十九贯五百文如九百二十五里而一得力六十一万九千七百四十置中县五十万四千九百八十三贯七百八十文如六百五十二里而一得力七十七万四千五百一十五置下县四十九万八千七百六十贯九百五十如四百六十五里而一得力一百七万二千六百四不尽九十文与法求等得十五约之得三十一分之六置仁郷一十二万八千三百七十一贯九百八十如七百里而一得力一十八万一千八百三十置义乡乡一十一万九千四百七十二贯六百文如七百九十五里而一得力一十五万二百八十置礼乡一十万八千四百六十三贯五十文如七百九十而一得力一十三万七千二百九十五置智乡八万四千二百三十六贯二百八十五文如七百四十九里而一得力一十一万二千六百四十五置信乡九千三百四十五贯一百六十文如八百四里而一得力一万一千二百六十三不尽二百六十八文与法求等得二百六十八约为三分之一其下县信乡二处带母子者各以母互徧乘八处所得毕二处各内本子上得五千七百六十三万五千八百二十中得七千二百二万九千八百九十五下得九千九百七十五万二千一百九十仁得一千六百九十一万一百九十义得一千三百九十七万六千四十礼得一千二百七十六万八千四百三十五智得一千四十五万九千二百四十五信得一百八万九百七十已上为三郷五县变力率可约者复求等约之求得五故俱以五约之上得一千一百五十二万七千一百六十四中得一千一百四十万五千九百七十九下得一千九百九十五万四百三十八仁得三十八万二千五十八【按三十八讹五十八】义得二百七十九万五千二百八礼得二百五十五万三千六百七十八智得二百九万一千八百四十九信得二十一万六千一百九十四已上并为定力副并八处定力得五千六百九十二万二千五百七十七为法【按法多二十仁乡定力多二十故也】以合起一万二千夫遍乘定力讫上得一千三百八十三亿二千五百九十六万八千为实中得一千七百二十八亿七千一百四十七万八千为中实下得二千三百九十四亿五百二十五万六千为下实【按】得四百五亿八千四百六十九万六千【按多二十四万定力多二十故也】为仁实义得三百三十五亿四千二百四十九万六千为义寔礼得三百六亿四千四百二十万万四千为礼寔智得三百五十一亿二百一十八万八千为智寔信得二十五亿九千四百三十二万八千为信寔已上八寔皆如前法而一余分軰之各得夫数合