数学

　　然授时原有消长之法是其新意其法自辛巳元顺推至一百年则嵗实当消一分【依法推至洪武十四年辛巳满一百年其歳实消一分为三百六十五日二十四刻二十四分】若自辛巳元逆推至一百年则嵗实当长一分【依法推至宋孝宗淳熙八年辛丑满一百年嵗实长一分为三百六十五日二十四刻二十六分】毎相距增一百年则嵗实消长各增一分以是为上考下求之凖大统诸法悉遵授时独不用消长之法上考下求总定为三百六十五日二十四刻二十五分此其异也
　　永按冬至相距之嵗实大于平率最高冲有行度而小轮均数又有大小宜其嵗实有消长分数然必当时测定之嵗实已真确又知其无可复加而后知将来之渐消若授时嵗余刻下之二十五分尚非确数其差分已见端于丁丑辛巳四年之间则辛巳以后能必其果消乎郭太史厯考正者七事创法者五事皆不数嵗实消长葢未能真知所以消长之故但暗用杨忠辅统天厯为活法以推往古意谓下考将来亦如是耳明大统厯悉遵授时独不用消长之法当时厯官元统非有确见实测知其不当用消分也以今观之犹幸大统不用消分冬至纵有先天尚未甚逺倘遽改二十五分为二十四分其先天不愈多乎【当至元时刻下小余约有三十分授时一嵗少五分百年约先天五刻】
　　嵗实即一年之日数自一年以至千百年共积若干是为积日亦谓之中积【上考下求皆距至元辛巳立算】假如今康熙庚午嵗相距四百零九算依授时法推得积日一十四万九千三百八十四日零一刻八十九分【因距算四百以上嵗实当消四分为三百六十五日二十四刻二十一公以乘距算四百零九得如上数】大统不用消长则积日为一十四万九千三百八十四日一十八刻二十五分两法相差一十六刻三十六分【以命冬至日辰授时得癸夘日丑初三刻大统得癸夘日夘初三刻】
　　永按凡天行盈缩进退必以渐无骤増骤减之理郭氏百年消长一分则是百年之内皆无所差至一百零一年骤増减一分又越百年皆平差一分至二百零一年又骤増一分岂有此数与法乎即如其法算数百年后亦当逐节计其消分积而数之不当总计当消之分而以距算总乘之也如大统厯康熙庚午冬至癸夘日夘初三刻查时宪书乃是巳初一刻【大统先天一十四刻】授时大统用消分均之无当于天行其故何哉当年所测嵗实刻下小余其数不真故也嵗实已弱矣而又消之安得不先天乎使当改二十五分为三十分由辛巳以后渐而消之或庶几耳曰至元嵗余若果二十四刻三十分则上考当长乎消乎曰上考亦消也葢至元时高冲与冬至同度小轮均数又最大故冬至嵗实为长极之时而上考下考皆当消但消于三十分之内非消于二十五分之内也【今时高冲在冬至后七八度小轮又渐小冬至嵗余以万分日计之约二十四刻二十八九分之间刘宋大明时高冲在冬至前半宫以祖冲之纪法除其嵗周当时嵗实三百六十五日二十四刻二十八分一十四秒可见至元前后皆消于三十分之内其消甚迟约四百余年始消一分葢小轮均数在初宫有若平差故也至一宫以外则渐疾矣】若以春分平嵗实相较则冬至嵗实上下数千年皆在长限之中而至元时尤为长之极必俟高冲行至春分则冬至嵗实始平【如今之春分】又数千年高冲行至夏至最高行至冬至则冬至嵗实始为消之极耳【如今之夏至】然冬至嵗实消则春分嵗实长冬至嵗实消之极则夏至嵗实又为长之极矣抑今日本轮差小古时差大则消长中复有消长苟知此理则后之治厯者但随时测高冲之行与小轮之差以算定气而嵗实消长俱可勿论犹之太阴但实算定朔定望定不必复计此月与彼月多于朔防几何少于朔防几何也
　　又曰【厯学疑问】问嵗实既有一定之数授时何以有消长之法曰此非授时新法而宋统天之法然亦非统天亿创之法而合古今累代之法而为之者也
　　永按统天厯宋宁宗时杨忠辅所造其嵗实与授时正同以斗分乘距差为躔差暗藏加减之法约百年加减一分零六秒弱然行之未久鲍澣之造开禧厯臧元震造成天厯皆増嵗实改各率纷纷竟无定论云
　　葢古厯周天三百六十五度四分度之一一嵗之日亦如之故四年而増一日其后渐觉后天皆以为斗分太强因稍损之
　　永按古厯四年而増一日其术甚疎虽古斗分宜多亦百数十年即当后天一日何以自周迄汉久而后觉曰周之厯却失之先天僖公五年辛亥日南至昭公二十年己丑日南至皆先天二三日厯数百年以有余之嵗实盈其所先之数乃适得其平【约在周秦间】厥后犹执四分之术渐失之后天故久而后觉耳
　　自汉而晋而唐而宋毎次改厯必有所减以合当时实测之数故用前代之厯以顺推后代必至后天以斗分强也【斗分即嵗余】若用后代之厯据近测以逆溯往代亦必后天以斗分弱也
　　永按汉已前之冬至非实测先后天或至二三日后汉末刘洪始觉其后天而改斗分东晋虞喜始立嵗差法后秦姜岌始知以月蚀冲检日宿度所在而刘宋之初冬至犹后天三日大明时祖冲之始解于测景以冬至前后二十余日之景比对取中而定冬至然后冬至日躔渐得其实犹不能尽合也故唐一行谓麟德厯已前实録所记乃依时厯书之非景所得郭太史谓自大明厯以来测景验气得冬至时刻真数者有六然则实测之能合天者亦鲜矣
　　统天厯见其然故为之法以通之于嵗实平行之中加一古多今少之率则于前代诸厯不相乖戾而又不违于今之实测此其用法之巧也然统天厯藏其数于法之中而未尝明言消长授时则明言之今遂以为授时之法耳郭太史自述创法五端初未及此也
　　永按授时厯实暗用统天之法者也其嵗余二十四刻二十五分与统天同而上推百年长一之法亦相似故授时厯议谓自鲁献公戊寅至至元辛巳冬至日名共四十九事授时法合者三十九不合者十统天不合者惟献公戊寅与授时异余三十八与授时同二厯推冬至畧相似也然而刘宋大明壬寅嵗前冬至乙酉夜半后三十二刻七十分则当时祖冲之测景推算所得者纵有未确亦不甚逺【当时所算约后天十六刻详见冬至权度】依授时统天法皆推甲申日戌初初刻先天甚多岂可谓大明非而授时统天是欤郭氏谓自大明以来测景验气得冬至时刻真数者有六用以相距既以大明壬寅之冬至为得真数之首矣及用法推算即失此至乃谓日度失常其可乎以今观之一由授时所定嵗余本未真一由长数当渐积不当总计长分而以八百一十九距算总乘之也【统天距差乘差躔差咸泛积失亦畧同】
　　然则大统厯何以不用消长曰此则元统之失也当时李德芳固已上疏争之矣然在洪武时去授时立法不过百年所减不过一分积之不过一刻故虽不用消长无甚差殊也崇祯厯书谓元统得之测验窃不谓然何也元统与德芳辨但言未变旧法不言测验有差又其所着通轨虽便初学殊昧根宗间有更张辄违经防【如月食时差既内分等俱妄改背理】岂能于冬至加时先后一刻之间而测得真数乎
　　永按明初李德芳与元统争嵗实消长为厯家一段公案闗系有明二百余年之厯法邢士登恨元统不用消分致万厯间节气后天九刻有竒愚有以断之据授时嵗实上考固宜有长分矣然而授时之嵗余本未确则所据以为长之端者亦未真既言毎百年长一分则当以渐而长乃总计长分以乘距算则又无此算法观其推至大明壬寅巳违当时之实测又何论春秋以前乎德芳所据者谓鲁献公十五年戊寅天正甲寅冬至依授时法推得甲寅日夜子初三刻依大统法推得己未日午正三刻【己未史误作丁巳】相差四日六时五刻当用至元辛巳为元及消长之法方合天道夫鲁献公之年史有舛错本难凭信汉志谓献公十五年甲寅冬至此自刘歆三统厯逆推当年冬至是甲寅耳岂有实测纪之信史哉而德芳以此驳元统其无卓识可知矣然元统之不用消长也初无实据但云上考下推不用消长以合天道又云天道无端惟数可以推其机天道至妙因数可以明其理理因数显数从理出故理数可相倚而不可相违夫既未尝实测而凭虚以言天道言理数宜其不能服德芳也今日厯学大明由后观之前此二百余年犹幸元统不用消分冬至加时先天尚未甚逺葢授时嵗余一嵗约少五分自至元辛巳至洪武甲子一百零三年固已先天五刻矣使大统减一分又越百年二百年而更减之先天不愈多乎邢士登谓万厯间大统厯后天九刻此非有所测验但据用消分与不用消分积算如此岂知明厯皆失之先天乎观前所举康熙庚午年时宪书癸夘日巳初一刻冬至依大统算夘初三刻先天一十四刻若依授时算丑初三刻则先天三十刻自辛酉溯戊辰五十余年约减二三刻则戊辰以前大统厯率先天十一二刻若用授时法先天遂至二十七八刻矣此岂可厚非大统乎
　　然则消长必不可废乎曰上古则不可知矣若春秋之日南至固可考据而唐宋诸家之实测有据者史册亦具存也今以消长之法求之其数皆合若以大统法求之则皆后天而于春秋且差三日矣安可废乎
　　永按春秋时厯法最疎置闰或疏或密日食或不在朔则步冬至违天可知僖公五年丙寅正月辛亥朔日南至以今法推此年平冬至乙夘日巳时定冬至在甲寅即令此时小轮均数大能使定气移前一日半亦不过癸丑日之夜刻辛亥实先天二三日且定朔壬子亦非辛亥也昭公二十年己夘二月己丑日南至以今法推此年平冬至壬辰定冬至辛夘当时推己丑亦先天二日且己丑为此年正月朔安得为二月也授时推僖五年冬至以嵗余长十九分乘距算一千九百三十五加于中积得辛亥日寅初二刻是以总长分数乘距算而非积渐而长亦因有辛亥日南至之文强为此算以求合不知辛亥非实测也【唐一行谓僖公登观台以望而书云物出于表晷天验非时史亿度愚谓传言书云未尝言测景】其推昭二十年冬至以十八乘距算一千八百零二则不得己丑而得戊子日戌初三刻其先天愈甚矣此二事一合一否皆不足为据且既能上合一千九百余年之冬至矣何以刘宋元嘉丙子十一月甲戌景长而推癸酉大明辛丑十一月乙酉冬至【即壬寅天正冬至】而推甲申此二事皆八百余年反先天一日岂非总分乘距算之法非法故失之乎
　　然则统天授时之法同乎曰亦不同也统天厯逐年迭差而授时消长之分以百年为限则授时之法又不如统天矣
　　永按统天以距差乘躔差其失亦与授时等【由其根数未确】
　　夫必百年而消长一分未尝不是乃以乘距算其数骤变殊觉不伦郑世子黄钟厯法所以有所酌改也【假如康熙辛酉年距元四百算故消四分而其先一年庚申距算三百九十九只消三分是庚申年嵗余二十四刻二十二分而辛酉年嵗余二十四刻二十一分也以此所消之一分乘距算得四百分则辛酉嵗前冬至忽早四刻而次年又只平运以实数计之庚申年反只三百六十五日二十刻二十二分辛酉年则又是三百六十五日二十四刻二十一分其法舛矣】
　　永按授时之谬法勿庵先生亦既觉之矣抑不惟如此而已年愈逺则失愈甚如推至春秋时一千九百年则嵗余二十四刻四十四分若一千九百零一年嵗余増一分此一分乘距算一千九百零一前一嵗忽増一十九刻有竒则嵗实有三百六十五日四十三刻有竒岂不甚可笑乎况又有逺于此者乎
　　问嵗实消长之法既通于古亦宜合于今乃今实测之家又以为消极而长其说安在岂亦有所以然之故与曰授时虽承统天之法而用消长但以推之旧厯而合耳初未尝深言其故也惟厯书则为之説曰嵗实渐消者由日轮之毂渐近地心也余尝窃疑其説今具论之夫西法以日天与地不同心疏盈缩加减之理其所谓加减皆加减于天周三百六十度之中非有所増损于其外也如最高则视行见小而有所减最卑则视行见大而有所加加度则减时矣及其加减既周则其总数适合平行畧无余欠也若果日轮之毂渐近地心不过其加减之数渐平耳加之数渐平则减之数亦渐平其为迟速相补而归于平行一也岂有日轮心逺地心之时则加之数多而减之数少日轮心近地心时则减之数少而加之数多乎必不然矣
　　永按冬至相距之日时古今有多少不过泛嵗实与平嵗实相差其相差又有舒疾之渐耳若今冬至有平有定本不必言消长必欲言其消长则其故有二一由高冲离冬至有逺近一由日小轮古今有大小也高冲自秋分行至冬至此三宫定冬至皆在平冬至前自冬至行至春分此三宫定冬至皆在平冬至后总此六宫上下约万年【以今时最高冲行约之】皆在长限以其冬至泛嵗实皆多于平嵗实故也惟高冲正当秋分春分此两嵗嵗实皆平【即西法三百六十五日五小时四十八分四十五秒是也】离此则渐有差前三宫由平而渐増多是为长中之长至高冲与冬至同度则定冬至与平冬至同日同时是为长之极当郭太史作厯正其时也后三宫由极多而渐减以至于平是为长中之消今时高冲在冬至后八度其消尚未多也若高冲过春分而行至夏至此三宫定冬至亦在平冬至后自夏至行至秋分此三宫定冬至又在平冬至前总此六宫亦约万年皆在消限以其冬至泛嵗实皆少于平嵗实故也前三宫由平而渐减是为消中之消至高冲与夏至同度则定冬至亦与平冬至同日同时是为消之极后三宫由极少而渐増以至于平是为消中之长此通高冲行一周天而总论其消长也然而太阳两小轮半径三千五百八十四古多而今少多则小轮稍大日躔加减均亦稍大少则小轮稍小加减均亦稍小高冲之行一年一分一秒十微【西士后测】此一分一秒十微若在均数稍大之中则度分变为时分之秒数以加减于平时者必稍多若在均数稍小之中则度分变为时分之秒数以加减于平时者必稍少【如崇祯戊辰所立之加减差表初宫之初度十一宫之末度毎一十分均数二十二秒高冲一年行一分一秒十微约均数二秒有竒此二秒有竒变为时约五十七秒以加于平嵗余五小时三分四十五秒得五小时四分四十二秒如小轮稍大则初度一十分之均不止二十二秒而一嵗高冲之行不止得均二秒有竒其变时亦不止五十七秒矣如小轮稍小则初度十分不及二十二秒高冲之行得均数不及二秒则变时亦不及五十七秒矣此畧举初度之均以为例其他可类推】古今小轮之大小虽不可尽知以刘宋元嘉大明间屡年之实测算当时之不同心差葢四千有竒【详冬至权度】则均数必稍强至元授时厯冬至盈初加分多于今日之加分则当时小轮半径不止三千五百八十四自此以后至今日小轮渐小均数亦渐小高冲行度所得之均数以减度加时者亦稍弱焉此又因轮毂渐近地心而微有消分也