数学

　　又法丙甲正切与半径若乙丙正切与丙角正割【永补】
　　丙甲余与半径若乙角余与丙角正【永补】
　　半径与丙甲正割若乙角余与丙角正
　　半径与乙角正若乙甲余与丙角余【永补】
　　半径与乙角正切若乙丙余与丙角余切【永补】
　　已上求边求角诸法具足有未备者永为补之一种有数法择用一焉可也【永所补者亦因他法隅反非臆测也用之可勿疑】垂弧法趋防
　　举要第三卷论垂弧但言可求某边某角不详其求之之法以有正弧三角法可攷也然算以防为贵有可省者径省之诸形中各求防法以趋简易
　　形内垂弧第一支
　　【甲乙丙形有丙鋭角有角旁相连之乙丙甲丙二边求对边及余两角】
　　作垂弧乙丁丁为正角○按两边夹
　　一角求对角之边有环中黍尺专书
　　备论可不作垂弧欲以垂弧算之第
　　四卷有防法但求丁丙边【半径与丙角余若】
　　【乙丙正切与丁丙正切】分甲丁边【丙丁之余为甲丁】即用两分之两边以径得乙甲【丁丙余与乙丙余若丁甲余与乙甲余】甚防也得乙甲则二角【乙甲】可求矣若按次求之先求丁丙次求乙丁次求丁乙丙分角次求乙甲次求甲角及丁乙甲分角末以两乙角并之成乙角较为烦曲
　　形内垂弧第二支【甲乙丙形有丙鋭角有角旁相连之乙丙边及与各相对之乙甲边求余两角一边】
　　此当先求甲角【乙甲正与丙角正若乙丙正与甲
　　角正】次求丁丙【半径与丙角余若乙丙正切与丁丙正切】甲丁【半径与甲角余若乙甲正切与甲丁正切】分边并
　　得甲丙则乙角可得不必求垂弧与
　　分角
　　形内垂弧第三支【甲乙丙形有乙丙二角有乙丙边求甲角及余边】
　　边在两角之间斜弧三角之难求者
　　也若以垂弧法求之当求乙丁边【半径
　　与丙角正若乙丙正与乙丁正】丁乙丙分角【乙丙
　　余与半径若丙角余切与乙角正切】原设乙角内减
　　丁乙丙得丁乙甲分角次求甲角【半径与乙分角正若乙丁余与甲角余】乙甲边【甲角正与半径若乙丁正与乙甲正】甲丙边【甲角正与乙丙正若原设乙角正与甲丙正】此不得不求垂弧与分角者也按次形法三角求边以角易为边边易为角此形虽止两角亦可弧角相易以次形求之葢在本形为两角夹一边次形即为两边夹一角在本形为求对边之角在次形即为求对角之边径用环中黍尺加减防法以求之一求而甲角可得矣此理隐于次形篇中永于三角求边悟得之
　　形内垂弧第四支【甲乙丙形有丙甲二角有乙甲边求乙角及余二边】
　　此当先求乙丙边【丙角正与甲角正若乙甲正
　　与乙丙正】次求丙丁【半径与丙角余若乙丙正切与丙
　　丁正切】丁甲【半径与甲角余若乙甲正切与丁甲正切】分
　　边并得丙甲而乙角可得
　　形内垂弧第五支【系二边相同求三角此形易求畧之】
　　形外垂弧第一支【甲乙丙形有丙鋭角有夹角之两边求乙甲边及余两角】
　　自乙角作垂弧于形外补成正角【丁角】本法须求丙乙丁角【乙丙余与半径若丙角余切与乙角正切】乙丁边【半径与乙丙正若丙角正与乙丁正
　　】丁丙边【半径与乙丙正若乙角正与丁丙正】乃
　　可求乙甲边【丁丙内减丙甲得甲丁半径与甲丁余若乙
　　丁余与乙甲余】甲角【乙甲正与半径若乙丁正与甲角正
　　】及甲乙丁虚角【乙甲正与半径若甲丁正与虚】
　　【乙角正○末以甲角减半周得原设甲角以甲乙丁虚角减丙乙丁角得原设丙乙甲角】若用环中黍尺加减防法则不用作垂弧一求可得乙甲边而甲乙两角皆可求矣
　　形外垂弧第二支【甲乙丙形有甲钝角有角旁之二边求乙丙边及余二角】
　　本法亦作垂弧于形外补成正角先
　　求虚边虚角而后可求形内之边角
　　今按此亦可用环中黍尺法角求对
　　边【钝角用大矢】径得乙丙因以求二角则
　　不必作垂弧
　　形外垂弧第三支【甲乙丙形有丙鋭角有角旁之乙丙边有对角之乙甲边求丙甲边及余二角】
　　本法先求虚边虚角今按此可求甲
　　角【乙甲正与乙丙正若丙角正与甲角正】乃求丁
　　丙边【半径与丙角余若乙丙正切与丁丙正切】与甲丁
　　边【半径与甲外角余若乙甲正切与甲丁正切】于丁丙内
　　减甲丁得丙甲而乙角可求
　　形外垂弧第四支【乙甲丙形有甲钝角有角旁之甲丙边及对角之乙丙边求乙甲边及余二角】
　　本法亦先算虚形今按此亦可仿第
　　三支先求乙角次求乙戊边与甲戊
　　边于乙戊内减甲戊得乙甲因以求
　　丙角
　　形外垂弧第五支【乙甲丙形有丙甲二角一鋭一钝有丙甲边在两角之中求一角】
　　本法作垂弧先算虚边虚角今按两
　　角夹一边求对边之角犹之两边夹
　　一角求对角之边径易角为边易边
　　为角用加减防法可得对丙甲边之
　　乙角
　　形外垂弧第六支【乙甲丙形有乙甲二角乙鋭甲钝有丙甲边与乙鋭角相对钝角相连】
　　此当先求乙丙边【有本形弧角比例】次求乙
　　戊虚边【半径与乙角余若乙丙正切与乙戊正切】次求
　　甲戊虚边【半径与甲外角余若丙甲正切与甲戊正切】于
　　乙戊内减甲戊得乙甲【因以求丙角】
　　形外垂弧第七支【乙甲丙形有乙鋭角甲钝角有丙乙边与甲钝角相对鋭角相连】
　　此当先求丙甲边余如六支之法

　　垂弧又法第一支【乙甲丙形有乙丙边在两角之间而两角并钝求余二边及甲角】
　　法引丙甲至己引乙甲至戊各满半
　　周作戊己边与乙丙等而己与戊并
　　乙丙之外角成甲戊己次形依法作
　　垂弧于次形之内【如己丁】分为两形本
　　法求乙甲边以己丁戊分形求到丁戊【半径与戊角余若己戊正切与丁戊正切】以己丁甲形求到甲丁【先于己丁戊形求得己角以减原有之巳角余为丁己甲分角又求得己丁垂弧乃求甲丁法为半径与己分角正切若己丁正与甲丁正切】合之成甲戊以减半周得乙甲求丙甲边以己丁甲分形求到己甲【丁己甲角余与半径若己丁正切与己甲正切】以减半周得丙甲乃以己丁甲分形求到甲交角【己甲正与半径若己丁正与甲角正】按此殊多曲折径易角为边易边为角【或用本形之乙丙两钝角易为边以乙丙边为角取矢或用次形之己戊两鋭角易为边取己戊矢皆可】用加减防法求之即可得甲角【因以求二边】
　　垂弧又法第二支【乙甲丙形有丙甲二角有乙甲边与丙角相对而两角俱钝求乙角及余边】
　　如法引甲乙丙乙俱满半周防于己
　　成丙甲己次形作己丁垂弧于次形
　　内分次形为两本法求乙角惟求分
　　形两己角合之为次形己角与乙对
　　角等又求分形甲丁丁丙并之为甲丙以求到次形己丙减半周为乙丙今按此形当先求乙丙边【丙角正与乙甲正若甲角正与乙丙正】减半周余为己丙虚边次求甲丁【乙甲减半周得甲己半径与甲外角余若甲己正切与甲丁正切】丁丙【半径与丙外角余若己丙正切与丁丙正切】并得甲丙因以求乙角【有弧角比例】稍为直防若欲先知乙角如本法可矣【乙甲余弧与半径若甲外角余切与甲己丁分角正切又半径与甲己正若甲外角正与丁己正又丁己余与半径若丙外角余与丁己丙角正合两分形己角为次形己角即为本形乙角】
　　垂弧又法第三支【乙甲丙形有乙丙乙甲两边有乙角在两边之中】
　　本法用甲乙戊次形算之今按此亦可用加减防法径得丙甲

　　垂弧又法第四支【乙甲丙形有丙角有甲丙边与角连有乙甲边与角对】
　　法用甲己戊次形【甲己为甲乙减半周之余甲戊为甲
　　丙减半周之余戊角为丙之外角】作垂弧于内求乙
　　丙边及余两角按此形当先求乙角
　　【乙甲正与丙角正若甲丙正与乙角正】因知己虚
　　角【己为乙之外角】次求丁己【半径与己角余若甲己正切与丁己正切】戊丁【半径与戊角正切若甲戊正与戊丁正切】并得己戊即丙乙因以求甲角若欲先知甲角即于丁戊甲分形求之【半径与戊角正切若甲戊余与甲角余切】因以求乙丙边【丙角正与乙甲正若甲角正与乙丙正】
　　垂弧又法第五支【乙甲丙形有三边内有乙甲丙甲二边相同而皆为过弧求三角】
　　本法用次形作垂弧求之今按此亦
　　可用加减防法用甲角角旁两弧同
　　度则加减有变例检环中黍尺五卷
　　补遗用
　　垂弧又法第六支【乙甲丙形有丙甲二钝角有甲丙边在两角间】
　　本法引乙丙乙甲满半周防于戊成
　　甲戊丙次形作垂弧于次形外以求
　　之今按此亦可易角为边易边为角
　　依加减防法求之径得乙角【因以求二边】
　　垂弧又法第七支【乙甲丙形有乙甲二钝角有甲丙边与角对】
　　法引设边成丙戊甲次形【戊为乙对角与乙角等】作垂弧于次形外此或先求乙丙【乙角正与甲丙正若甲角正与乙丙正】减半周得
　　丙戊或先求丙戊【戊角正与丙甲正若甲外角正
　　与丙戊正】减半周得乙丙次求丁甲【甲外
　　角余与半径若甲丙正切与甲丁正切】丁戊【戊外角正割与半径
　　若丙戊正切与丁戊正切】以丁戊减丁甲余为
　　戊甲以戊甲减半周余为乙甲因以求丙角【若欲先知丙角先求甲丁对边即可求得丙角】
　　垂弧又法第八支【乙甲丙形有丙钝角有角旁之两边丙乙丙甲】
　　本法用甲戊丙次形作甲丁垂弧引
　　丙戊防于丁可求乙甲边及甲乙二
　　角今按此亦可用加减防法径求乙
　　甲对边以求二角
　　垂弧又法第九支【乙甲丙形有甲钝角有乙丙边与角对丙甲边与角连】
　　法用丙戊甲次形自丙角作垂弧与
　　甲戊引长边防于丁此当先求乙角
　　【本形有甲丙对边比例】即戊角【对角等】次求丁甲
　　与丁戊【与第七支求法同】于丁甲内减丁戊
　　为甲戊即得乙甲【法同七支】因以求丙角
　　次形
　　斜弧三角求边必弧角互易用次形求之图与算例皆详明矣然易角为边有用本角度有用外角度恐易混淆今为厘定开例如左庶用之无误
　　凡三角俱鋭者在圆周之两角用本角度其交角用外角度【凡三边必有一边就圆周凡三角必有两角在圆周余一角为交角】
　　凡三角俱钝者皆用外角度
　　凡两钝一鋭钝在圆周鋭在交角者亦犹三角俱钝皆用外角度
　　凡两钝一鋭鋭在圆周者用本角度其两钝一在圆周者用外角度一在交角者用本角度
　　凡两鋭一钝鋭在圆周者用本角度钝在交角者用外角度
　　凡两鋭一钝鋭在圆周者用本角度在交角者用外角度钝在圆周者亦用外角度
　　方圆幂积比例补
　　勿庵先生有方圆幂积一卷凡方圆周径面体比例详矣愚思之尚有方分圆分比例一法从来算家只言幂积不言圆分而范蜀公论律云古者以竹为律竹形本圆今以方分置算此律非是算法圆分谓之径围方分谓之方斜今圆分而以方法算之此算数非是圆分始见于此圆体用圆分置算亦有至理平圆有平圆分立圆有立圆分得其方分圆分之比例则有大小不等之浑圆欲得倍数之差但借立方算之其得数甚真亦甚防故为补此一法
　　先论圆方
　　算家命平方如棋局之罫者谓之幂合计之谓之积夫有平幂亦当有平员之分合众小员之分亦可谓平员之积由是而为立员亦可谓立员分立员积矣夫所谓员分者非若句股容员虚其四隅也非若方体圆体中容得几个圆球球间尚有空隙也大小相容全无隙罅但有圆之数而无圆之形是所谓员分员积也【如以分作九复碎丸成粉入大圆中谓此大员能容几个粉丸】
　　平方平员
　　方径一十　　幂积一百
　　员径一十　　幂积七十八又五三九八一六
　　员积一百
　　方员有相应之理方员同径员者刓其四角故幂积七十八有竒若员中复容员必与同径之方等积大员与小员犹之大方与小方也此为浑员立方比例之根
　　立方立员
　　立方径一十　　立方面幂六百
　　立员径一十　　立员面幂三百一十四又一五九二
　　六五
　　立员面员分六百
　　立员即浑员浑圆面幂与员径上平幂若四与一故四倍平员面幂【七八五三九八一六】而得三一四一五九二六五立方有六面则有六百与浑员面幂若六与三一四一五九二六五而浑员面上之员分则又与立方面幂等
　　立方径一十　　立方积一千
　　立员径一十　　立员积五百二十三又五九八七七五
　　立员员分积一千
　　立方立员同径又刓去立方之八角则其积之比例若六与三一四一五九二六五故立方积一立员积五二三五九八七七五犹之立方面幂六而立员面幂三一四一五九二六五也积与幂既同比例矣则立员员分积亦必与立方积等犹之立员面员分与立方面幂等也然则平幂面幂体积方与方员与员其数皆等借立方可算立员而大小员球之差数睹矣
　　借立方算立员
　　立方径自乘又以径乘之得积○立员亦径自乘又以径乘之得立员员分积
　　求大小员差几倍数
　　大小员各算得积以积相较得差数若干倍
　　假如
　　今有大员径三十六小员径六径之差六倍实体差若干倍
　　答曰大员比小员差二百一十六倍
　　法以大员径自乘再乘得积四万六千六百五十六小员径自乘再乘得积二百一十六其差亦二百一十六倍【小员径自乘即大员径故差数与积数等二百一十六自乘亦即四万六千六百五十六】
　　又法以两径差倍数自乘又以倍数乘之所得亦同
　　今有大员径一十五万小员径八千径之差十九倍弱实体差若干倍