御制数理精蕴

　　第四
　　凡有直角三角形其直角相对界所作方形之积必与两傍界所作两方形之积相等也如甲乙丙直角三角形其甲直角相对乙丙界作一乙丁方形其积必与甲乙甲丙之两傍线所作戊乙己丙两方形之积相等也试自甲直角过相对乙丙界至方形辛丁界作一甲庚壬垂线则甲乙丙三角形分为甲乙庚甲庚丙两三角形而乙丁正方形分为乙壬庚丁两长方形此所分甲乙庚甲庚丙两三角形与甲乙丙原三角形为同式则其毎相当界之互相比例必同矣是以甲庚丙小三角形之庚丙小界与丙甲大界之比即同于甲乙丙大三角形之甲丙小界与乙丙大界之比而为相当比例四率也然丙甲甲丙之二率三率原为一线则庚丙丙甲乙丙又为相连比例三率矣故丙甲中率所作己丙方形之积与庚丙一率为寛乙丙三率为长所作庚丁长方形之积相等也乙丁既为正方形则庚壬度必与方界乙丙各度等故庚丁长方即同庚丙为寛乙丙为长所作之长方也又如甲乙庚甲乙丙两三角之乙庚甲乙乙甲乙丙四界为相当比例四率又为相连比例三率故甲乙中率所作戊乙方形之积亦与乙庚一率为寛乙丙三率为长所作乙壬长方形之积相等也今庚丁乙壬之两长方形既与己丙戊乙两正方形等则两形相合之乙丁正方形亦必与己丙戊乙两正方形相等可知矣
　　第五
　　凡直角三角形之三界所作同式三形其一大界所作一形之积必与二小界所作二形之积等也如在甲乙丙直角三角形之乙丙甲乙甲丙三界作乙丁戊乙己丙三同式长方形则乙丙大界所作乙丁一形之积必与甲乙甲丙二小界所作戊乙己丙二形之积等也又或如甲乙丙直角三角形于乙丙大界作乙戊丁丙一半圜于甲乙甲丙二小界作甲庚乙甲已丙二半圜则乙丙大界所作乙戊丁丙一半圜之积必与甲乙甲丙二小界所作甲庚乙甲已丙二半圜之积等也葢依三界所作三形之式既同故同式众形互相为比即同于相当界所作正方形之互相为比也要之一大界所作一大形内减一小界所作一小形即余一小界所作一小形而一小界所作一小形内再加入一小界所作一小形则为一大界所作一大形矣
　　第六
　　一圜之内二弦线相交所截之叚递转比之其比例俱同而为相当比例四率也如甲圜内乙丙丁戊二线相交于已其所截之戊已一叚与已丙一叚之比例即同于乙己一叚与己丁一叚之比例故戊己己丙乙己己丁四叚为相当比例之四率也何以见之若自乙至戊自丁至丙复作二弦线即成乙己戊丁己丙两三角形此两三角形之乙角丁角俱切于甲圜之戊丙弧叚其度相等【见四卷第十二节】再乙己戊之己角丁己丙之己角又为两尖相对之角其度亦相等今乙丁二角之度既等而两己角之度又等则所余戊丙二角亦自等两三角形之相当各角既等则其式必同其式既同则毎相当各二线互相为比之比例俱同而戊己己丙乙己己丁四叚互相为比例四率可知矣
　　第七
　　圜之径线不拘何处作一垂线则所截之两叚一为一率一为三率而垂线为中率即为相连比例三率也如甲圜自丁界至乙丙径线戊处作一丁戊垂线将乙丙径线截为两叚其所截乙戊一叚为一率戊丙一叚为三率而丁戊垂线为中率此乙戊丁戊戊丙三线为相连比例三率也试自圜界丁至乙丙二处作丁乙丁丙二线则成一乙丙丁三角形其丁角既立于圜之乙己丙半界故为直角【见四卷第十四节】而丁戊垂线乃自直角至相对乙丙底界所作之垂线故所截乙戊一叚为一率戊丙一叚为三率而丁戊垂线为中率为相连比例三率也
　　第八
　　自圜外一防过圜界二处至相对界作二线以此两全线互相为比即同于圜界外所截之二叚递转为比之比例而为相当比例四率也如己圜自圜外甲防过圜界乙丁二处至相对界丙戊二处作二线则甲丙甲戊两全线互相为比必同于圜界外所截甲乙甲丁二叚之递转相比而为相当比例四率也试自圜界乙丁二处至相对界丙戊二处作乙戊丁丙二线则成甲丙丁甲戊乙两三角形此两三角形之丙戊二角既切于一圜之乙丁弧界其二角之度必等【见四卷第十二节】再甲丙丁之甲角甲戊乙之甲角既共为一角其度自等两三角形各二角度俱等则两三角形必为同式矣故甲丙甲戊相当二界互相为比之比例即同于甲丁甲乙相当二界互相为比之比例是以甲丙与甲戊之比同于甲丁与甲乙之比将甲丙全线为一率甲戊全线为二率甲乙甲丁递转移之而以甲丁一叚为三率甲乙一叚为四率为相当比例之四率也
　　第九
　　凡函于圜内之三角形以其一角平分为二过相对底界至相对界作一直线则所分角之小边线与所作线之在三角形内一叚之比即同于所作线之全分与所分角之大边线之比也如函于圜内有甲乙丙三角形以甲角平分为二分过所对乙丙底界至相对界作一直线即成甲丁戊一全线以三角形之甲乙小边与所作甲丁戊线之甲丁一叚之比即同于所作甲丁戊全线与三角形之甲丙大边之比也何以言之若自圜界乙至戊作乙戊线即成甲乙戊甲丁丙两三角形此两三角形之戊丙二角俱切于圜界甲乙弧之一叚其度必等而甲乙戊三角形之甲角甲丁丙三角形之甲角又为一角所平分之两角其度亦必等因此两三角形各二角之度等故两形为同式两三角形之式既同则两形之相当二界互相为比之比例俱同是以甲乙小分与甲丁小分之比即同于甲戊大分与甲丙大分之比也
　　第十
　　凡函于圜内之三角形以其一角为两平分自角至底作一线则所分底线两叚互相为比即同于所分角之两傍两边线之互相为比也如函于圜内有甲乙丙三角形以甲角平分为二分至乙丙底作甲丁一线则分一丙底线为乙丁丁丙两叚以乙丁与丁丙之比即同于以甲乙小边线与甲丙大边线之比也试自所分底线之丁至甲丙线与甲乙平行作丁戊一线即成戊丁丙一小三角形葢甲乙丙大三角形之乙角戊丁丙小三角形之丁角既为乙甲丁戊平行线一边之内外角其度必等【见首卷第二十三节】而甲乙丙戊丁丙两三角形又共一丙角故此两三角形之各二角度等为同式两三角形也再甲丁戊之丁角乙甲丁之甲角因为平行线内二尖交错之角其度亦等然则乙甲丁之甲角既为甲乙丙之甲角之两平分则甲丁戊之丁角亦与甲丁戊之甲角度等矣甲丁戊三角形之丁角甲角既等则二角所对之丁戊甲戊二线亦必等矣甲乙丙戊丁丙两三角形既为同式而三角之度又俱等则其甲乙丙大三角形之甲乙甲丙二线互相为比即同于戊丁丙小三角形之戊丁戊丙二线互相为比之比例也今戊丁甲戊二线其度既等则甲乙线与甲丙线之比又同于以甲戊线与戊丙线之比至于丁戊平行线所截乙丁一叚与丁丙一叚之比则又同于甲戊一叚与戊丙一叚之比矣是故甲乙线与甲丙线之比为同于乙丁线与丁丙线之比也

　　防何原本十
　　第一
　　大凡直角立方体积皆生于面线互乗之度故欲知方体所生比例之分将所比形之长寛与厚详较之即可得而知矣如甲乙丙丁直角立方二体其甲乙大形之戊己长比丙丁小形之庚辛长甲乙大形之戊壬寛比丙丁小形之庚癸寛甲乙大形之甲戊厚比丙丁小形之丙庚厚俱为大一倍其甲乙大形之戊乙底平面积与丙丁　形之庚丁底平面积之比例将纵横二线之长寛度分考之即得【见七卷第二节】既得二体底积之比例乃以二形之厚度复与底积比之即可知甲乙丙丁二体之比例矣葢甲乙大体之戊己戊壬长寛之度既比丙丁小体之庚辛庚癸长寛之度大一倍则戊乙平面底形之内如庚丁平面底形二倍者有二矣然则甲乙大形甲戊之厚度既比丙丁小形丙庚之厚度大一倍则甲乙体形之内如丙丁体形四倍者有二可知矣是故欲知直角方体之比例以本体之长寛与厚互相比例以较之即得直角方体互相为比之比例也
　　第二
　　有两直角长方体若将此一体之底度与他一体之底度又将他一体之厚度与此一体之厚度为比其比例若同则此二体之积必等也如甲乙丙丁两直角长方体甲乙体之戊乙底度比丙丁体之庚丁底度大一倍而丙丁体之丙庚厚度比甲乙体之甲戊厚度亦大一倍则甲乙丙丁二体之积必相等是故两体之底积与厚度相较则两体之积可知矣葢体积之比例视其面线今两体之底面厚度交互相等如此其体积不得不等也
　　第三
　　有两直角方体其底面积之纵横二界相比之比例与厚度面积之纵横二界相比之比例若俱同则此两体为直角正方同式体也如甲乙丙丁两直角方体其甲乙体之戊乙底面之戊己横界比丙丁体之庚丁底面之庚辛横界大一倍甲乙体之戊乙底面之戊壬纵界比丙丁体之庚丁底面之庚癸纵界大一倍甲乙体之甲己厚面之甲戊直界比丙丁体之丙辛厚面之丙庚直界亦大一倍则甲乙丙丁之两体俱为直角正方同式体也至于两体所有之戊己庚辛二界戊壬庚癸二界甲戊丙庚二界俱为相当之界而可互相为比例矣第四
　　凡同式直角正方体其体积之比例比之两界线之比例为连比例隔二位相加之比例也如甲乙丙丁两同式直角正方体其相当之戊己庚辛二界戊壬庚癸二界甲戊丙庚二界互相为比之比例俱各大一倍则此甲乙体积与丙丁体积之比比之甲乙体之界线与丙丁体之界线之比者即如连比例四率内隔二位相加之比例矣盖甲乙体之各界既为丙丁体之各界之二倍则甲乙体内如丙丁体之二倍者有四二其四为八故甲乙体积比丙丁体积大八倍夫以甲乙体积八与丙丁体积一相比为八分之一甲乙体界二与丙丁体界一相比为二分之一其比例不同盖以八分比一分较之二分比一分为四倍也如欲求其相连比例之率则于甲乙体之界四倍之得八分与丙丁体界一分为比即如甲乙体积与丙丁体积之比例矣夫八与四四与二二与一皆为连比例二分之一之比例今以八与一为比其间隔四与二之两位故曰同式两体积之比例为两界上连比例隔二位相加之比例也【若边为三倍则面为九倍体为二十七倍亦为隔二位相加之比例也】
　　第五
　　有两同式直角长方体于两体相当之二界各作两正方体互相为比即同于原两长方体之互相为比也如甲乙丙丁两直角长方体在戊乙己丁相当二横界各作甲庚丙辛二正方体则所作之甲庚丙辛两正方体互相为比之比例仍同于原有之甲乙丙丁两长方体互相为比之比例也夫甲乙丙丁同式之两长方体既为隔二位相加之比例则所作甲庚丙辛同式之两正方体亦必为隔二位相加之比例矣然则原有之甲乙长方体为原有之丙丁长方体之八分之一其所作甲庚正方体亦为所作丙辛正方体之八分之一可知矣第六
　　凡有大小平面体其相当角度俱等而相当界之比例又同则谓之同式体也如甲乙大小两平面体其相当各界之度俱等而相当各界之比例又同则甲乙二体谓之同式平面正方体也如丙丁大小两四瓣体其相当各角之度俱等而相当各界之比例又同则丙丁二体谓之同式四瓣体也又如大小圆面体于其内外作各种平面体其平面体之式若同则圆面体亦谓之同式体如戊己大小两圆体所函之庚辛尖瓣等体是也
　　第七
　　同式各种体之比例同于在各体相当界所作正方体之比例也如甲乙丙丁戊己大小两三角尖瓣体互相为比即同于乙丙戊己相当二界所作庚乙辛戊两正方体之互相为比又如壬癸两圆球体其互相为比之比例亦同于圆球径相当之乙丙戊己二界所作庚乙辛戊两正方体互相为比之比例也盖同式平面形互相为比之比例同于各相当二界所作正方面形互相为比之比例矣今各种体之式既同故其相当面互相为比之比例必同相当面互相为比之比例同者縁相当面之各相当界互相为比之比例同也故凡同类两体知此一体之度而不知彼一体之度欲求知之则在同式两体相当二界各作一正方体此所作之二体一为一率一为二率所知之体为三率推得四率即其未知之体矣或有同类两体知此一体之界而不知彼一体之界则依所知一体之界作一正方体其两体一为一率一为二率所作正方体为三率推得四率即是彼一体界数所作之正方体矣故曰同式两体之比例与相当界所作正方体之比例相同也
　　第八
　　凡圆面半径与球体半径等者其圆面积为球体外面积之四分之一而圆面半径与球体全径等者其圆面积与球体外面积等也如丁己圆面之丁戊半径与甲丙球体之甲乙半径等则丁己圆面积为甲丙球体外面积之四分之一又如庚壬圆面之庚辛半径与甲丙球体之甲丙全径等则庚壬圆面积与甲丙球体外面积等也试作子寅卯一尖圆体使其寅辰卯之底面积与甲丙球体外面积等其子丑髙度与甲丙球体之甲乙半径等则此尖圆体积与球体积相等【见五卷第二十五节】又作午未申一小尖圆体使其未申底径与甲丙球体之全径等亦与大尖圆体之寅丑半径等其午酉髙度与甲丙球体之甲乙半径等亦与大尖圆体之子丑髙度等则此小尖圆体积为球体积之四分之一亦即为大尖圆体积之四分之一何以见之盖大小两面之比例同于相当界所生连比例隔一位加一倍之比例今大尖圆体之寅夘底径比小尖圆体之未申底径大一倍则大尖圆体底积比小尖圆体底积必又大一倍则小尖圆体底积为大尖圆体底积之四分之一矣又两体同髙者其体积之比例同于其底面之比例今小尖圆体底积既为大尖圆体底积之四分之一则其体积必为大尖圆体积之四分之一而亦为球体之四分之一矣【球体原与大尖圆相等】夫大尖圆体之底积原与球体之外面积等小尖圆体底积既为大尖圆体底积之四分之一亦必为球体外面积之四分之一而丁己圆面固与小尖圆之底积等则为球体外面积之四分之一无疑矣至于庚壬圆面之径原比丁己圆面之径大一倍则其面积必大四倍今丁己圆面既为甲丙球体外面积之四分之一则庚壬圆面积比丁己圆面积大四倍者安得不与球体外面积相等乎第九
　　凡球体全径与上下面平行长圆体底径髙度相等则球体为长圆体之三分之二也如甲乙丙丁一球体戊己庚辛一长圆体此球体之乙丁全径与长圆体之己庚底径度等而球体之甲丙全径与长圆体之戊己髙度等则球体积为长圆体积之三分之二也盖长圆体与尖圆体同底同髙则其比例为三分之一【五卷第二十三节言平底尖体与上下面平行体同底同髙则尖体为平行体三分之一】尖圆体之底径与球之全径等髙与球之半径等者尖圆体积为球体积之四分之一而尖圆体又为半球体之二分之一矣【説见前节】今于乙己庚丁半长圆体内作己壬庚半球体又作一壬己庚尖圆体则此尖圆体为半球体之二分之一尖圆体既为半球体之二分之一又为半长圆体之三分之一则半球体岂非长圆体之三分之二乎夫全与全之比例即若半与半之比例今半长圆与半球之比例为三分之二则全长圆体与全球体之比例亦为三分之二可知矣