御制数理精蕴

　　设如有勾股积三十尺十三尺求勾股各几何法以勾股积三十尺四因之得一百二十尺又以十三尺自乗得一百六十九尺相减余四十九尺开方得七尺为勾股较乃以勾股积倍之为长方积以勾股较为长濶较用帯纵较数开方法算之得濶五尺为勾得长十二尺为股如图甲乙丙丁为自乗之方内容甲戊乙乙己丙丙庚丁丁辛甲四勾股积戊己庚辛一勾股较自乗方积故于自乗方内减四勾股积即余勾股较自乗之方而开方得勾股较也
　　设如有勾股积六十尺勾股较七尺求勾股各几何
　　法以勾股积六十尺倍之得一百二十尺以勾股较七尺为长濶较用纵较数开方法算之得濶八尺为勾加勾股较七尺得十五尺为股勾股求得十七尺如图甲乙丙勾股形积倍之成甲乙丙丁长方形积其濶即勾其长即股其长濶较即勾股较故用纵较数开方法算之得阔为勾也又如有勾股积几何知勾较或股较求勾股法中用帯纵立方算之始得兹故不设设在纵立方之后
　　设如有勾股积六十尺勾股和二十三尺求勾股各几何
　　法以勾股积六十尺八因之得四百八十尺又以勾股和二十三尺自乗得五百二十九尺两数相减余四十九尺开方得七尺为勾股较于勾股和二十三尺内减勾股较七尺余十六尺折半得八尺为勾加勾股较七尺得十五尺为股勾股求得十七尺如图甲乙丙丁为勾股和自乗之方内容八勾股积一勾股较自乗方积今于勾股和自乗之方内减八勾股积所余戊己庚辛正方即勾股较自乗之方故开方而得勾股较也又如有勾股积几何知勾和或股和求勾股法中用帯纵立方算之始得兹故不设设在纵立方之后
　　设如有勾股积六十尺勾股总和四十尺求勾股各几何
　　法以勾股积六十尺四因之得二百四十尺又以勾股总和四十尺自乗得一千六百尺两数相减余一千三百六十尺折半得六百八十尺以勾股总和四十尺除之得十七尺为于勾股总和四十尺内减十七尺余二十三尺为勾股和用有有勾股和求勾股法算之得勾八尺股十五尺如图甲乙丙丁为勾股总和自乗之一大正方内戊己庚丁为勾自乗之一正方辛壬癸己为股自乗之一正方子乙丑壬为自乗之一正方寅子壬辛与壬丑卯癸为股相乗之二长方甲寅辛辰与癸卯丙己为勾相乗之二长方辰辛己戊与己癸己庚为勾股相乗之二长方夫勾股相乗之二长方与四勾股积等今于勾股总和自乗之一大正方内减去四勾股积即减去勾股相乗之二长方而勾自乗之一正方与股自乗之一正方相并又与自乗之一正方等故所余者为自乗之二正方股相乗之二长方勾相乗之二长方折半即得自乗之一正方股相乗之一长方勾相乗之一长方与甲乙丑辰长方形等其濶即其长即勾股总和故以勾股总和除之而得也
　　设如有勾股积六十尺与勾股和之较六尺求勾股各几何
　　法以勾股积六十尺四因之得二百四十尺以与勾股和之较六尺除之得四十尺为勾股总数内减与勾股和之较六尺余三十四尺折半得十七尺为加与勾股和之较六尺得二十三尺为勾股和用有有勾股和求勾股法算之得股十五尺勾八尺如图甲乙为勾股和丙乙为甲丙为与勾股和之较试依甲乙线作甲丁戊乙勾股和自乗之一正方又以丙乙线作丙己庚乙自乗之一正方二方相较其甲丁戊庚己丙磬折形乃与四勾股积相等【葢勾股和自乗方内容八勾股积一勾股较自乗方积自乗方内容四勾股积一勾股较自乗方积二方相减所余磬折形积与四勾股积相等】引而长之即如丙甲戊庚一长方形其濶即与勾股和之较其长即与勾股和之和故以与勾股和之较除之得勾股总数也
　　设如有勾股积六十尺与勾股较之和二十四尺求勾股各几何
　　法以勾股积六十尺四因之得二百四十尺又以与勾股较之和二十四尺自乗得五百七十六尺两数相减余三百三十六尺折半得一百六十八尺用与勾股较之和二十四尺除之得七尺为勾股较于与勾股较之和二十四尺内减勾股较七尺余十七尺为用有有勾股较求勾股法算之得勾八尺股十五尺如图甲乙丙丁为与勾股较之和自乗之一正方甲戊己庚为自乗之一正方而自乗之方内容四勾股积一勾股较自乗方积今减去四勾股积余辛壬癸子为勾股较自乗之一正方而巳丑丙寅亦为勾股较自乗之一正方再戊乙丑巳与庚己寅丁又为勾股较与相乗之二长方折半则余戊乙丑己一长方己丑丙寅一正方其戊寅长即与勾股较之和其戊乙阔即勾股较故以与勾股较之和除之而得勾股较也
　　设如有勾股积六十尺与勾股较之较十尺求勾股各几何
　　法以勾股积六十尺四因之得二百四十尺又以与勾股较之较十尺自乗得一百尺两数相减余一百四十尺折半得七十尺以与勾股较之较十尺除之得七尺为勾股较与与勾股较之较十尺相加得十七尺为用有有勾股较求勾股法算之得勾八尺股十五尺如图甲乙丙丁为自乗之一大正方内丁戊己庚为勾股较自乗之一正方辛乙壬己为与勾股较之较自乗之一正方甲辛己戊与己壬丙庚为勾股较与与勾股较之较相乗之二长方葢自乗方内容四勾股积一勾股较自乗方积今丁戊己庚既为勾股较自乗之方若于甲乙丙丁自乗方内减之则所余甲乙丙庚巳戊磬折形即与四勾股积相等又于四勾股积相等之甲乙丙庚己戊磬折形内减辛乙壬己与勾股较之较自乗之方则尚余甲辛己戊己壬丙庚二长方折半则得巳壬丙庚一长方其己壬长即与勾股较之较其己庚阔即勾股较故以与勾股较之较除之而得勾股较也

　　正勾股比例
　　设如有正勾股知勾十二尺求股与各几何法以正勾股定分之勾三分为一率股四分为二率今所设之勾一十二尺为三率推得四率十六尺为股仍以勾三分为一率五分为二率今所设之勾十二尺为三率推得四率二十尺为也葢大小两同式形其相当各界互相比之比例俱为相当比例四率【见几何原夲八卷第三节】故正勾股定分之勾三与股四之比即同于今所设之勾十二与股十六之比又正勾股定分之勾三与五之比亦同于今所设之勾十二与二十之比也
　　又防法以勾十二尺用正勾股定分之勾三分除之得四尺即知今所设之勾股形为加四倍之比例乃以正勾股定分之股四分五分各加四倍即得所求之股之各数矣
　　设如有正勾股知勾股和六十三尺求勾股各几何
　　法以正勾股定分之勾三分股四分相并得七分为一率勾三分为二率今所设之勾股和六十三尺为三率推得四率二十七尺为勾若以股四分为二率即得四率三十六尺为股若以五分为二率即得四率四十五尺为也葢正勾股定分之勾股和七尺与勾三股四五各相为比即同于今所设之勾股和六十三尺与勾二十七尺股三十六尺四十五尺各相比之比例也又防法以勾股和六十三尺用正勾股定分之勾三股四相和之七分除之得九尺即知今所设之勾股形为加九倍之比例乃以正勾股定分之勾三股四五各加九倍即得所求之各数也
　　设如有正勾股知勾股总和六十尺求勾股各几何
　　法以正勾股定分之勾三分股四分五分相并共得十二分为一率勾三分为二率今所设之勾股总和六十尺为三率推得四率十五尺为勾若以股四分为二率即得四率二十尺为股若以五分为二率即得四率二十五尺为也
　　又防法以勾股总和六十尺用正勾股定分之勾三股四五相并之十二分除之得五尺即知今所设之勾股形为加五倍之比例乃以正勾股定分之勾三股四五各加五倍即得所求之各数也
　　设如有正勾股勾九尺股十二尺求内容方邉几何法以股十二尺七归三因得五尺一寸四分二厘八毫有余或以勾九尺七归四因亦得五尺一寸四分二厘八毫有余为内容方邉也葢勾三分股四分者则以勾股和七分为一率勾三分为二率股四分为三率推得四率为内容方邉是内容方邉得股七分之三得勾七分之四也今九尺与十二尺之比仍同于三分与四分之比故以其分数相求得内容方边仍为比例四率也
　　设如有正勾股勾九尺股十二尺求内容圜径几何法以股十二尺折半得六尺或以勾九尺取其三分之二亦得六尺即为内容圜径也葢勾三分股四分五分者则于勾股和七分内减五分余二分为内容圜径【见勾股容圜第二法】是内容圜径得股四分之二得勾三分之二也今九尺与十二尺之比同于三分与四分之比故十二尺与六尺之比仍同于四与二之比而九尺与六尺之比亦仍同于三与二之比也
　　设如有正勾股知勾股和二十一尺求内容方边几何
　　法以正勾股定分比例得勾九尺股十二尺以勾九尺七归四因或以股十二尺七归三因得五尺一寸四分二厘八毫有余即内容方边也葢内容方边得勾七分之四得股七分之三【圜径见】故必先比例得勾数或股数复比例得内容方边也
　　设如有正勾股知勾股和二十一尺求内容圜径几何
　　法以正勾股定分之勾三分股四分相加之七分为一率内容圜径二分为二率今所设之勾股和二十一尺为三率推得四率六尺即内容圜径也葢勾三
　　分　　　　　　　　　　【前法】股四分五分者其内容圜径为【见前法】二分故勾股和之七分与内容二分之比即同于今所设之勾股和之二十一尺与内容圜径六尺之比也总之正勾股形知一数即得所求之各数要先以勾三股四五求得所知之定分及所求之定分【如勾股较则以勾三分与股四分相减余一分又如与勾股较之和则以勾股较一分与五分相加得六分之类】乃以所知之定分与所求之定分之比即同于今所知之数与今所求之数之比也
　　设如有正勾股面积九十六尺求勾股各几何法以正勾股定分之面积六分为一率勾三分自乗得九分为二率今所设之勾股积九十六尺为三率推得四率一百四十四尺为勾自乗之方开方得十二尺为勾如以正勾股定分之股四分自乗为二率则得今所设之股自乗之方如以正勾股定分之五分自乗为二率则得今所设之自乗之方各开方而即得各数矣或得勾而以正勾股定分之勾股各比例之亦可葢同式两勾股形其面积互相为比即同于勾股形各相当界所作正方形互相为比【见几何原夲八卷第四节】故以正勾股定分之面积六尺与勾股各方之比即同于今所设之面积九十六尺与勾股各方之比也
　　又防法以面积九十六尺用正勾股定分之面积六尺除之得十六尺开方得四尺即知今所设之勾股为各加四倍之比例乃以正勾股定分之各数各加四倍即得各数葢两直角方面形其两方面之比例比之两界之比例为连比例隔一位相加之比例【见几何原夲七卷第五节今勾股为长方之半正方与正方为比长方与长方为比其比例相同并见第六节】故积大十六倍者界必大四倍既知其大四倍则以正勾股之定分各加四倍即得矣
　　设如有正勾股知勾自乗股自乗自乗共积四百五十尺求勾股各几何
　　法以共积四百五十尺折半得二百二十五尺为自乗方积开方得一十五尺为既得则以勾股之定分比例之得九尺为勾得十二尺为股也如用面积为比例则以五分自乗之二十五分为一率勾三分自乗之九分为二率今所得之自乗方二百二十五尺为三率求得四率八十一尺为勾自乗方积开方得九尺为勾若以股四分自乗之十六分为二率则得四率一百四十四尺为股自乗方积开方得十二尺为股也葢自乗之一方既与勾自乗股自乗之二方等则勾自乗股自乗自乗之三方必与自乗之二方等故折半即得自乗之一方而开方得也

　　御制数理精蕴下编卷十三
　　钦定四库全书
　　御制数理精蕴下编卷十四
　　面部四
　　三角形

　　三角形
　　凡三角形立于圆界之一半者为直角即勾股过圆界之一半者为鋭角不及圆界之一半者为钝角然不拘鋭角钝角自一角至底边作垂线即分为两直角是仍不离乎勾股也两腰等者垂线即当底之一半而两腰不等者所分底界则有大小不同故和较相比之法因之而生葢和求较较求和要必归于勾股相求之理由勾股而得垂线则凡面积及内容方圆等形皆无不可得至于三角形角度相求之法乃割圆八线实所以极三角之用即如周髀所谓仰矩知髙俯矩知深是也故另为一卷兹但取三角形之面线相求诸法悉具图觧以次勾股使与勾股相表里焉
　　设如有等边三角形每邉十尺求中垂线几何法以底邉十尺折半得五尺为勾任以两腰之一邉十尺为勾求股得八尺六寸六分零二毫有余即为中垂线也如图甲乙丙三角形其甲乙甲丙两腰相等则其底边之乙丙两角度亦必相等【见几何原夲二卷第九节】今所求之垂线为甲丁即将甲乙丙三角形平分为两直角三角形而甲丁乙甲丁丙皆为直角其度又等故所分之两直角三角形为同式形而甲丁垂线又为两三角形所共用之邉线则所分之底边之乙丁丁丙焉得不等故将乙丙底边折半为勾任以甲乙甲丙两邉之一边为求得股为中垂线也
　　又法以底边十尺折半得五尺自乗得二十五尺三因之得七十五尺开方得八尺六寸六分零二毫有余即为中垂线也葢比勾大一倍则之自乗之方必比勾之自乗之方大四倍为连比例隔一位相加之比例【见几何原夲七卷第五节】依勾求股之法于自乗方积之四倍内减勾自乗方积之一倍余三倍即为股自乗之方积是中垂线之自乗方积为勾自乗方积之三倍故将底边折半自乗三因之即与中垂线自乗之方积等而开方得中垂线也
　　设如有鋭角三角形大腰一百二十二尺小腰一百一十二尺底一百五十尺求中垂线几何
　　法以底一百五十尺为一率大腰一百二十二尺与小腰一百一十二尺相加得二百三十四尺为二率以大腰一百二十二尺与小腰一百一十二尺相减余十尺为三率求得四率十五尺六寸为底边之较与底一百五十尺相减余一百三十四尺四寸折半得六十七尺二寸为勾以小腰一百一十二尺为求得股八十九尺六寸为中垂线也如图甲乙丙三角形甲乙为大腰甲丙为小腰乙丙为底甲丁为所求中垂线试以甲为心丙为界作一圜截甲乙大腰于庚截乙丙底于戊又将甲乙大腰引长至己作甲己线与甲丙小腰相等则己乙为两腰之和庚乙为两腰之较【葢甲庚与甲丙等故庚乙为两腰之较】乙丙为底边之和乙戊为底邉之较【葢丁丙与丁戊等故乙戊为底邉之较】今以乙丙底邉之和与乙己两腰之和为比即同于乙庚两腰之较与乙戊底边之较为比为转比例之四率【几何原夲九卷第八节自圜外一点至圜内所作之两线此两全线之比例同于圜外两叚转相比之比例】故乙丙为一率乙己为二率乙庚为三率求得四率为乙戊既得乙戊则于乙丙底边内减去乙戊余戊丙折半得丁丙为勾甲丙为求为股为甲丁中垂线也