御制数理精蕴

　　又法既得两借数之差用互乗以齐其分以前借数三十斤互乗后少一百四十斤为加三十倍得少四千二百斤以后借数九十斤互乘前少一百八十斤为加九十倍得少一万六千二百斤乃以互乗所得两少数相减余一万二千斤为二率原两少数相减余四十斤为一率甲炉一为三率得四率三百斤即甲炉之重数也葢所加三十倍与九十倍相差为六十倍则互乗所得两少数相差之一万二千斤即六十倍总差数也然甲炉重数为总差数之四十分之六十【之得五十斤盖两差数之较为四十则两借数之较为六十少数为一百八十则借数加二百七十皆四十与六】必为六十倍总差数之四十分之一【十之比例也葢四十分之六十者将总差数分为四十分而得其六十分也若六十倍总差数则其一分】故以四十分与一万二千斤之比即同于一分与三百斤之比也
　　设如有铜铸甲乙二钟未称斤数但云取乙钟铜八十斤入甲钟则所余得甲钟四分之一若取甲钟铜八十斤入乙钟则所余得乙钟三分之二问二钟各得铜数若干
　　法先借一百二十斤为甲钟衰数取乙钟铜八十斤加入甲钟则【即六十分也】甲钟得二百斤此数四分【因取乙钟铜八十斤入甲钟所余得甲钟之四分之一故四分之为乙钟之一分】加八十斤得一百三十斤为乙钟衰数【此乙钟未取八十斤入甲钟时得一百三十斤也】若取甲钟铜八十斤加入乙钟则乙钟得二百一十斤而甲钟止余四十斤【甲钟一百二十斤中去八十斤故余四十斤】加一半二十斤得六十斤为乙钟数【因取甲钟铜八十斤入乙钟所余得乙钟三分之二故四十斤为三分之二而加一分为二十斤共六十斤为乙钟数】而与乙钟二百一十斤相较则少一百五十斤再借三百六十斤为甲钟衰数取乙钟铜八十斤加入甲钟则甲钟得四百四十斤此数四分之得一百一十斤【因取乙钟铜八十斤入甲钟所余得甲钟之四分之一故四分之为乙钟之一分】加八十斤得一百九十斤为乙钟衰数【此乙钟未取八十斤入甲钟时得一百九十斤也】若取甲钟铜八十斤加入乙钟则乙钟得二百七十斤而甲钟止余二百八十斤【甲钟三百六十斤中去八十斤故余二百八十斤】加一半一百四十斤得四百二十斤为乙钟数【因取甲钟铜八十斤入乙钟所余得乙钟三分之二故二百八十斤为三分之二而加一分为一百四十斤共四百二十斤为乙钟数】而与乙钟二百七十斤相较则多一百五十斤乃将前借数一百二十斤少一百五十斤书于右后借数三百六十斤多一百五十斤书于左用盈朒法算之于是以一多一少两数相加得三百为一率两借数相减余二百四十为二率前借数与乙衰相较之少一百五十斤为三率得四率一百二十斤加前借数一百二十斤共二百四十斤为甲钟斤数加入乙钟铜八十斤为三百二十斤四分之得八十斤【既取乙钟铜八十斤入甲钟故余此数】再加入甲钟铜八十斤得一百六十斤为乙钟斤数也
　　又法既得两借数之差用互乘以齐其分以前借数一百二十斤互乘后多一百五十斤为加一百二十倍得多一万八千斤以后借数三百六十斤互乗前少一百五十斤为加三百六十倍得少五万四千斤乃以互乘所得一多一少两数相加得七万二千斤为二率原一多一少两数相加得三百斤为一率甲钟一为三率得四率二百四十斤即甲钟重数也葢所加一百二十倍与三百六十倍相差为二百四十倍则互乘所得一多一少两数相加之七万二千斤即二百四十倍总差数也然甲钟重数为总差数之三百分之二百四十必为二百四十倍总差数之三百分之一故以三百分与七万二千斤之比即同于一分与二百四十斤之比也
　　设如甲丙二人入山采矿皆不知所得之数但云甲与丙二十四两则所余得丙之四分之一若丙与甲三十两则所余得甲之六分之一问两人各得之数若干
　　法先借四十两为丙之衰数加甲与二十四两得六十四两此数四分之得十六两【一因甲得丙四分之一故将丙数四分】加二十四两得四十两为甲之衰数【也因甲与丙二十四两所余得丙四分之一故仍以二十四两加入为甲衰数】若丙与甲三十两则甲得七十两而丙止余十两六因
　　之得　　　　　　　　　　【也】六十两为甲【因丙与甲三十两所余得甲六分之一故将丙之十两六因之为甲数】数而与甲七十两相较则少十两再借六十两为丙之衰数加甲与二十四两得八十四两此数四分之得二十一两加二十四两得四十五两为甲之衰【其所加所分之故同前】数若丙与甲三十两则甲得七十五两而丙止余三十两六因之得一百八十两而与甲七十五两相较又多一百零五两乃将前借数四十两少十两书于右后借数六十两多一百零五两书于左用盈朒法算之于是以一多一少两数相加得百一十五为一率两借数相减余二十为二率前借数与甲相较之少十两为三率得四率一两七钱三分九厘一毫有余加前借数四十两共四十一两七钱三分九厘一毫有余为丙所得之数此数加二十四两得六十五两七钱三分九厘一毫有余再四分之得一十六两四钱三分四厘七毫有余【余之六分之一也因甲得丙银四】加入二十四两得四十两四钱三分四厘七毫有余为甲所得之数【分之一故四分之甲既与丙二十四两故止剰一十六两有余若未与丙二十四两其全数】若将甲数加三十两得七十两四钱三分四厘七毫有余将丙数减三十两得十一两七钱三分九厘一毫有余此丙十一两七钱三分九厘一毫有余即为甲七十两四钱三分四厘七毫有
　　【则四十两】　　　【有余也因丙与甲三十两则丙数居甲数之六分之一故将四十两有余再加八丙三十两得七十两有余则丙数内减去三十两止得十一两有余故为甲数之六分之一也】
　　又法既得两借数之差用互乘以齐其分以前借数四十两互乘后多一百零五两为加四十倍得多四千二百两以后借数六十两互乗前少十两为加六十倍得少六百两乃以互乗所得一多一少两数相加得四千八百两为二率原一多一少两数相加得一百一十五两为一率一人为三率得四率四十一两七钱三分九厘一毫有余即丙所得之数也葢所加四十倍与六十倍相差为二十倍则互乗所得一多一少两数相加之四千八百两即二十倍总差数也然丙数为总差数之一百一十五分之二十必为二十倍总差数之一百一十五分之一故以一百一十五分与四千八百两之比即同于一分与四十一两七钱三分九厘一毫有余之比也
　　设如有铜缸磁缸二面若于铜缸内添水五十斤则比磁缸内水多二倍若于磁缸内添水五十斤则与铜缸内水数相等问二缸各得水数若干法先借十斤为铜缸水之衰数加五十斤得六十斤此数三分之得二十斤为磁缸水之衰数【因铜缸加五十斤则比磁缸水多二倍故三分之为磁缸水衰数也】以磁缸水衰数加五十斤得七十斤【因磁缸加五十斤与铜缸水相等故亦加五十斤】比所借铜缸水之衰数十斤多六十斤则是所借铜缸水之衰数十斤少六十斤再借二十二斤为铜缸水之衰数加五十斤得七十二斤此数三分之得二十四斤为磁缸水之衰数以磁缸水衰数加五十斤得七十四斤比所借铜缸水之衰数二十二斤多五十二斤则是所借铜缸水之衰数二十二斤少五十二斤乃以前借数十斤少六十斤书于右后借数二十二斤少五十二斤书于左作两朒法算之于是两少数相减余八斤为一率两借数相减余十二斤为二率前借数与铜缸相较之少六十斤为三率得四率九十斤加入前借数十斤共一百斤即铜缸之水数加五十斤得一百五十斤三分之得五十斤即磁缸之水数以磁缸水数加五十斤亦得一百斤与铜缸水数相等也
　　又法既得两借数之差用互乗以齐其分以前借数十斤互乗后少五十二斤为加十倍得少五百二十斤以后借数二十二斤互乗前少六十斤为加二十二倍得少一千三百二十斤乃以互乗所得两少数相减余八百斤为二率原两少数相减余八斤为一率铜缸一为三率得四率一百斤即铜缸之水数也葢所加十倍与二十二倍相差为十二倍则互乗所得两少数相差之八百斤即十二倍总差数也然铜缸水数为总差数之八分之十二必为十二倍总差数之八分之一故以八分与八百斤之比即同于一分与一百斤之比也
　　设如有羊三羣甲羣四百只丙羣为甲丁两羣二分之一丁羣为甲丙两羣三分之一问丙丁两羣羊数各若干
　　法先借三百只为丙羣衰数丙羣既为甲丁两羣二分之一则甲丁两羣当有六百只内减甲羣四百只余二百只为丁羣衰数又并甲丙二羣得七百只丁羣既为甲丙两羣三分之一则将丁羣二百只三因之得六百只与甲丙两羣七百只相较则少一百只再借二百四十只为丙羣衰数丙羣既为甲丁两羣二分之一则甲丁两羣当有四百八十只内减甲羣四百只余八十只为丁羣衰数又并甲丙二羣得六百四十只丁羣既为甲丙两羣三分之一则将丁羣八十只三因之得二百四十只与甲丙两羣六百四十只相较则少四百只乃将前借数三百只少一百只书于右后借数二百四十只少四百只书于左用两不足法算之于是以两少数相减余三百只为一率两借数相减余六十只为二率前借数与甲丙两羣相较之少一百只为三率得四率二十只加前借数三百只共三百二十只即丙羣之羊数加入甲羣四百只得七百二十只三分之得二百四十只即丁羣之羊数也若并甲丁两羣得六百四十只折半得三百二十只即丙羣为甲丁两羣二分之一也
　　又法既得两借数之差用互乗以齐其分以前借数三百只互乗后少四百只为加三百倍得少一十二万只以后借数二百四十只互乗前少一百只为加二百四十倍得少二万四千只乃以互乗所得两少数相减余九万六千只为二率原两少数相减余三百只为一率丙一羣为三率得四率三百二十只即丙羣之羊数也葢所加三百倍与二百四十倍相差为六十倍则互乗所得两少数相差之九万六千只即六十倍总差数也然丙羣为总差数之三百分之六十必为六十倍总差数之三百分之一故以三百分与九万六千只之比即同于一分与三百二十只之比也
　　设如有田一百亩令甲乙二人分耕若以甲田三分之一与乙以乙田五分之一与甲则各得五十亩问甲乙原田数各若干
　　法先借三十亩为甲原田之衰数此数与一百亩相减余七十亩为乙原田之衰数甲原田三十亩之三分之一为十亩乙原田七十亩之五分之一为十四亩若甲与乙十亩乙与甲十四亩则甲得田三十四亩【甲三十亩与乙十亩余二十亩又得乙所与十四亩故为三十四亩】与各五十亩相比则甲少十六亩再借六十亩为甲原田之衰数此数与一百亩相减余四十亩为乙原田之衰数甲原田六十亩之三分之一为二十亩乙原田四十亩之五分之一为八亩若甲与乙二十亩乙与甲八亩则甲得田四十八亩【甲六十亩与乙二十亩余四十亩又得乙所与八亩故为四十八亩】与各五十亩相比则甲少二亩乃将前借数三十亩少十六亩书于右后借数六十亩少二亩书于左用两不足法算之于是以两少数相减得十四亩为一率两借数相减余三十亩为二率前借数与五十亩相较之少十六亩为三率得四率三十四亩二分八厘有余加前借数三十亩共六十四亩二分八厘有余即甲原田之数与一百亩相减余三十五亩七分一厘有余即乙原田之数也若甲以其三分之一二十一亩四分二厘有余与乙而乙以其五分之一七亩一分四厘有余与甲则两人各得五十亩矣
　　又法既得两借数之差用互乗以齐其分以前借数三十亩互乗后少二亩为加三十倍得少六十亩以后借数六十亩互乗前少十六亩为加六十倍得少九百六十亩乃以互乗所得两少数相减余九百亩为二率原两少数相减余十四亩为一率甲一人为三率得四率六十四亩二分八厘有余即甲原田之数也葢所加三十倍与六十倍相差为三十倍则互乗所得两少数相差之九百亩即三十倍总差数也然甲原田为总差数之十四分之三十必为三十倍总差数之十四分之一故以十四分与九百亩之比即同于一分与六十四亩二分八厘有余之比也
　　设如甲丙丁三人共有银二百一十两只云甲与丙四分之一丁与甲二分之一丙与丁三分之一则每人均得银七十两问各人原有之银数若干法先借十两为甲银衰数此数减四分之一二两五钱余七两五钱与七十两相减余六十二两五钱为丁银二分之一加一倍得一百二十五两为丁银衰数【因甲与丙四分之一丁与甲二分之一成七十两故于甲衰十两内减四分之一余七两五钱再加六十二两五钱方凑成七十两故以六十二两五钱即为丁银二分之一加一倍得丁银全数也】又并甲丁两衰数得一百三十五两与总银二百一十两相减余七十五两为丙银衰数【因三人共银二百一十两减去甲银十两丁银一百二十五两所余七十五两即丙之银数也】又于丙衰七十五两内减三分之一二十五两余五十两加甲衰四分之一二两五钱共得五十二两五钱【因丙与丁三分之一甲与丙四分之一成七十两故于丙衰七十五两内减与丁二十五两又加甲所与二两五钱共五十二两五钱也】此数与七十两相较则少十七两五钱再借二十八两为甲银衰数此数减四分之一七两余二十一两与七十两相减余四十九两为丁银二分之一加一倍得九十八两为丁银衰数【甲银减四分之一余四十九两既为丁银二分之一故加一倍即为丁银全数也】又并甲丁两衰数得一百二十六两与总银二百一十两相减余八十四两为丙银衰数【因三人共银二百一十两减去甲银二十八两丁银九十八两其余八十四两即丙之银数也】又于丙衰八十四两内减三分之一二十八两余五十六两加甲衰四分之一七两共得六十三两【因丙与丁三分之一甲与丙四分之一成七十两故于丙衰八十四两内减与丁二十八两又加甲所与七两共得六十三两也】此数与七十两相较则少七两乃将前借数十两少十七两五钱书于右后借数二十八两少七两书于左用两不足法算之于是以两少数相减余十两五钱为一率两借数相减余十八两为二率前借数与七十两相较之少十七两五钱为三率得四率三十两加前借十两共四十两即甲之银数减四分之一十两余三十两【因去一分与丙也】与七十两相减余四十两倍之得八十两即丁之银数并甲丁银数得一百二十两与总银二百一十两相减余九十两即丙之银数也此叠借三色之法也借衰时加减甚繁然条理分明自能了然如此法前借数甲衰十两丙衰七十五两丁衰一百二十五两若于丁衰减去二分之一【减六十二两五钱与甲】加丙衰三分之一【丙与丁二十五两】得八十七两五钱与七十两相较则多十七两五钱丙差与丁差其数一也至再借二十八两为甲衰其加减亦与前借数同惟甲成七十两至丙则少七两丁则多七两其数相同故但取丙差数就其两差之较数以比例之得甲之原银数也