御制数理精蕴

　　又法以银寸方定率九两与金寸方定率十六两八钱相减余七两八钱为一率金一寸重十六两八钱为二率以共积二十七寸用银寸方定率九两乗之得二百四十三两与共重三百二十一两相减余七十八两为三率得四率一百六十八两即金数于共重三百二十一两内减之余一百五十三两即银数如以银一寸重九两为二率以共积二十七寸用金寸方定率十六两八钱乗之得四百五十三两六钱与共重三百二十一两相减余一百三十二两六钱为三率得四率一百五十三两亦即银数也此法盖以金一寸比银一寸其重相差七两八钱是知多七两八钱而金为十六两八钱今多七十八两则金必为一百六十八两也又少七两八钱而银为九两今少一百三十二两六钱则银必为一百五十三两也
　　设如有金器一件内有银相参合共重一百七十两四钱问金银各重若干
　　法用一桶盛水令满将金器入内看溢出之水得正方寸数防何假如得十二寸即为金银共积以金寸方定率十六两八钱乗之得二百零一两六钱与共重一百七十两四钱相较则共重少三十一两二钱又以银寸方定率九两乗之得一百零八两与共重一百七十两四钱相较则共重多六十二两四钱乃以多少两数相并得九十三两六钱为一率金十二寸重二百零一两六钱为二率多六十二两四钱为三率得四率一百三十四两四钱即金数于共重一百七十两四钱内减之余三十六两即银数如以银十二寸重一百零八两为二率少三十一两二钱为三率得四率三十六两亦即银数也
　　又法以金寸方定率十六两八钱与银寸方定率九两相减余七两八钱为一率金一寸重十六两八钱为二率以共积十二寸用银寸方定率九两乗之得一百零八两与共重一百七十两四钱相减余六十二两四钱为三率得四率一百三十四两四钱即金数于共重一百七十两四钱内减之余三十六两即银数如以银一寸重九两为二率以共积十二寸用金寸方定率十六两八钱乗之得二百零一两六钱与共重一百七十两四钱相减余三十一两二钱为三率得四率三十六两亦即银数也
　　设如有金铸一器重三百两俱系九六成色今用九九成色及九一成色二防金替换问各得防何法以九六成色与三百两相乗得二百八十八两为原金数乃以九九成色与三百两相乗得二百九十七两与原金二百八十八两相较则原金少九两又以九一成色与三百两相乗得二百七十三两与原金二百八十八两相较则原金多十五两爰以多少两数相并得二十四两为一率三百两为二率原金比九一成色多十五两为三率得四率一百八十七两五钱即九九成色金数于共重三百两内减之余一百一十二两五钱即九一成色金数如以原金比九九成色少九两为三率得四率一百一十二两五钱亦即九一成色金数也盖九六成色金三百两为十成金二百八十八两而九九成色金三百两为十成金二百九十七两九一成色金三百两为十成金二百七十三两是知九九比九一多二十四两而九九成色金为三百两今九六比九一多十五两则九九成色金必为一百八十七两五钱也又九一比九九少二十四两而九一成色金为三百两今九六比九九少九两则九一成色金必为一百一十二两五钱也
　　又法以九九与九一相减余八分为一率金三百两为二率以九一与九六相减余五分为三率得四率一百八十七两五钱即九九成色金数于共重三百两内减之余一百一十二两五钱即九一成色金数如以九九与九六相减余三分为三率得四率一百一十二两五钱亦即九一成色金数也盖九九比九一多八分而九九成色金为三百两今九六比九一多五分则九九成色金必为一百八十七两五钱也又九一比九九少八分而九一成色金为三百两今九六比九九少三分则九一成色金必为一百一十二两五钱也
　　设如甲乙二人有金成色不防甲金一两可凖银一十二两乙金一两可凖银八两今欲镕为一处令金一两凖银九两问甲乙二人于一两金中各出金防何
　　法以凖银九两为中数与甲金凖银十二两相较少三两与乙金凖银八两相较多一两乃以多少两数并之得四两为一率金一两为二率比甲少三两为三率得四率七钱五分即乙所出金数如以比乙多一两为三率得四率二钱五分即甲所出金数也此法因银十二两与八两皆金一两所凖之数虽相乗其数不动故直以十二与八相减作一率【以十二与九八与九之两较相并得四即十二与八相减之余数也】盖乙比甲银少四两而乙金为一两今比甲银少三两则乙金必为七钱五分也又甲比乙银多四两而甲金为一两今比乙银多一两则甲金必为二钱五分也
　　设如有钱四千九百九十五文买栗枣共五千枚只云栗九枚钱一十一文枣七枚钱四文问二色与价各得若干
　　法先用互乗以齐其分以栗九与枣七相乗得六十三为乗出之縂物分即以六十三乗縂钱四千九百九十五文得三十一万四千六百八十五文为乗出之縂钱数又以枣七乗栗价十一文得七十七文为乗出之栗价以栗九乗枣价四文得三十六文为乗出之枣价然后以栗枣共五千枚用栗价七十七文乗之得三十八万五千文与乗出之縂钱三十一万四千六百八十五文相较则縂钱少七万零三百一十五文又以栗枣共五千枚用枣价三十六文乗之得一十八万文与乗出之縂钱三十一万四千六百八十五文相较则縂钱多一十三万四千六百八十五文乃以栗价七十七文与枣价三十六文相减余四十一文为一率一枚为二率多一十三万四千六百八十五文为三率得四率三千二百八十五枚即栗数于共五千枚内减之余一千七百一十五枚即枣数如以少七万零三百一十五文为三率得四率一千七百一十五枚亦即枣数也既得栗数则以九枚为一率十一文为二率三千二百八十五枚为三率得四率四千零一十五文即栗之共价既得枣数则以七枚为一率四文为二率一千七百一十五枚为三率得四率九百八十文即枣之共价也如欲先得各价则以四十一文为一率栗价七十七文为二率多一十三万四千六百八十五文为三率得四率二十五万二千九百四十五文以六十三除之得四千零一十五文即栗之共价于共钱四千九百九十五文内减之余九百八十文即枣之共价如以四十一文为一率枣价三十六文为二率少七万零三百一十五文为三率得四率六万一千七百四十文以六十三除之得九百八十文亦即枣之共价也此法九章名为贵贱相和盖因栗九枚枣七枚其数不同故用互乗以齐其分得栗六十三枚价七十七文枣六十三枚价三十六文今以六十三枚当一枚则为栗一枚价七十七文枣一枚价三十六文是其价各加六十三倍故将縂钱亦加六十三倍即为栗枣共五千枚共价三十一万四千六百八十五文而栗一枚比枣一枚其价相差四十一文是知栗价比枣价多四十一文而栗为一枚今共价比枣价多一十三万四千六百八十五文则栗必为三千二百八十五枚也又枣价比栗价少四十一文而枣为一枚今共价比栗价少七万零三百一十五文则枣必为一千七百一十五枚也其先求各价者盖因栗价比枣价多四十一文而栗价为七十七文今共价比枣价多一十三万四千六百八十五文则栗价少为二十五万二千九百四十五文因各价皆为加六十三倍故以六十三除之得四千零一十五文为栗之共价也又枣价比栗价少四十一文而枣价为三十六文今共价比栗价少七万零三百一十五文则枣价必为六万一千七百四十文亦以六十三除之得九百八十文为枣之共价也
　　又法以枣七枚栗九枚共五千枚列于上枣价四文栗价十一文共价四千九百九十五文列于下乃以下枣价四文遍乗上枣七枚栗九枚共五千枚得枣二十八枚栗三十六枚共二万枚又以上枣七枚遍乗下枣价四文栗价十一文共价四千九百九十五文得枣价二十八文栗价七十七文共价三万四千九百六十五文两下相较则枣数与枣价同为二十八彼此减尽枣价比栗数多四十一共价比共数多一万四千九百六十五爰以多四十一为一率栗九枚为二率多一万四千九百六十五为三率得四率三千二百八十五枚即栗数于五千枚内减之余一千七百一十五枚即枣数如以栗价十一文为二率得四率四千零一十五文即栗之共价于四千九百九十五文内减之余九百八十文即枣之共价也若欲先得枣数则以栗九枚价十一文移于前枣七枚价四文移于后乃以下栗价十一文遍乗上栗九枚枣七枚共五千枚得栗九十九枚枣七十七枚共五万五千枚又以上栗九枚遍乗下栗价十一文枣价四文共价四千九百九十五文得栗价九十九文枣价三十六文共价四万四千九百五十五文两下相较则栗数与栗价同为九十九彼此减尽枣价比枣数少四十一共价比共数少一万零四十五爰以少四十一为一率枣七枚为二率少一万零四十五为三率得四率一千七百一十五枚即枣数如以枣价四文为二率得四率九百八十文即枣之共价也此法与方程互乗齐分之理同其先求栗数而以枣数列于前者盖将枣数栗数共数皆加四倍枣价栗价共价皆加七倍则枣数与枣价相同是为每枣一枚价一文夫枣数与枣价既相同而减尽无余则枣栗共数内之共枣数与枣栗共价内之共枣价亦必相同而减尽无余所余者即为共栗价多于共栗数之较是比每栗一枚价一文所多之数是知栗价比栗数多四十一文而栗为九枚栗价为十一文今共栗价比共栗数多一万四千九百六十五文则栗必为三千二百八十五枚栗价必为四千零一十五文也其先求枣数而以栗数列于前者盖将栗数枣数共数皆加十一倍栗价枣价共价皆加九倍则栗数与栗价相同是为每栗一枚价一文夫栗数与栗价既相同而减尽无余则栗枣共数内之共栗数与栗枣共价内之共栗价亦必相同而减尽无余所余者即为共枣价少于共枣数之较是比每枣一枚价一文所少之数是知枣价比枣数少四十一文而枣为七枚枣价为四文今共枣价比共枣数少一万零四十五文则枣必为一千七百一十五枚枣价必为九百八十文也
　　设如有僧一百人给馒首一百个大僧一人给三个小僧三人给一个问大小僧数及各得馒首若干法先用互乗以齐其分以大僧一人与小僧三人相乗得三人为乗出之縂僧数即以三人乗馒首一百个得三百个为乗出之共馒首数又以小僧三人乗大僧馒首三个得九个为乗出之大僧馒首数以大僧一人乗小僧馒首一个仍得一个为乗出之小僧馒首数然后以共僧一百人与大僧馒首九个相乗得九百个与乗出之共馒首三百个相较则共馒首少六百个又以共僧一百人与小僧馒首一个相乗得一百个与乗出之共馒首三百个相较则共馒首多二百个乃以大僧馒首九个与小僧馒首一个相减余八个为一率一人为二率多二百个为三率得四率二十五人即大僧数于共僧一百人内减之余七十五人即小僧数如以少六百个为三率得四率七十五人亦即小僧数也既得僧数则以一人为一率三个为二率大僧二十五人为三率得四率七十五个即大僧馒首数又以三人为一率一个为二率小僧七十五人为三率得四率二十五个即小僧馒首数也如欲先得馒首数则仍以八个为一率大僧馒首九个为二率今多二百个为三率得四率二百二十五个三归之得七十五个即大僧馒首数于共馒首一百个内减之余二十五个即小僧馒首数如以八个为一率小僧馒首一个为二率今少六百个为三率得四率七十五个三归之得二十五个亦即小僧馒首数也此法用互乗得大僧三人馒首九个小僧三人馒首一个今以三人当一人则为大僧一人馒首九个小僧一人馒首一个是馒首为加三倍故将共馒首亦加三倍即为共僧一百人共馒首三百个而大僧一人比小僧一人馒首差八个是知多八个而大僧为一人今多二百个则大僧必为二十五人也又少八个而小僧为一人今少六百个则小僧必为七十五人也其先求馒首者因多八个而大僧馒首为九个今多二百个则大僧馒首必为二百二十五个因馒首为加三倍故以三归之得七十五个为大僧馒首数又少八个而小僧馒首为一个今少六百个则小僧馒首必为七十五个亦以三归之得二十五个为小僧馒首数也
　　又法以小僧三人大僧一人共僧一百人列于上小僧馒首一个大僧馒首三个共馒首一百个列于下乃以下小僧馒首一个遍乗上小僧三人大僧一人共僧一百人仍得原数又以上小僧三人遍乗下小僧馒首一个大僧馒首三个共馒首一百个得小僧馒首三个大僧馒首九个共馒首三百个两下相较则小僧人数与馒首数同为三彼此减尽大僧馒首数比人数多八共馒首数比共人数多二百爰以多八为一率大僧一人为二率多二百为三率得四率二十五人即大僧数于共一百人内减之余七十五人即小僧数如以大僧馒首三个为二率得四率七十五个即大僧馒首数于共馒首一百个内减之余二十五个即小僧馒首数也若欲先得小僧数则以大僧一人馒首三个移于前小僧三人馒首一个移于后乃以下大僧馒首三个遍乗上大僧一人小僧三人共僧一百人得大僧三人小僧九人共僧三百人又以上大僧一人遍乗下大僧馒首三个小僧馒首一个共馒首一百个仍得原数两下相较则大僧与大僧馒首同为三彼此减尽小僧馒首数比人数少八共僧馒首数比共人数少二百爰以少八为一率小僧三人为二率少二百为三率得四率七十五即小僧人数如以小僧馒首一个为二率得四率二十五个即小僧馒首数也此法先求大僧数而以小僧列于前者盖将小僧馒首大僧馒首共僧馒首数皆加三倍则小僧人数与馒首数相同是为每小僧一人馒首一个夫小僧数与馒首数既相同而减尽无余则共僧数内之共小僧数与共馒首数内之共小僧馒首数亦必相同而减尽无余所余者即为大僧共馒首数多于共人数之较是比每大僧一人馒首一个所多之数是知馒首比人数多八个而大僧为一人大僧馒首为三个今馒首比人数多二百个则大僧必为二十五人大僧馒首必为七十五个也其先求小僧数而以大僧列于前者盖将大僧小僧共僧数皆加三倍则大僧数与馒首数相同是为每大僧一人馒首一个夫大僧数与馒首数既相同而减尽无余则共僧数内之共大僧数与共馒首数内之共大僧馒首数亦必相同而减尽无余所余者即为小僧馒首数少于小僧数之较是比每小僧一人馒首一个所少之数是知少八个而小僧为三人小僧馒首为一个今少二百个则小僧必为七十五人小僧馒首必为二十五个也