御制数理精蕴

　　第十九
　　凡相连比例三数其首数与末数有用一数可以度尽者有用一数不可以度尽者如四八十六相连比例之三数其首数四与末数十六为彼此有一数可以度尽之数也如四六九相连比例之三数其首数四与末数九为彼此无一数可以度尽之数也然此两种相连比例虽有度尽度不尽之分因其首数与中数之比同于中数与末数之比故总谓之相连比例之数焉葢末数可用首数平分即为有度尽之连比例数末数不可用首数平分即为无度尽之连比例数也且首末两数彼此有一数可以度尽者此三数非相当比例之至小数若首末两数彼此无一数可以度尽者此三数即为相当比例之至小数也如四八十六之三数其首末两数为彼此有一数可以度尽之数而中数亦必为此一数可以度尽之数试用二以度之则得二四八之连比例三数或用四以度之则得一二四之连比例三数皆与四八十六之比例相同而比四八十六之数为小故四八十六非相当比例之至小数也如四六九之三数其首末两数为彼此无一数可以度尽之数故中数亦为无一数可以度尽之数既无一数可以彼此度尽则为相当比例数内之至小数也明矣
　　第二十
　　凡同式两平方数其间必有相连比例一数也如有甲乙丙丁六戊己庚辛二十四同式两平方数此两数之间必有壬十二为相连比例之一数焉葢甲乙丙丁戊己庚辛既为同式平方数则其每边皆可为比例如甲乙二与甲丁三之比同于戊己四与戊辛六之比而甲乙二与戊己四之比亦同于甲丁三与戊辛六之比也今以甲丁三与甲乙二相因得六甲丁三与戊己四相因得十二则六与十二之比同于甲乙二与戊己四之比矣又戊己四与甲丁三相因得十二戊辛六与戊己四相因得二十四则十二与二十四之比同于甲丁三与戊辛六之比矣夫甲丁三与戊辛六之比原同于甲乙二与戊己四之比则六与十二之比亦必同于十二与二十四之比矣又若两正方数之间亦必有相连比例之一数也如有甲四丙九两正方数此四与九两数之间必有乙六为相连比例之一数焉葢两正方数其式既同故必有相连比例一数且两正方数之比例同于其两边所作连比例隔一位之比例【见几何原本七卷第五节】今甲方边为二丙方边为三求其与二三相当连比例之第三数则以二自乘得四以三自乘得九以二乘三得六此四与六六与九之三数即为与二三相当之连比例数而其首数四与末数九既与甲丙两方数等则中数六亦必为甲丙两方数间之连比例数矣
　　第二十一
　　凡同式两平方数相乘得数为正方数也如有甲乙丙丁六戊己庚辛二十四为同式两平方数相乘得一百四十四即为正方数矣葢同式两平方数之间原有相连比例一数今此六与二十四之间必有十二之一数且连比例三率以首末两率相乘与中率自乘之数等则此六与二十四两平方数相乘所得之一百四十四即为中率十二自乘之数矣又若两正方数相乘得数亦仍为正方数其方根即原两方根相乘之数也如有甲四丙九两正方数此两数相乘得三十六仍为正方数其方根为六亦即甲方根二与丙方根三相乘之数也葢此两方数俱为正方即为同式两平方数矣因其式同故相乘亦仍得正方数也凡数有先各自乘而后相乘者有先相乘而后自乘者其理无异故其得数皆等今以二自乘得四以三自乘得九复以四九相乘得三十六此先各自乘而后相乘也以二与三相乘得六复以六自乘得三十六此先相乘而后自乘也且四与九积也积与积乘仍得积二与三根也根与根乘仍得根此亦理之必然者也
　　第二十二
　　凡两正立方数之间必有相连比例之两数也如有甲八丁二十七两正立方数此八与二十七之间必有乙十二丙十八为相连比例之两数焉葢两正立方之比例同于其两边所作连比例隔二位之比例【见几何原本十卷第四节】今甲方边为二丁方边为三求其与二三相当连比例之第三第四数则以二自乘得四以三自乘得九以二与三相乘得六此四六九为连比例三数又以二递乘此四六九三数得八十二十八之三连比例数复以三递乘四六九三数得十二十八二十七之三连比例数除相同者不计其二十七即连比例之第四数则八与十二十二与十八十八与二十七皆为与二三相当之连比例数而其首数八与末数二十七既与甲丁两立方数等则其中数之十二十八为甲丁两立方数间连比例之两数可知矣
　　第二十三
　　凡两正立方数相乘得数仍为正方数而其方根即原两立方根相乘之数也如有甲八丁二十七两正立方数此两数相乘得二百一十六仍为正立方数而其方根为六亦即甲立方根二与丁立方根三相乘之数也葢此两立方数俱为正方即为同式两立方数矣因其式同故相乘亦仍得正立方也凡数有先自乘再乘而后以所得之数相乘者有先以两数相乘而后以所得之数自乘再乘者其得数皆等故二自乘再乘得八三自乘再乘得二十七复以八与二十七相乘得二百一十六此先各自乘再乘而后以所得之数相乘也以二与三相乘得六复以六自乘再乘亦得二百一十六此先以两数相乘而后以所得之数自乘再乘也且八与二十七积也以积乘积仍得积二与三根也以根乘根仍得根此又理之自然者也第二十四
　　凡两平方数若一边相等则此两平方之比例同于其不等边之比例也如有甲丙戊庚两平方数其甲丙平方之甲乙边为四而戊庚平方之戊已边亦为四甲丙平方之乙丙边为六而戊庚平方之己庚边为八则此两平方数二十四与三十二之比即同于其不等边六与八之比也葢甲乙平方数二十四者四之六倍而戊庚平方数三十二者四之八倍也然则二十四与三十二之比即同于六与八之比矣二十四与三十二之比既同于六与八之比则两平方数之比例同于其不等边之比例可知矣
　　第二十五
　　凡两立方数其底积相等则此两立方之比例同于其髙之比例也如有甲乙丙丁两立方数其甲乙立方之戊乙底为六而丙丁立方之己丁底亦为六甲乙立方之甲戊髙为四而丙丁立方之丙己髙为五则此两立方数二十四与三十之比即同于其两立方之高四与五之比也葢甲乙立方数二十四者六之四倍而丙丁立方数三十者六之五倍也然则二十四与三十之比即同于四与五之比矣二十四与三十之比既同于四与五之比则两立方数之比例同于其髙之比例可知矣
　　第二十六
　　凡两线两面两体用一度【如尺寸之属】可以度尽者此类之线面体皆为有整分可以度尽者也设如有甲乙两线甲线分为五分乙线如甲线度分之得七分无余则此二线即为一度彼此可以度尽者矣若将此二线各为正方面各为正方体则其两面两体亦皆为整分彼此可以度尽者也至如两线两面两体不可以一度度尽者此类之线面体皆为无整分可以度尽者也如丙丁戊己方面其丙丁边线为五分而丙戊对角线则为七分有余乃为彼此无度尽之数矣葢以丙丁边之五分为度则丙戊线得七分有余或将丙戊线为七分整而以其分为度则丙丁线得五分不足凡此类之线面体皆为无整分彼此可以度尽之数也
　　第二十七
　　凡正方一边线与对角线无一度可以彼此度尽者葢以本方积与对角线所成方积比之必有一数非正方数也夫对角线自乘所作之方数为本方积之二倍如本方积一则对角线所作之方为二本方积四则对角线所作之方为八此一与二四与八之间无相连比例之整数故一为正方数则二非正方数四为正方数而八亦非正方数二与八既非正方数则边必有零余而不能尽矣或对角线所作方积为四则本方积为二对角线所作方积为十六则本方积为八此四与二十六与八之间亦无相连比例之整数故四为正方数而二非正方数十六为正方数而八又非正方数然则对角线所作方积固为正方数而本方积复不能成正方数其边必有零余而不能尽矣故凡正方边线与对角线断无一度可以彼此度尽之理也
　　第二十八
　　凡正方面与平圆面同径者其积之比例同于其周围边线之比例也如甲乙丙丁正方面戊己庚辛平圆面其戊壬庚之径相等则此方积与圆积之比例同于方周于圆周之比例也何以见之以正方面之壬庚半径为髙甲乙乙丙丙丁丁甲之全周为底作一子甲直角长形方则此长方形之积比正方形之积必大一倍又以壬庚半径为髙庚己己戊戊辛辛庚全周为底作一壬庚直角长方形则此长方形之积比平圆形之积亦必大一倍凡直角三角形之小边与圆形之半径等而三角形之大边与圆形之全周等者三角形之积与圆形之积等也今此长方形与三角形同底同髙其积比三角形必大一倍然则壬庚长方形比圆形大一倍可知也夫壬庚子甲两长方形既同以壬庚为髙则一边数等一边相等则其积之比例必同于其不等边之比例而全与全之比例原同于半与半之比例故两长方形之比例必同于庚庚与甲甲之比例而方与圆之比例亦必同于庚庚与甲甲之比例矣甲甲即方周而庚庚即圆周然则方周与圆周之比例岂非方积与圆积之比例乎
　　第二十九
　　凡有不知之一大数用两小数度之不尽而一有余一不足者其一多一少之数相并以两小数之较度之即得其度几次之分与大数之几何也如有一大数用小数五度之多一数用小数六度之又少四数则以多一与少四相加得五以六与五两小数相减余一为较数除之仍得五即知两小数各度五次也试排防以明之其甲乙五即小数五丙丁六即小数六以甲乙五累五次则为甲乙己丙正方二十五多一为丁以丙丁六累五次则为甲戊丁丙长方三十少四为戊庚于甲戊丁丙长方三十内减去少数戊庚四为二十六于甲乙己丙正方二十五加入多数丁一亦为二十六是知大数有二十六用此五六两小数各度五次之分也以丁一与戊庚四相加为丁戊五以小数甲乙五与丙丁六相减余一以一除丁戊五仍得五与甲丙相等故甲丙为庚大数二十六之五次数也若以比例言之其小数五与六相减所余一者乃度一次之较而一多一少相并之戊丁五者又为度五次之较故以所余一与度一次之比即同于戊丁五与度五次之比其比例既同故其数亦相等也
　　第三十
　　凡有不知之一大数用两小数度之不尽而俱有余或俱不足者其两有余或两不足之数俱相减以两小数之较度之即得其度几次之分与大数之几何也如有一大数用小数六度之多五数用小数七度之仍多一数则以两多数相减余四以六与七两小数相减余一为较数除之仍得四即知两小数各度四次也试排防以明之其甲乙六即小数六丙丁七即小数七以甲乙六累四次则为甲乙庚丙方二十四多五为戊丁己以丙丁七累四次则为甲戊丁丙方二十八多一为己于甲乙庚丙方二十四加入多数戊丁己五得二十九于甲戊丁丙方二十八加入多数己一亦得二十九是知大数有二十九用此六七两小数各度四次之分也以己一与戊丁己五相减余戊丁四以小数甲乙六与丙丁七相减余一以一除戊丁四仍得四与甲丙相等故甲丙为度大数二十九之四次数也若以比例言之其两小数相减所余之一乃度一次之较两多数相减所余之戊丁四乃度四次之较故以一与度一次之比即同于戊丁四与度四次之比也又如有不知之一大数用小数八度之少二数用小数九度之少六数则以两少数相减余四以八与九两小数相减余一为较数除之仍得四即知两小数各度四次也今作防排之其甲乙八即小数八丙丁九即小数九以甲乙八累四次则为甲乙己丙方三十二内少二数为乙庚以丙丁九累四次为甲戊丁丙方三十六丙少六数为乙庚丁戊于甲乙己丙方三十二内减去少数乙庚二为三十于甲戊丁丙方三十六内减去少数乙庚丁戊六亦为三十是知大数有三十用此八九两小数各度四次之分也以乙庚二与乙庚丁戊六相减余戊丁四以小数甲乙八与丙丁九相减余一以一除戊丁四仍得四与甲丙为相等故甲丙为度大数三十之四次数也其比例亦以两小数相减所余之较比度一次之分即同于两少数相减所余之较比度几次之分也复有不知之一大数用两小数度之一小数度之而尽一小数度之而不尽【或有余或不足】即以不尽之数【或有余之数或不足之数】用两小数之较度之即得其度几次之分与大数之几何其理皆相同也
　　第三十一
　　凡数自少至多递加之而各有定率者谓之平加比例数也夫平加之数有毎次递加一者为挨次递加之数如一二三四之类是也有每次递加二者为超位平加之数如一三五七之类是也【或递加三或递加四或递加五六皆是一理】有每次増一加者为按位相加之数如一三六十之类其第二次加二第三次加三第四次加四是也有每次増二加者为按位自乘之数如一四九十六之类其第二次加三第三次加五第四次加七是也复有一种倍加者为挨次倍加之数如一二四八之类每次皆加二倍又如一三九二十七之类每次皆加三倍是也递加之数虽多按其条理求之大抵不出此数端今各列数分析于后
　　第三十二
　　凡挨次递加之数将首数与末数相加以位数乘之所得之数折半即为总数也如一二三四五六七八九之九数其毎次所加之数为一将首数一与末数九相加得十以位数九乘之得九十折半得四十五即是此九数之总数也何也夫挨次递加之数为等边三角平面形而两数相乘即成四方形今以位数九为髙末数九为底相乘所得之正方形其数八十一较之总数则多较之总数加倍之数又少此所少即一行之数爰知位数与底数相乘所得之数比总数加倍之数少一行之数矣既知挨次递加之数为三角形而位数与底数相乘之数为正方形又知位数与底数相乘之数几等于总积加一倍之数则合两三角形之数适当总积加一倍之方数矣两三角形所合其底数必比高数大一数故末数九为底数者加首数一与髙相乘始成两三角形所合之一方形焉试将此九数作防排之自上而下上一下九作为直角三角形复将此九数另作一直角三角形合于原三角形之侧则成一长方形其高即位数其底即末数与首数相加之数其积即为总数加一倍之数也然则首数末数相加与位数相乘为总数之倍数可知矣又如四五六七八九之六数欲知其总数亦以首数四与末数九相加得十三为底以位数六乘之得七十八为长方形折半得三十九为总数其理与前同若但知首数为四末数为九不知位数则视首数四以上至一虚几位今虚三位故以三与末数九相减余六即位数也何也凡自一递加之数其末数即位数今首数为四计自一是少三位矣故用三即为所少之位数于末数内减去所少之位即为今之所有之位数也第三十三