几何原本

　　旋作己壬癸直角而壬癸与丁等次作己癸线旋作己癸子直角而癸子与戊等末作己子线题言己子线上所作直角方形即所求
　　论曰己辛上作直角方形与甲乙两形并等【本题】己壬上作直角方形与己辛及丙两形并等余仿此推显可至无穷
　　四増三边直角形以两边求第三边长短之数
　　法曰甲乙丙角形甲为直角先得甲乙甲
　　丙两边长短之数如甲乙六甲丙八求乙丙边长短之数其甲乙甲丙上所作两直角方形并既与乙丙上所作直角方形等【本题】则甲乙之羃【自乘之数曰羃】得三十六甲丙之羃得六十四并之得百而乙丙之羃亦百百开方得十即乙丙数十也又设先得甲乙乙丙如甲乙六乙丙十而求甲丙之数其甲乙甲丙上两直角方形并既与乙丙上直角方形等则甲乙之羃得三十六乙丙之羃得百百减三十六得甲丙之羃六十四六十四开方得八即甲丙八也求甲乙仿此　此
　　以开方尽实者为例其不尽实者自具筭家分法
　　第四十八题
　　凡三角形之一边上所作直角方形与余边所作两直角方形并等则对一边之角必直角
　　解曰此反前题如甲乙丙角形其甲丙边上所作直角方形与甲乙乙丙边上所作两直
　　角方形并等题言甲乙丙角必直角
　　论曰试于乙上作甲乙丁直角而乙丁与乙丙两线等次作丁甲线相联其甲乙丁既直角则甲丁上直角方形与甲乙乙丁上两直角方形并等【本篇四七】而甲乙乙丁上两直角方形并与甲乙乙丙上两直角方形并又等【甲乙同乙丁乙丙等故】即丁甲上直角方形与甲丙上直角方形必等夫甲乙丁角形之甲乙乙丁两腰与甲乙丙角形之甲乙乙丙两腰既等而丁甲甲丙两底又等则对底线之两角亦等【本篇八】甲乙丁既直角即甲乙丙亦直角

　　几何原本卷一
　　钦定四库全书
　　几何原本卷二之首
　　西洋利玛窦译
　　界説二则
　　第一界
　　凡直角形之两边函一直角者为直角形之矩线如甲乙偕乙丙函甲乙丙直角得此两边即知直角形大小之度今别作戊线已线与甲乙乙丙各等亦即知甲乙丙丁直角形大小之度则戊偕已两线为直角形之矩线此例与筭法通如上图一边得三一边得四相乘得十二则三偕四两边为十二之矩数
　　凡直角诸形之内四角皆直故不必更言四边及平行线止名为直角形省文也
　　凡直角诸形不必全举四角止举对角二字即指全形如甲乙丙丁直角形止举甲丙或乙丁亦省文也第二界
　　诸方形有对角线者其两余方形任偕一角线方形为磬折形
　　甲乙丙丁方形任直斜角作甲丙对角线从庚点作戊己辛壬两线与方形边平行而分本形为四方形其辛己庚乙两形为余方形辛戊己壬两形为角线方形【一卷界説三六】两余方形任偕一角线方形为磬折形如辛己庚乙两余方形偕己壬角线方形同在癸子丑圜界内者是癸子丑磬折形也用辛戊角线方形仿此

　　几何原本卷二之首
　　钦定四库全书
　　几何原本卷二
　　西洋利玛窦撰
　　第一题
　　两直线任以一线任分为若干分其两元线矩内直角形与不分线偕诸分线矩内诸直角形并等
　　解曰甲与乙丙两线如以乙丙三分之为乙丁丁戊戊丙题言甲偕乙丙矩线内直
　　角形与甲偕乙丁甲偕丁戊甲偕戊丙三矩线内直角形并等
　　论曰试作乙己直角形在乙丙偕等甲之己丙矩线内【作法于乙界作庚乙丙界作己丙两垂线俱与甲等为平行次作庚己直线与乙丙平行】次于丁戊两点作辛丁壬
　　戊两垂线与庚乙己丙平行【一卷卅三】其辛丁与庚乙壬戊与己丙既平行则辛丁与壬戊亦平行而辛丁壬戊与己丙等即亦与甲等【一卷卅四】如此则乙辛直角形在甲偕乙丁矩线内丁壬直角形在甲偕丁戊矩线内戊己直角形在甲偕戊丙矩线内并之则三矩内直角形与甲偕乙丙两元线矩内直角形等
　　注曰二卷前十题皆言线之能也【能者谓其上能为直角形也如十尺线其上能为百尺方形之类】其説与筭数最近故九卷之十四题俱以数明此十题之理今未及详因题意难显畧用数明之如本题设两数当两线为六为十以十任三分之为五为三为二六乘十为六十之一大实与六乘五为三十及六乘三为十八六乘二为十二之三小实并等
　　第二题
　　一直线任两分之其元线上直角方形与元线偕两分线两矩内直角形并等
　　解曰甲乙线任两分于丙题言甲乙上直角方形与甲乙偕甲丙甲乙偕丙乙两矩线内直角形并等
　　论曰试于甲乙线上作甲丁直角方形从丙点作己丙垂线与甲戊乙丁平行【一卷卅一】其甲戊与甲乙既等【一卷卅四】则甲己直角形在甲乙甲丙矩线内乙丁与甲乙既等则丙丁直角形在甲乙丙乙矩线内而此两形并与甲丁直角方形等
　　又论曰试别作丁线与甲乙等其甲乙线既任分于丙则甲乙偕丁矩线内直角形【即甲乙上直角方形】与甲丙偕丁丙乙偕丁两矩线内直角形并等
　　【本篇一】
　　注曰以数明之设十数任两分之为七为三十乘七为七十及十乘三为三十之两小实与十自之百一大羃等
　　第三题
　　一直线任两分之其元线任偕一分线矩内直角形与分余线偕一分线矩内直角形及一分线上直角方形并等
　　解曰甲乙线任两分于丙题言元线甲乙任偕一分线如甲丙矩内直角形【不论甲丙为长分为短分】与分余丙乙偕甲丙矩线内直角形及甲丙上直角方形并等论曰试作甲丁直角方形从乙界作乙巳垂线与甲戊平行【一卷卅一】而于戊丁引
　　长之遇于己其甲戊与甲丙等则甲己直角形在元线甲乙偕一分线甲丙矩内丙丁与甲丙等则丙己直角形在一分线甲丙偕分余线丙乙矩内而甲己直角形与甲丙丙乙矩线内丙己直角形及甲丙上甲丁直角方形并等
　　又论曰试别作丁线与一分线甲丙等其甲乙线既任分于丙则甲乙偕丁矩线内直角形【即甲乙偕甲丙矩线内直角形】与丁偕丙乙【即甲丙偕丙乙】丁偕甲丙【即甲】
　　【丙上直角方形】两矩线内直角形并等【本篇一】
　　注曰以数明之设十数任两分之为七为三如前图则十乘七为七十与七乘三之实二十一及七自之羃四十九并等如后图十乘三为三十与七乘三之实二十一及三之羃九并等
　　第四题
　　一直线任两分之其元线上直角方形与各分上两直角方形及两分互偕矩线内两直角形并等
　　解曰甲乙线任两分于丙题言甲乙线上直角方形与甲丙丙乙线上两直角方形及甲丙偕丙乙丙乙
　　偕甲丙矩线内两直角形并等
　　论曰试于甲乙线上作甲丁直角方形次作乙戊对角线次从丙作丙己线与乙丁
　　平行遇对角线于庚末从庚作辛壬线与甲乙平行而分本形为四直角形即甲乙戊角形之甲乙甲戊两边等而甲乙戊与甲戊乙两角亦等【一卷五】夫甲乙戊形之三角并与两直角等【一卷卅二】而甲为直角即甲乙戊甲戊乙皆半直角【一卷卅之二系】依显丁乙戊角形之丁乙戊丁戊乙两角亦皆半直角则戊己庚外角与内角丁等为直角【一卷卅九】而己戊度既半直角则己庚戊等为半直角矣角既等则己庚己戊两边亦等【一卷六】庚辛辛戊亦等【一卷卅四】而辛巳为直角方形也依显丙壬亦直角方形也又庚辛与甲丙两对边等【一卷卅四】而乙丙与庚丙俱为直角方形边亦等则辛己为甲丙线上直角方形丙壬为丙乙线上直角方形也又甲庚及庚丁两直角形各在甲丙丙乙矩线内也则甲丁直角方形与甲丙丙乙两线上两直角方形及两线矩内两直角形并等矣
　　系从此推知凡直角方形之角线形皆直角方形又论曰甲乙线既任分于丙则元线甲乙上直角方形与元线偕各分线矩内两直角形并等【本篇二】又甲乙偕甲丙矩线内直角形与甲丙偕
　　丙乙矩线内直角形及甲丙上直角方形并等【本篇三】甲乙偕丙乙矩线内直角形与丙乙偕甲丙矩线内直角形及丙乙上直角方形并等【本篇三】则甲乙上直角方形与甲丙丙乙上两直角方形及甲丙偕丙乙丙乙偕甲丙矩线内两直角形并等
　　注曰以数明之设十数任两分之为七为三十之羃百与七之羃四十九三之羃九及三七互乘之实两二十一并等
　　第五题
　　一直线两平分之又任两分之其任两分线矩内直角形及分内线上直角方形并与平分半线上直角方形等
　　解曰甲乙线两平分于丙又任两分于丁其丙丁为分内线【丙丁线者丙乙所以大于丁乙之较又甲丁所以大于甲丙之较故曰分内线】题言甲丁丁乙矩线内直角形及分内线丙丁上直角方形并与丙乙线上直角方形等
　　论曰试于丙乙线上作丙己直角方形次作乙戊对角线从丁作丁庚线与乙己平行遇对角线于辛次从辛作壬癸线与丙乙平行次从甲作甲子线与丙戊平行末从壬癸线引长之遇于子夫丁壬癸庚皆直角方形【本篇四之系】而辛丁与丁乙两线等【一卷卅四】癸辛
　　与丙丁两线等则甲辛直角形在任分之甲丁丁乙矩线内而癸庚为分内线丙丁上直角方形也今欲显甲辛直角形及癸庚直角方形并与丙己直角方形等者于丙辛辛己相等之两余方形【一篇四三】每加一丁壬直角方形即丙壬及丁己两直角形等矣而甲癸与丙壬两形同在平行线内又底等即形亦等【一卷卅六】则甲癸与丁巳亦等也即又每加一丙辛直角形则丑寅卯罄折形岂不与甲辛等次于罄折形又加一癸庚直角方形岂不与丙巳直角方形等也而甲辛癸庚两形并亦与丙己等也则甲丁丁乙矩线内直角形及丙丁上直角方形并与丙乙上直角方形等
　　注曰以数明之设十数两平分之各五又任分之为八为二则三为分内数【三者五所以大于二之较又八所以大于五之较】二八之实十六三之羃九与五之羃二十五等
　　第六题
　　一直线两平分之又任引増一直线共为一全线其全线偕引増线矩内直角形及半元线上直角方形并与半元线偕引増线上直角方形等
　　解曰甲乙线两平分于丙又从乙引长之増乙丁与甲乙通为一全线题言甲丁偕乙丁矩线内直角形及半元线丙乙上直角方形并与丙丁上直角方形等
　　论曰试于丙丁上作丙戊直角方形次作丁己对角线从乙作乙庚线与丁戊平行遇对角线于辛次从辛作壬癸线与丙丁平行次从甲作甲子线与丙己平行末从壬癸线引长之遇于子夫乙壬癸庚皆直角方形【本篇四之系】而乙丁与丁壬两线等【一卷卅四】癸辛与丙乙两线等则甲壬直角形在甲丁偕乙丁矩线内而癸庚为丙乙上直角方形也今欲显甲壬直角形及癸庚直角方形并与丙戊直角方形等者试观甲癸与丙辛两直角形同在平行线内又底等即形亦等【一卷卅六】而丙辛与辛戊等【一卷四三】则辛戊与甲癸亦等即又每加一丙壬直角形则丑寅卯磬折形与甲壬等夫磬折形加一癸庚形本与丙戊直角方形等也即甲壬癸庚两形并亦与丙戊等也则甲丁乙丁矩线内直角形及丙乙上直角方形并岂不与丙丁上直角方形等
　　注曰以数明之设十数两平分之各五又引増二共十二二乘之为二十四及五之羃二十五与七之羃四十九等
　　第七题
　　一直线任两分之其元线上及任用一分线上两直角方形并与元线偕一分线矩内直角形二及分余线上直角方形并等
　　解曰甲乙线任分于丙题言元线甲乙上及任用一分线如甲丙上两直角方形并【不论甲丙为长分为短分】与甲乙偕甲丙矩内直角形二及分余线丙乙上直角方形并等论曰试于甲乙上作甲丁直角方形次作乙戊对角线从丙作丙己线与乙丁平行
　　遇对角线于庚末从庚作辛壬线与甲乙平行夫辛己丙壬皆直角方形【本篇四之系】而辛庚与甲丙等【一卷卅四】即辛己为甲丙上直角方形也又甲戊与甲乙等即甲己直角形在甲乙偕甲丙矩线内也又戊丁丁壬与甲乙甲丙各等即辛丁直角形亦在甲乙偕甲丙矩线内也夫甲己己壬两直角形【即癸子丑罄折形】及丙壬直角方形并本与甲丁直角方形等今于甲己辛丁两直角形并加一丙壬直角方形即与甲丁直角方形加一辛巳直角方形等矣则甲乙甲丙矩线内直角形二及丙乙上直角方形并与甲乙上直角方形及甲丙上直角方形并等也
　　注曰以数明之设十数任分之为六为四如前图十之羃百及六之羃三十六并与
　　十六互乘之两实百二十及四之羃十六等如后图十之羃百及四之羃十六并与十四互乘之两实八十及六之羃三十六等
　　第八题
　　一直线任两分之其元线偕初分线矩内直角形四及分余线上直角方形并与元线偕初分线上直角方形等
　　解曰甲乙线任分于丙题言元线甲乙偕初分线丙乙矩内直角形四【不论丙乙为长分为短分】及分余线甲丙上直角方形并与甲乙偕丙乙上直角方形等
　　论曰试以甲乙线引増至丁而乙丁与丙乙等于全线上作甲戊直角方形次作丁巳对角线从乙作乙庚线与丁戊平行遇对角线于辛次从丙作丙壬线与甲巳平行遇对角线于癸次从辛作子丑线与甲丁平行遇丙壬于寅末从癸作卯辰线与戊己平行遇乙庚于巳其卯壬寅巳乙丑俱角线方形【一卷卅四之系】而卯癸与甲丙两线等【一卷卅四】即卯壬为甲丙上直角方形又寅辛与丙乙两线
　　等【一篇卅四】即寅巳为丙乙上直角方形与乙丑等【丙乙与乙丁等故】又乙辛辛巳两线亦各与丙乙等而甲辛子巳两直角形各在甲乙丙乙矩线内即等【子辛与甲乙等故】寅庚辛戊两直角形亦各在甲乙丙乙矩线内即又等【寅辛辛丑与丙乙乙丁等辛庚丑戊与等甲乙之子辛等故】寅巳既与乙丑等而每加一癸庚即乙丑癸庚并与寅庚又等是甲辛一子巳二辛戊三乙丑四癸庚五五直角形并为午未申磬折形与元线甲乙偕初分线丙乙矩内直角形四等而午未申磬折形及卯壬直角方形本与甲戊直角方形等则甲乙乙丙矩线内直角形四及甲丙上直角方形并与甲乙偕丙乙上直角方形等注曰以数明之设十数任分之为六为四如前图十六互乘之实四为二百四十及四之羃十六共二百五十六与十六之羃等如后图十四互乘之实四为一百六十及六之羃三十六共一百九十六与十四之羃等