乾坤体义

<子部,天文算法类,推步之属,乾坤体义,卷下>

　　第十一题
　　有大小两底令作相似平腰三角形相并其所容必大于不相似之两三角形相并其底同其周同又四腰俱同而不相似形并必小于相似形并
　　解曰甲丙丙戊两底上设有甲乙丙及丙丁戊两三角形而甲乙乙丙丙丁丁戊四线俱等令于两底上依前题别作甲己丙及丙庚戊两形相似而与前两三角形相并者等周题言甲己丙丙庚戊并大于甲乙丙丙丁戊并
　　论曰将甲丙丙戊作一直线而甲丙底大于丙戊底乃从巳过乙作己壬线两分甲丙于壬又从丁过庚作丁辛线两分丙戊于辛其甲己乙三角形之甲己己乙两邉与乙己丙三角形之己丙己乙两邉等而甲乙乙丙两底又等则甲己乙角与丙己乙角亦等【一卷八】又甲己壬三角形之甲己己壬两邉与丙己壬三角形之丙己己壬两邉等则甲己壬角与丙己壬角等而甲壬壬丙之两底亦等【一卷四】壬之左右皆直角因显丙辛辛戊亦等而辛之左右角亦直角矣次引丁辛至癸令辛癸与丁辛同度而从癸过丙作癸丑直线则丁丙辛三角形之丁辛辛丙两邉与辛癸丙三角形之辛癸辛丙两邉等而辛之上下角亦等为直角丁丙丙癸两底等而丁丙辛角与癸丙辛角俱等【一卷四】丁丙辛角既大于庚丙辛角而庚丙辛角相似与己丙壬角即相等【一卷五】而丁丙辛即癸丙辛总大于己丙壬其癸丙辛角等于对角之丑丙壬【一卷十五】是丑丙壬亦大于己丙壬而引癸丑线当在于丙己之外也若夫癸丙丙乙二线涵癸丙乙角向壬试作癸乙线以分壬丙于子而并乙丙丙癸二线必大于癸乙线【一卷二十】则己丙丙庚并亦大于乙癸线何也此四形者两两相并为等周则甲乙乙丙丙丁丁戊四线并与甲己己丙丙庚庚戊四线并原相等而减半之乙丙丙丁即乙丙丙癸与己丙丙庚亦相等故也并己丙丙庚二线为一直线就线上作直角方形必大于乙癸线上之直角方形夫己丙丙庚并之直角方形与己壬庚辛并之直角方形及壬丙丙辛上之直角方形并相等【九题】而癸乙上之直角方形与乙壬并辛丁【即辛癸】上之直角方形及壬子子辛上直角方形并又自相等【九题　从子上分两对角其角等而壬与辛俱为直角相似之形令移置辛癸与乙壬之下移置壬辛为癸垂线则乙壬辛癸为股壬辛为勾乙癸为矣】此己壬庚辛线并之直角方形及壬丙丙辛上之直角方形并明大于乙壬丁辛并之直角方形及壬子子辛上之直角方形并也此两率者每减一壬辛上直角方形则己壬庚辛共线上之直角方形大于乙壬丁辛共线上直角方形矣而己壬庚辛两线并大于乙壬丁辛两线并矣此两率者令一减乙壬一减庚辛则己乙岂不大于丁庚乎壬丙原大于丙辛【以甲丙原大于丙戊故】则己乙与壬丙矩内直角形大于丁庚与辛丙矩内直角形而乙己丙三角形为己乙壬丙矩内直角形之半何者令从壬丙作垂线与乙己平行而以乙己为底就作直角形此谓己乙壬丙矩内直角形其中积倍于己乙丙三角形反之则己乙丙角形为己乙壬丙矩形之半其丁庚丙三角形亦然乃丁庚及辛丙矩内直角形之半也则己乙丙三角形大于丁庚丙三角形而甲己丙乙甲形为丙乙己三角之倍者亦大于丙庚戊丁形为丁庚丙三角之倍者矣此两率者又每加甲乙丙与丙庚戊之三角形则甲己丙及丙庚戊之两三角形并岂不大于甲乙丙及丙丁戊之两三角形并哉

　　第十二题
　　同周形其邉数相等而等角等邉者大于不等角等邉者
　　先解曰有甲乙丙丁戊己多邉形与他形同周同角者较必邉邉相等乃为最大之形
　　论曰若谓不然先设甲乙乙丙不等邉如第一图又作甲丙线于上作等邉三角为甲庚丙形与甲乙丙等周【本篇七】则甲庚丙丁戊己形亦与甲乙丙丁戊己形等周而甲庚丙三角形必大于甲乙丙三角形【本篇八】令每加丙丁戊己角形则甲庚丙丁戊己形亦大于甲乙丙丁戊己形故知不等邉者不为最大其他如丙丁邉之类或不等者亦如此推
　　次解曰又设甲乙丙丁戊己等邉形与他形同周同邉者较必角角相等乃为最大之形
　　论曰依上论各邉俱等则甲乙丙丙丁戊为等邉三角形【邉角俱等】而甲乙乙丙与丙丁丁戊相等若谓不然而乙角可大于丁角则甲丙线必大于丙戊线【一卷二十四】试于甲丙丙戊两底上别作三角形为甲庚丙为丙辛戊如第十题相似形令与甲乙丙丙丁戊并者等周则甲庚丙并丙辛戊者大于甲乙丙并丙丁戊【本篇十一】而每加丙戊己角形则甲庚丙辛戊己必大于甲乙丙丁戊己也何得以等周等邉而不等角者为最大乎

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　　第十三题
　　凡同周形惟圜形者大于众直线形有法者
　　解曰有甲乙丙圜形又有丁戊己多邉有法形其周等题言甲乙丙大于丁戊己
　　论曰庚为甲乙丙之心辛为丁戊己之心甲乙丙外另作壬乙丙癸多邉形与丁戊己相似【四卷十六注】而从壬癸切圜于甲者作半径线于庚则庚甲为壬癸垂线而分壬癸之半【三卷十八】又从辛作子丑垂线则辛丁亦分子丑之半【三卷三此设于两多邉形外作切形圜而以壬癸子丑为切圜线向心作垂线则垂线必分切线之中故説在四卷十二】两形相似其壬全角与子全角等则半之而甲壬庚角与丁子辛角亦等壬甲庚直角与子丁辛直角亦等【一卷三十二】然乙壬癸丙之周大于圜周而圜周与丁戊己形相同则是乙壬癸丙周原大于丁戊己周矣夫两形相似而壬癸邉大于子丑邉则半之而壬甲亦大于子丁又壬甲与甲庚若子丁与丁辛之比例【六卷四】而壬甲大于子丁则甲庚亦大于丁辛【五卷十四】是故取甲庚线与半圜周线以作矩内直角形其与圜地等也大于取丁辛线与丁戊己半周线以作矩内直角形其与形地等也【本篇四】系曰推此见圜形大于各等周直线形【第五题证有法形同周者多邉为大又十二题证等周及邉数之等者有法为大又本题证等周之有法形惟圜为大则圜为凡形等周者之最大】

　　第十四题
　　锐觚全形所容与鋭顶至邉垂线及三分底之一矩内直角立形等
　　解曰有觚形不拘几面如甲乙丙丁戊底其顶巳又有寅庚直角立方形者其底庚辛壬癸得甲乙丙丁戊底三之一其髙庚子与觚等髙题言此寅庚形与觚形所容等
　　论曰从立形底诸角与相对一角如子角者皆作线以成庚辛壬癸子觚形此形与寅庚形同底同髙又同己甲鋭觚之髙既己甲形兼庚辛壬癸子觚之三【十二卷六注言两觚形同髙者其所容之比例如其底底等亦等底倍亦倍】寅庚全形亦兼庚辛壬癸子觚之三【以同底同髙故在十二卷七系】则寅庚全方与己甲觚等

　　第十五题
　　平面不拘几邉其全体可容浑圜切形者设直角立形其底得本形三之一其髙得圜半径即相等【可容浑圜切形者必圜形与诸面相切若长广不切诸面者不在此论】
　　解曰有甲乙丙丁形内含戊己庚辛圜其心壬而外线甲乙切圜于戊【十一卷三题】试从戊壬割圜之半作戊己庚辛圜【圜形书一卷一题】从壬心望各切圜之防作壬戊为甲乙垂线【三卷十八】壬己为乙丙垂线壬庚为丙丁垂线壬辛为甲丁垂线别一直角立方形午子其底子丑寅癸得甲乙丙丁体三之一而其髙辰子与圜半径等题言此直角立方形与甲乙丙丁全体等论曰从壬心与甲乙丙丁各角作直线即分其体为数觚形其面即为觚底而皆以壬心为觚锐顶此各觚皆以其三分底之一及至锐髙之数为直角立方形皆与觚所容等【本篇十四】又并为一形即与甲乙丙丁体等亦与午子等以午子底正得甲乙全形三之一而其髙分圜半径也

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　　第十六题
　　圜半径及圜面三之一作直角立方形以较圜之所容等
　　解曰有甲乙丙浑圜其心为丁又有直角立形之戊在甲丁径及甲乙丁浑圜三之一矩内题言戊形所容与甲乙丙浑圜等
　　论曰若言不等谓戊大于浑圜形其较有巳者合以丁为心外作庚辛壬浑圜大于甲乙丙而勿令大于戊第令或等或小以騐之而于庚辛壬内试作有法形勿切甲乙丙圜【十二卷十七】自丁心至形邉各作垂线则垂线必长于甲丁又自丁心至形各角作直线以分此形为几觚其庚辛壬法形诸直线为觚底而垂线至丁心为觚鋭顶试取各觚底三之一及丁垂线之髙以作直角立形与觚等【本篇十四】则并为大直角立形亦与庚辛壬内之法形等【本篇十五】如云以甲乙为髙而以各觚底三之一为直角立形并为大形则必小于前形因显庚辛壬三之一大于甲乙丙三之一而戊形甲丁径及甲乙丙圜三之一内小于庚辛壬体而谓庚辛壬不大于戊形则向庚辛壬之内形尚大于戊形也
　　又论曰戊形小于甲乙丙浑圜体者其较为己试从丁心再作癸子丑圜小于甲乙丙而勿令小于戊或大或等者以验之于甲乙丙圜内作有法形不令切癸子丑【十二卷十七】而従丁至甲乙丙各面为垂线此垂线大于丁癸之半径又从丁向法形诸角作直线以分此形为数觚以形之各面为觚底庚辛为觚鋭顶而取觚底三之一及底至丁之垂线以作直角立形与觚等若使以甲丁为髙而以各觚三之一为底以作直角立形则其形必髙于前形既甲乙丙圜之面大于其内形之面则圜面三之一大于内形面三之一而直角立方形在甲丁髙及甲乙丁面三之一固即戊体矣愈大于甲乙丁之内形矣而云癸子丑圜或等或大于戊岂癸子丑圜大于甲乙丙圜而分大于全欤则戊体不小于甲乙丙矣从后论不可为小从前论不可为大故曰等也

　　第十七题
　　圜形与平面他形之容圜者其周同其容积圜为大解曰有甲圜其心甲其半径甲乙又丙形与甲等周其周内可作诸切邉圜形而从心至邉为丙丁题言甲圜大于丙形
　　论曰甲圜外试作与丙相似形【十二卷】而从甲心至各邉切处作半径垂线皆等【本篇十五有解】其一为甲乙甲圜外形大于甲圜其周面亦大于丙面而甲乙垂线亦大于丁丙垂线以甲半径为髙乃以三分圜体之一作直角立方形即与甲圜形等【本篇十六】以丙丁线为髙而以三分丙形之一作直角立方形亦与丙形等而甲之立方固大于丙之立方【本篇十五】则甲圜与丙形虽同周而甲圜所容为大矣

<子部,天文算法类,推步之属,乾坤体义,卷下>
　　第十八题
　　凡浑圜形与圜外圜角形等周者浑圜形必大于圜角形
　　解曰有甲乙丙丁圜外作戊己庚辛等法形率以四数相偶若八面十二面十六面二十面及二十四二十八之类等邉等角近于圜形者又作戊壬过心线为枢以转甲乙丙圜及戊己庚辛法形使平面旋为立圜之体则其形为圜外圜角之形而角与邉周遭皆等【圜书一卷二十二及二十七】又有浑圜形寅与圜角形等周题言寅圜大于圜角形
　　论曰圜角外形既大于内之甲乙丙圜形则寅圜亦大于甲乙丙圜寅圜之半径亦大于甲乙丙圜之半径也夫浑圜中剖是为过心最大之圜此过心大圜之面恒得浑体四分之一【圜书一卷三十一题】令倍寅径以作夘辰径其圜面四倍大于寅之圜面【此専以圜面相较也夘辰径既倍寅径则夘辰圜固四倍于寅圜以圜与圜为径与径再加之比例故也在六卷附一増题】则夘辰圜与寅浑圜等【此夘辰圜为欲见角故画作扁圜实正圜也】次作未申圜与夘辰等作未酉申圜角形而取寅半径为酉戌之髙又于夘辰上亦作夘巳辰圜角形而取甲乙丙圜半径为巳午之髙两圜体等而未酉申圜角形髙于夘巳辰圜角形则亦大于夘巳辰圜角形【圜角形同底之比例若其髙之比例在十二卷十四题】夫割寅浑圜之中半以为底【即过心大圜也】而以其半径之髙为圜角形恒得寅浑圜四分之一【此旋转所成尖顶半圜形非只论其一面也在圜书一卷三十二十】则是一寅圜恒兼四圜角之形而未申圜原四倍大于寅圜则未酉申圜角形固与寅之浑圜形等矣【圜角形同髙之比例若其底之比例故也在十二卷十一题】其夘巳辰圜角形底原等戊己庚形之面【戊己庚之面与寅圜之面等故】而巳午之髙亦等于甲圜半径即戊己庚辛角形自与夘巳辰圜角形等【圜书一卷二十九题论凡圜外有圜角形如甲乙丙外有戊己庚形者以圜体过心大圜为底而以圜半径为髙旋作圜角形即与圜外诸圜各等】夘巳辰圜角形既小于未酉申圜角形而戊己庚辛壬癸子丑形宁大于同周之寅乎

　　乾坤体义卷下