九章算经

〔八〕今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一。求田一亩，问从几何？
　　　　　　　荅曰：八十四步、七千一百二十九分步之五千九百六十四。
　　　　　术曰：下有九分，以一为二千五百二十，半为一千二百六十，三分之一为八百四十，四分之一为六百三十，五分之一为五百四，六分之一为四百二十，七分之一为三百六十，八分之一为三百一十五，九分之一为二百八十，并之得七千一百二十九，以为法。置田二百四十步，亦以一为二千五百二十乘之，为实。实如法得从步。
〔九〕今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一。求田一亩，问从几何？
　　　　　　　荅曰：八十一步、七千三百八十一分步之六千九百三十九。
　　　　　术曰：下有一十分，以一为二千五百二十，半为一千二百六十，三分之一为八百四十，四分之一为六百三十，五分之一为五百四，六分之一为四百二十，七分之一为三百六十，八分之一为三百一十五，九分之一为二百八十，十分之一为二百五十二，并之得七千三百八十一，以为法。置田二百四十步，亦以一为二千五百二十乘之，为实。实如法得从步。
〔一０〕今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一、十一分步之一。求田一亩，问从几何？
　　　　　　　荅曰：七十九步、八万三千七百一十一分步之三万九千六百三十一。
　　　　　术曰：下有一十一分，以一为二万七千七百二十，半为一万三千八百六十，三分之一为九千二百四十，四分之一为六千九百三十，五分之一为五千五百四十四，六分之一为四千六百二十，七分之一为三千九百六十，八分之一为三千四百六十五，九分之一为三千八十，一十分之一为二千七百七十二，一十一分之一为二千五百二十，并之得八万三千七百一十一，以为法。置田二百四十步，亦以一为二万七千七百二十乘之，为实。实如法得从步。
〔一一〕今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一、十一分步之一、十二分步之一。求田一亩，问从几何？
　　　　　　　荅曰：七十七步、八万六千二十一分步之二万九千一百八十三。
　　　　　术曰：下有一十二分，以一为八万三千一百六十，半为四万一千五百八十，三分之一为二万七千七百二十，四分之一为二万七百九十，五分之一为一万六千六百三十二，六分之一为一万三千八百六十，七分之一为一万一千八百八十，八分之一为一万三百九十五，九分之一为九千二百四十，一十分之一为八千三百一十六，十一分之一为七千五百六十，十二分之一为六千九百三十，并之得二十五万八千六十三，以为法。置田二百四十步，亦以一为八万三千一百六十乘之，为实。实如法得从步。
〔一二〕今有积五万五千二百二十五步。问为方几何？
　　　　　　　荅曰：二百三十五步。
〔一三〕又有积二万五千二百八十一步。问为方几何？
　　　　　　　荅曰：一百五十九步。
〔一四〕又有积七万一千八百二十四步。问为方几何？
　　　　　　　荅曰：二百六十八步。
〔一五〕又有积五十六万四千七百五十二步、四分步之一。问为方几何？
　　　　　　　荅曰：七百五十一步半。
〔一六〕又有积三十九亿七千二百一十五万六百二十五步。问为方几何？
　　　　　　　荅曰：六万三千二十五步。
　　　　　开方术曰：置积为实。借一算步之，超一等。议所得，以一乘所借一算为法，而以除。除已，倍法为定法。其复除。折法而下。复置借算步之如初，以复议一乘之，所得副，以加定法，以除。以所得副从定法。复除折下如前。若开之不尽者为不可开，当以面命之。若实有分者，通分内子为定实。乃开之，讫，开其母报除。若母不可开者，又以母乘定实，乃开之，讫，令如母而一。
〔一七〕今有积一千五百一十八步、四分步之三。问为圆周几何？
　　　　　　　荅曰：一百三十五步。
〔一八〕今有积三百步。问为圆周几何？
　　　　　　　荅曰：六十步。
　　　　　开圆术曰：置积步数，以十二乘之，以开方除之，即得周。
〔一九〕今有积一百八十六万八百六十七尺。问为立方几何？
　　　　　　　荅曰：一百二十三尺。
〔二０〕今有积一千九百五十三尺、八分尺之一。问为立方几何？
　　　　　　　荅曰：一十二尺半。
〔二一〕今有积六万三千四百一尺、五百一十二分尺之四百四十七。问为立方几何？
　　　　　　　荅曰：三十九尺、八分尺之七。
〔二二〕又有积一百九十三万七千五百四十一尺、二十七分尺之一十七。问为立方几何？
　　　　　　　荅曰：一百二十四尺、太半尺。
　　　　　开立方术曰：置积为实。借一算步之，超二等。议所得，以再乘所借一算为法，而除之。除已，三之为定法。复除，折而下。以三乘所得数置中行。复借一算置下行。步之，中超一，下超二等。复置议，以一乘中，再乘下，皆副以加定法。以定法除。除已，倍下、并中从定法。复除，折下如前。开之不尽者，亦为不可开。若积有分者，通分内子为定实。定实乃开之，讫，开其母以报除。若母不可开者，又以母再乘定实，乃开之。讫，令如母而一。
〔二三〕今有积四千五百尺。问为立圆径几何？
　　　　　　　荅曰：二十尺。
〔二四〕又有积一万六千四百四十八亿六千六百四十三万七千五百尺。问为立圆径几何？
　　　　　　　荅曰：一万四千三百尺。
　　　　　开立圆术曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即丸径。

　　　九章算术卷第五
　　商功
〔一〕今有穿地积一万尺。问为坚、壤各几何？
　　　　　　　荅曰：
　　　　　　　为坚七千五百尺。
　　　　　　　为壤一万二千五百尺。
　　　　　术曰：穿地四，为壤五，为坚三，为墟四。以穿地求壤，五之；求坚，三之，皆四而一。以壤求穿，四之；求坚，三之，皆五而一。以坚求穿，四之；求壤，五之，皆三而一。
　　　　　城、垣、堤、沟、、渠，皆同术。
　　　　　术曰：并上下广而半之，以高若深乘之，又以袤乘之，即积尺。
〔二〕今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺。问积几何？
　　　　　　　荅曰：一百八十九万七千五百尺。
〔三〕今有垣下广三尺，上广二尺，高一丈二尺，袤二十二丈五尺八寸。问积几何？
　　　　　　　荅曰：六千七百七十四尺。
〔四〕今有堤下广二丈，上广八尺，高四尺，袤一十二丈七尺。问积几何？
　　　　　　　荅曰：七千一百一十二尺。
　　　冬程人功四百四十四尺。问用徒几何？
　　　　　　　荅曰：一十六人、一百一十一分人之二。
　　　　　术曰：以积尺为实，程功尺数为法，实如法而一，即用徒人数。
〔五〕今有沟上广一丈五尺，下广一丈，深五尺，袤七丈。问积几何？
　　　　　　　荅曰：四千三百七十五尺。
　　　春程人功七百六十六尺，并出土功五分之一，定功六百一十二尺、五分尺之四。问用徒几何？
　　　　　　　荅曰：七人、三千六十四分人之四百二十七。
　　　　　术曰：置本人功，去其五分之一，余为法。以沟积尺为实。实如法而一，得用徒人数。
〔六〕今有堑上广一丈六尺三寸，下广一丈，深六尺三寸，袤一十三丈二尺一寸。问积几何？
　　　　　　　荅曰：一万九百四十三尺八寸。
　　　夏程人功八百七十一尺。并出土功五分之一，沙砾水石之功作太半，定功二百三十二尺、一十五分尺之四。问用徒几何？
　　　　　　　荅曰：四十七人、三千四百八十四分人之四百九。
　　　　　术曰：置本人功，去其出土功五分之一，又去沙砾水石之功太半，余为法。以堑积尺为实。实如法而一，即用徒人数。
〔七〕今有穿渠上广一丈八尺，下广三尺六寸，深一丈八尺，袤五万一千八百二十四尺。问积几何？
　　　　　　　荅曰：一千七万四千五百八十五尺六寸。
　　　秋程人功三百尺，问用徒几何？
　　　　　　　荅曰：三万三千五百八十二人功。内少一十四尺四寸。
　　　一千人先到，问当受袤几何？
　　　　　　　荅曰：一百五十四丈三尺二寸、八十一分寸之八。
　　　　　术曰：以一人功尺数，乘先到人数为实。并渠上下广而半之，以深乘之为法。实如法得袤尺。
〔八〕今有方堡壔方一丈六尺，高一丈五尺。问积几何？
　　　　　　　荅曰：三千八百四十尺。
　　　　　术曰：方自乘，以高乘之，即积尺。
〔九〕今有圆堡壔，周四丈八尺，高一丈一尺。问积几何？
　　　　　　　荅曰：二千一百一十二尺。
　　　　　术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一。
〔一０〕今有方亭，下方五丈，上方四丈，高五丈。问积几何？
　　　　　　　荅曰：一十万一千六百六十六尺、太半尺。
　　　　　术曰：上下方相乘，又各自乘，并之，以高乘之，三而一。
〔一一〕今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈。问积几何？
　　　　　　　荅曰：五百二十七尺、九分尺之七。
　　　　　术曰：上、下周相乘，又各自乘，并之，以高乘之，三十六而一。
〔一二〕今有方锥下方二丈七尺，高二丈九尺。问积几何？
　　　　　　　荅曰：七千四十七尺。
　　　　　术曰：下方自乘，以高乘之，三而一。
〔一三〕今有圆锥下周三丈五尺，高五丈一尺。问积几何？
　　　　　　　荅曰：一千七百三十五尺、一十二分尺之五。
　　　　　术曰：下周自乘，以高乘之，三十六而一。
〔一四〕今有堑堵下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺。问积几何？
　　　　　　　荅曰：四万六千五百尺。
　　　　　术曰：广袤相乘，以高乘之，二而一。
〔一五〕今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺。问积几何？
　　　　　　　荅曰：九十三尺、少半尺。
　　　　　术曰：广袤相乘，以高乘之，三而一。
〔一六〕今有鳖臑下广五尺，无袤，上袤四尺，无广，高七尺。问积几何？
　　　　　　　荅曰：二十三尺、少半尺。
　　　　　术曰：广袤相乘，以高乘之，六而一。
〔一七〕今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺。问积几何？
　　　　　　　荅曰：八十四尺。
　　　　　术曰：并三广，以深乘之，又以袤乘之，六而一。
〔一八〕今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈。问积几何？
　　　　　　　荅曰：五千尺。
　　　　　术曰：倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一。
　　　　　刍童、曲池、盘池、冥谷，皆同术。
　　　　　术曰：倍上袤，下袤从之，亦倍下袤，上袤从之，各以其广乘之，并，以高若深乘之，皆六而一。其曲池者，并上中、外周而半之，以为上袤；亦并下中、外周而半之，以为下袤。
〔一九〕今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈。问积几何？
　　　　　　　荅曰：二万六千五百尺。
〔二０〕今有曲池，上中周二丈，外周四丈，广一丈，下中周一丈四尺，外周二丈四尺，广五尺，深一丈。问积几何？
　　　　　　　荅曰：一千八百八十三尺三寸、少半寸。
〔二一〕今有盘池，上广六丈，袤八丈，下广四丈，袤六丈，深二丈。问积几何？
　　　　　　　荅曰：七万六百六十六尺、太半尺。
　　负土往来七十步，其二十步上下棚除。棚除二当平道五，踟蹰之间十加一，载输之间三十步，定一返一百四十步。土笼积一尺六寸，秋程人功行五十九里半。问人到、积尺、用徒各几何？
　　　　　　　荅曰：
　　　　　　　人到二百四尺。
　　　　　　　用徒三百四十六人、一百五十三分人之六十二。
　　　　　术曰：以一笼积尺乘程行步数为实。往来上下，棚除二当平道五。置定往来步数，十加一，及载输之间三十步以为法。除之，所得即一人所到尺。以所到约积尺，即用徒人数。
〔二二〕今有冥谷上广二丈，袤七丈，下广八尺，袤四丈，深六丈五尺。问积几何？
　　　　　　　荅曰：五万二千尺。
　　载土往来二百步，载输之间一里，程行五十八里，六人共车，车载三十四尺七寸。问人到积尺及用徒各几何？
　　　　　　　荅曰：
　　　　　　　人到二百一尺、五十分尺之十三。
　　　　　　　用徒二百五十八人、一万六十三分人之三千七百四十六。
　　　　　术曰：以一车积尺乘程行步数为实。置今往来步数，加载输之间一里，以车六人乘之，为法。除之，所得即一人所到尺。以所到约积尺，即用徒人数。
〔二三〕今有委粟平地，下周一十二丈，高二丈。问积及为粟几何？
　　　　　　　荅曰：
　　　　　　　积八千尺。
　　　　　　　为粟二千九百六十二斛、二十七分斛之二十六。
〔二四〕今有委菽依垣，下周三丈，高七尺。问积及为菽各几何？