皇朝经世文编五集

时务分类文编卷十五
　算学　地舆
　　问开正负诸乘方孰为捷法　　　　　　　　　　　　　　
沈善蒸
按开正负诸乘方之法用处最广即如秦九韶之数书李冶之天元朱世杰之四元皆有藉开正负诸乘方而得所求之数开方必先定其初商而正负诸乘方之初商最难定因有益积连枝之异甚有商多而余实反多退商之而却尽之式其方式乘数加多则开之益难故治天元者恒以开方为难事所以数学家精思设法屡出新术今将各术详释于左
假如三乘方式为●●●●●法曰定初商为●以初商乘第一层隅此层数自下而上得●加入第二层下廉得●再以初商乘之得●加第三层上廉得●。再以初商乘之得●加入第四层方得●。再以初商乘之得●。加入上层负实异名减为加得┼为次商实　再以初商乘第一层隅四倍之得●。加入三倍下廉得●。再以初商乘之得●。加入倍上廉得●。再以初商乘之得●。加入方得●。为次商方。　再以初商乘第一层隅六倍之得●。加入三倍下廉得●。再以初商乘之得●。加入上廉得●。为次商上廉。　再以初商乘第一层隅四倍之得●。加入下廉得●。为次商下廉。　仍以●为隅。与实方廉相并得●●●●●。为开次商式。乃以上廉进一位与方相加。得●为法。以除实得●。又因方廉隅同为正。须退商为●。或●。先以●试之如前法。求得三商实变为正是知商●。为太多。必用●为次商。仍如前法。求得●为三商实。又求得●●●为方廉仍以●为隅并之得●●●●●为开三商式乃以方除实得●即为三商仍如前法求之却尽是为开尽并诸商得●即方又法如前法求得次商实●。及次商方●。其上廉以下不根也。　必求。乃以方除实。得●。亦退商●与●若。以●先试。即以●加初商。得●为乘法。仍列●●●●●。以●乘第一层得●。加入第二层。得●。再以●乘之。得●。加入第三层得●。再以●乘之。得●。加入第四层。得●。再以●乘之。得●加入上层得●为三商实。　再以●乘第一层。四倍之得●。加入三倍下廉得●。再以●乘之。得●。加入倍上廉。得●。再以●乘之。得●加入方得●。为三商方。以方除实得●。即为三商。加初次商得●。仍如求次商法求之却尽。又法如四乘方式●●●●●●。用求数根法。求得实根●●●●●●。且又用超步法得位数●●。又求得尾数●。视数根中取二根或多根相乘。其尾数必为●者。惟●为●。●为●然●有四位。与位数不合。是知●为商数。即元数也。
又法取略大于商数为外元以外元乘隅加入长廉再以外元乘之加入平廉如是递求而上至加入方后以外元乘之而止即为外积又以外元加一如前递求亦至加入方后再乘之而止其得数与外积相减又减一为递次除法　又取小初商为一借元如求外积法求得一借积减本积余以除法除之得数加一借元为二借元又求得二借积减本积余以除法除之得数加二借元为三借元顺是以下皆如是求至借元渐大与元数密合而止
又法任取大小二商为一借元二借元如前法求得一借积二借积乃以一借积与二借积之较积为一率二借积与本积之较积为二率一二两借元之较为三率求得四率以加减二借元为三借元　又以三借元求得三借积以二三两借积之较积为一率三借积与本积之较积为二率二三两借元之较为三率求得四率以加减三借元为四借元　顺是以下皆如是求至与元数密合而止　试考以上五法互有难易均非捷法如首二法之最难者定初商虽有超步之法如益积翻积之多乘方或有商一数开之不合又易一数开之仍不合甚至易十余次而得者次商较易于初商然亦有易二三次可得者数根开方之法虽无定初商之难事又有求数根之法为甚繁如实数在十万以内可捡对数阐微表在数理精蕴内求得数根如法开之诚为捷法如在十万之外其求数根之繁几如求初商相等末二法必须所借之元与元数略近庶可省递求次数似为便捷然求略近借元亦非易事若借元与元数悬殊必须辗转相求至十余次方得密合所以亦非捷法昔人云开方无捷法诚哉是言也
　　近日开方诸法略具梗概诸法虽均有不便但求其较易立方可依代数术开之立方以上求初商则用超步法次商以下则用借积比例法集众长以求之庶不至束手无策
　　验乘除误否旧传九减试法其能试之理安在若不用九减任用他数减试视九减法孰为难易　　　
沈善蒸
验乘除之误旧传九减之外其三四六七八皆可作减试之法惟一二五不可用因乘除之误恒差一二五等数故也梅氏算书祗有九减七减两法因用他数减试之法均同七减故用他数之减法可不俱载焉按九减法无论验加减乘除之误先以法数各位相并满九者以九减之减至不满九而止又实数得数并减亦如之并减过之数法仍为法实仍为实如验乘法者仍相乘验除法者仍除之验加减者仍加减之所得之数满九者又九减之必与不能各位相并须从首位次第以七减之减至尾位不满七而止减过之原得数相同是为无误若不同必有误矣七减法则稍异减毕后乘除加减试验之法皆与九减同试言其理夫数起于一极于九以一加九而成十以十加九十而成百所以一与十百千万之较数为九九九九九九九九九九按此诸较数俱为九之倍数以九减之俱能却尽无余又如三与三十之较数二七七与七十之较数六三亦为九之倍数故无论何数退下一位或几位即与九减几次无异譬如八十退下一位变为八即如八十以九减八次亦为八所以九减之法十百千万均可并入单位而他减则不能并也又准此理九减之法可以改为以并代减更为简捷假如八六五五七八四今欲以并代减将各位相并得四三又相并得七则与九减减得之数同若论用他数减试视九减孰为难易则他减难而九减易因九减可并故也然九减法有利亦必有弊凡乘除之误往往因加错位次与减错位次者居多乃九减不能验出此等之误因九减亦不计位次之故是以九减虽称捷法诚不如七减之尽善也
　　说理透彻至窥得九减之弊尤见心细
　　验乘除误否旧传九减试法其能试之理安在若不用九减任用他数减试视九减法孰为难易　　　　
崔有洲
数之始生于一极于九乘除虽循环无穷而皆不能溢出九九范围之外故九减不论单十百千之位十百千即一也亦不计空位只据现有之数而计之如此●彼●两数相乘则并二一三七得十三以九减之余四于上并彼一三五六得十五以九减之余六以乘上得●并得六寄左乃以彼此两数相乘得●并得四十二以九减之亦余六与左数同则知无误如不用九减或用七减八减六减均可但拘于单十百千之位辗转屡次减之不及九减之便捷也或曰否九减不及七减之善七减单十百千仍居单十百千之位不违理之自然九减虽捷设如乘除误计降其位而珠筹之数恰符九减又恶能验乎曰凡古之造九减者原为乘除位次繁多难免无误之时若未知升降定位者岂能握策而运筹哉如初学者位次不多无庸假途九减七减也任用约分法之屡减亦可验也若驭位次繁多者则莫如九减之善也
　　反复发明题无剩义
　　海镜之通句即平三和通股即高三和通弦即皇极三和大差即明三和小差即三和黄方即太虚三和试为溯其原委　　　　　　　　
沈善蒸
解曰试自圆心作通弦之垂线如心甲半径成川甲心日甲心两句股形其川甲心形之股与日甲心形之句均系半径而平取月之青川之夕高句朱之山旦之日亦系半径为相等形故川甲心形之弦川之心等于平弦川之地月之川日甲心形之弦日[之心](心之)等于高弦天之日日之山此即皇极句心之川等于平弦皇极股日之心等于高弦之理也通句系平句高句皇极句之和故即平三和通股系平股高股皇极股之和故即高三和通弦系平弦高弦皇极弦之和故即皇极三和又月之南与月之甲相等山之东与山之甲相等故明句弦和等于日之甲即与高股等股山之东弦山之川和等于川之甲即与平句等明句南之月股山之东之和等于月之山即太虚弦也乃大差天之[甲](申)系高股明股日之南之和故即明三和小差地之艮系平句句东之川之和故即三和黄方巽之南加巽之东系太虚句月之巽股巽之山和与明句股之和故即太虚三和均合问图略
　　简括浏亮兼而有之
　　海镜之通句即平三和通股即高三和通弦即皇极三和大差即明三和小差
　　即三和黄方即太虚三和试为溯其原委　　　　　　　　
郑兴森
大差者句股较加黄方即为股小差者股弦较加黄方即为句黄方者弦和较减句股并即为弦通句既等于平三和平三和减句弦为股即高句减句股为弦即皇极句减倍句一股为大差即明句减倍股一句为小差即句减倍弦为黄方即太虚句通股既等于高三和高弦即皇极股高大差即明股高小差即股高黄方即太虚股通弦既等于皇极三和极大差即明弦极小差即弦极黄方即虚弦大差既等于明三和明小差即大差明黄方即虚大差小差既等三和黄方即虚小差黄方既等于太虚三和则虚之句股弦大差小差必等于平高极明诸黄方他若虚两句并为平句明虚两股并为高股明虚三弦并为极弦平大差皇极大差较为明大差高小差极小差较为小差高黄明黄较为虚黄五事可以类推更以六事推之平高极三者合等于通高极二者合等于边平极二者合等于底高明虚三者合等于黄广平虚三者合等于黄长高明二者合等于大差平二者合等于小差其原委如此
　　头头是道非于此学夙有体验者不办
　　弦和较羃为一率句股相乘倍之为二率弦羃内减句股较羃为三率求得四
　　率开平方得弦和和以比例之理释之　　　　　　　　　　
郑兴森
弦和较羃为句弦较股弦较相乘羃之倍弦和和羃为句弦和股弦和相乘羃之倍句股相乘为直积得句股积之倍倍直积为句股积者四弦羃内有句股较羃一句股积四故减较羃余与倍直积等句股之法以倍句与股或句与倍股为二三两率相乘得数以一率弦和较除之四率得弦和和今倍直积与弦羃减较羃等相乘为句股积十六倍二三率相乘犹中率自乘也本以边为比例今以羃为比例边线也羃面也今既为面故得四率须开方而得线此实为合率比例
　　解证审确句股和较之义可称娴熟
　　名山大泽不以封论　　　　　　　　　　　　　　　　　
赵贤书
三代封建以九州岛之大裂为千百国而不病其散者何也土地虽分裂而天下之精神脉络仍在天子呼吸操纵之中故其势虽散而仍聚王制有之曰名山大泽不以日代下而申论焉夫天子之治天下也有不可与人者二曰利权曰形势二者散之天下则彼沃此瘠我强尔弱争夺之端起凌竞之风长矣惟举而归之一人乃可统驭天下而调剂其平考之周官山泽之数司书掌之山泽之阻司险掌之山泽之赋列于太府九州岛之川泽山数载职方氏而诸侯无所隶焉此则封建之良法美意也夫鱼盐蜃蛤材木宝藏乃天地之藏自然之利与农桑相辅而行者也殽河汉阨塞要害乃天地之险自然之形势与城郭沟池树渠之固相辅而行者也顾农桑之利城郭沟池树渠之固天下分之而不病其散山泽之利之固一人收之而不以为私此则古先圣王驭世之大权虑世之深意假使成康而后君天下者操此无失虽封建至今存可矣观春秋时齐擅山海楚有云梦宋得孟诸而天子之利权失晋有郇瑕桃林楚有方城汉水郑据虎牢秦筑临晋而天子之形势失盖自幽厉凌夷平桓衰替山泽之饶固不能自[守诸](诸守)侯因而收之其离析分裂非一朝一夕之故驯至列分辟争兼并割据而郡县之势成矣封建之说遂为世诟岂病知三代之时虽盛封建初未尝散而无所统哉
　　衍贯本末是一则封建论
　　吴伐郯论　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
赵引修
春秋书吴始于成公七年伐郯识者曰此荐食上国之始也书之所以罪吴虽然春秋之旨则薄于惩吴而责厚于责晋夫郯与吴非密迩也郯处东海吴处南海中有江淮之阻相距千里也劳师伐远可以必其有功乎哉使晋遣一旅之师横陈江淮之间吴进则抗其前吴退则截其归以逸待劳如御秦于崤也安在不能败吴以救郯或曰伐郯必舟师也吴利于水晋利于陆是以不能与吴争则曷不征诸侯之师伐吴以正其罪如齐桓之次召陵以伐楚乎如是而封豕长蛇之毒或几乎息矣计不出此吴乃长驱直捣无所顾忌卒及郯成固逆料晋必不能救郯耳不惟不能救郯明年又以诸侯伐郯不惟不能伐吴又屡与吴为会盟主固如是乎夫汉阳诸姬楚实尽之然桓文之为盟主也犹能攘楚今吴为不道伐我同盟晋则不罪吴而罪郯自以不能制吴耶则如服焉若犹未也则宜恤弱伐暴之不暇柰何郯则见伐吴则断道黄池不绝于史是犹两军相持二帅则酬酢往来而士卒则进退皆以为戮也呜呼郑则服楚而伐许之贰于楚晋则通吴而伐郯之贰于吴许太岳之后而郯则少昊之子孙也处分争之世可夫
　　支公爱鹰赏其神巂于斯文亦云
　　秦征晋河东论　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
赵贤书
左氏传僖十四年秦始征晋河东置官司焉十七年晋太子圉为质于秦秦归晋河东而妻之说者曰晋侯之入也赂秦伯以河外列城五东尽虢略南及华山内及解梁城盖自华阴以及河南府之嵩县南暨邓州凡六百里皆古虢略地桃林之塞在焉所谓河东者即此余读此即洒然异之夫桃林即秦时函谷关春秋之世秦晋七十年之战伐意在争此诚如左氏言是既得之而复归之直视为无足重轻之地虽庸人亦将笑其愚顾以秦穆之英鸷而出此哉及读顾氏春秋大事表以为春秋当日虽天子所赐地苟其民不服则亦不得而有桓王以苏忿生之田赐郑而盟向背叛襄王以南阳赐晋而温原不服秦之河东盖亦类此况尔时晋兵力尚强秦盖知其力不能有故索质子于晋而归之以为名耳是说也余尤疑之夫盟向虽迁其地卒归郑温原虽围其后卒服晋桃林为秦晋咽喉其得失关两国大局秦当未得此地时且必以全力争之苟已在掌握必以全力守之无疑夫以秦之兵力足以挫强邻威西戎安有不能制区区一方之民而曰力不能有是何故欤况观传文是秦于河东置官征赋殆将三年所谓民不服者其安在余盖以是知桃林之未尝入秦也按传文河东杜氏略而不注然既曰河东当在大河以东不当在大河以南与上文河外字显有内外之别考成十一年传秦史颗盟晋侯于河东此是晋令狐地在蒲州府猗氏县西南十五里汉晋时有河东郡今在解州夏县北北魏有河东郡即今蒲州府永济县东南隋有河东郡河东县唐宋金元有河东县即今蒲州府永济县治然则自来称河东者不出蒲州解州一带从未有称渑潼等地为河东者则诸家之说误可知矣以愚观之河东殆即河内之解梁等城意晋人当日征缮以辅孺子闭关拒秦而以河东无足重轻之地赂秦以求其君秦知其不可屈则所谓我执一人焉何益故权取其地而卒归惠公旋以其孤悬河内不易守故索质而归其地其意仍欲徐图崤函不以河东为意耳我于是叹当日吕却诸臣谋国之善力守重险其有功于春秋非浅也