皇朝经世文续编-清-葛士浚

彗星行法与五纬同而椭圆之长径甚长两心差甚大故或数十年而一见其差甚多不能尽知其根数也因格彗半长径二二一六四两心差八四七四三六交黄道角十三度七分三十四秒凡三年一一而一周迪未谷彗半长径三九九四六两心差六一七二五六交黄道角二度五十四分四十五秒凡五年一六七而一周勃陆孙彗半长径三一五二一两心差七九三六二九交黄道角三十度五十五分七秒凡五年二一六而一周比乙拉彗半长径三五一八二两心差七五五四七一交黄道角十二度三十四分十四秒凡六年二二而一周飞彗半长径三八一一七九两心差五五五九六二交黄道角十一度二十二分三十一秒凡七年一六一而一周达唳彗半长径六三二六六两心差七五六七二交黄道角三十一度二分十四秒凡十五年三二五而一周好里彗半长径一七九八七九六两心差九六七三九一交黄道角十七度四十五分五秒逆行凡七十六年一六而一周又有干隆三十五年之彗两心差七八五八交黄道角一度三十四分凡五年半而一周道光二十三年之彗最卑距日五五八交黄道角三十五度三十六分二十九秒逆行凡二十一年八七五而一周又有顺治十八年之彗约一百二十九年而一周嘉靖三十五年之彗约二百九十二年而一周康熙十九年之彗约五百七十五年而一周上考往古有当见而不见者必近日而昼见有虽见而先后一二年则为他星所摄动也干隆五十一年至道光十八年因格彗已十五周每周减百分日之十一洪武十一年至道光十五年好里彗已六周每周增千分年之四百四十五增减之故未得而详彗之头如星气渐近中心渐厚尾恒背日盖太虚中之薄气故借日光而明有时隔彗能见恒星知其为薄气而非实体矣
　　代微积拾级序　　　
李善兰
几何之学自欧几里得至今专门名家代不乏人粤在古昔希腊最究心此学尔时以圜锥诸曲之理为最精深亚奇默德而后其学日进至法兰西代加德立纵横二轴推曲内诸点距轴远近自有此法而凡曲无不可推故曲之数多至无穷而以直为限一例用曲之法驭之既得诸曲依代数理推之可得诸平面诸曲面诸体其已推定之曲略举其目曰平圜椭圜双抛物半立方抛物薜荔叶蚌摆余摆和音次摆弦切诸指数对数亚奇默德螺对数螺等角螺交互螺两端悬葛西尼诸椭圜平行动而圜锥诸曲与他曲统归一例无或少异此代数几何学也自有代数几何而微分学之用益大微分学非一时一国一人所作其源流远矣数学有数求数代数无数求数然所推皆常数微分能推一切变数创法者不一家理同而术异求本之者日尔曼人也立界说曰以小至无穷之点积至无穷多推其几何名为推无穷小点法难者曰无穷小之点虽积之至无穷不能成几何解之曰但易无穷小为任何小即有积可推矣故其说虽若难解而其理未始不合也而英国奈端造首末比例法不用无穷小之长数乃用有穷最小长数之比例而推其渐损之限其几何变大则为末限变小则为首限此法便于几何而不便于代数后造流数术弃不用而谓万物皆自变其变皆有速率凡几何俱可用直显之故速率之增损可用直之界显之此说学者皆宗之嘉庆末法兰西特浪勃造限法自云不过用柰端首末比例耳而兰顿别创新法凡微分一凭代数不云任近限而云已得限名曰賸理拉格浪亦造法多依附戴老之理大略与兰顿同总论之微分不过求变几何最小变率之较耳家数虽多理实一焉奈端来本之同时各精思造法未尝相谋相师也奈端于元上加点以显流数如申为甲之流数是也用以推算觉不便故用来氏之彳号以显之积分者合无数微分之积也亦用来氏之禾号以显之微分积分为中土算书所未有然观当代天算家如董方立氏项梅侣氏徐君青氏戴鄂士氏顾尚之氏暨李君秋纫所着各书其理有甚近微分者因不用代数式故或言之甚繁推之甚难今特偕李君译此书为微分积分入门之助异时中国算学日上未必非此书实基之也
　　代微积拾级序　　　
伟烈亚力
中法之四元即西法之代数也诸元诸乘方诸互乘积四元别以位次代数别以记号法虽殊理无异也我　朝康熙时西国来本之奈端二家又创立微分积分二术其法亦借径于代数其理实发千古未有之奇秘代数以甲乙丙丁诸元代已知数以天地人物诸元代未知数微分积分以甲乙丙丁诸元代常数以天地人物诸元代变数其理之大要凡线面体皆设为由小渐大一刹那中所增之积即微分也其全积即积分也故积分逐层分之为无数微分合无数微分仍为积分其法之大要恒设纵横二以天代横以地代纵以彳天代横之微分以彳地代纵之微分凡代数式皆以法求其微系数系于彳天或彳地之左为一切面体之微分故一切面体之微分与纵横之微分皆有比例而叠求微系数可得面体之级数曲之诸异点是谓微分术既有面体之微分可反求其积分而最神妙者凡同类诸题皆有一公式而每题又各有一本式公式中恒兼有天地或兼有彳天彳地但求得本式中天与彳天之同数或地与彳地之同数以代之乃求其积分即得本题之全积是谓积分术由是一切曲曲所函面曲面曲面所函体昔之所谓无法者今皆有法一切八求弧背弧背求八真数求对数对数求真数昔之视为至难者今皆至易呜呼算术至此观止矣蔑以加矣罗君密士合众之天算名家也取代数微分积分三术合为一书分款设题较若列眉嘉惠后学之功甚大伟烈君亚力闻而善之亟购求其书请余共事译行中国伟烈君之功岂在罗君下哉是书先代数次微分次积分由易而难若阶级之渐升译既竣即名之曰代微积拾级时几何原本刊行之后一年也
　　谈天序　　　
李善兰
西士言天者曰恒星与日不动地与五星俱绕日而行故一岁者地球绕日一周也一昼夜者地球自转一周也议者曰以天为静以地为动动静倒置违经畔道不可信也西士又曰地与五星及月之道俱系椭圆而历时等则所过面积亦等议者曰此假象也以本轮均轮推之而合则设其象为本轮均轮以椭圆面积推之而合则设其象为椭圆面积其实不过假以推步非真有此象也窃谓议者未尝精心考察而拘牵经义妄生议论甚无谓也古今谈天者莫善于子舆氏苟求其故之一语西士盖善求其故者也旧法火木土皆有岁轮而金水二星则有伏见轮同为行星何以行法不同歌白尼求其故则知地球与五星皆绕日火木土之岁轮因地绕日而生金水之伏见轮则其本道也由是五星之行皆归一例然其绕日非平行古人加一本轮推之不合则又加一均轮推之其推月且加至三轮四轮然犹不能尽合刻白尔求其故则知五星与月之道皆为椭圜其行法面积与时恒有比例也然俱仅知其当然而未知其所以然奈端求其故则以为皆重学之理也凡二球环行空中则必共绕其重心而日之质积甚大五星与地俱甚微其重心与日心甚近故绕重心即绕日也凡物直行空中有他力旁加之则物即绕力之心而行而物直行之迟速与旁力之大小适合平圜率则绕行之道为平圜稍不合则恒为椭圜惟历时等所过面积亦等与平圜同也今地与五星本直行空中日之摄力加之其行与力不能适合平圜故皆行椭圜也由是定论如山不可移矣又证以距日立方与周时平方之比例及恒星之光行差地道半径视差而地之绕日益信证以煤坑之坠石而地之自转益信证以彗星之轨道双星之相绕多合椭圜而地与五星及日之行椭圜益信余与伟烈君所译谈天一书皆主地动及椭圜立说此二者之故不明则此书不能读故先详论之
　　谈天序　　　
伟烈亚力
天文之学其源远矣太古之世既知稼穑每观天星以定农时而近赤道诸牧国地炎热多夜放羊因以观天间尝上考诸文字之国肇有书契即记及天文如旧约中屡言天星希腊古史亦然而中国尧典亦言中星历家据以定岁差焉其后积测累推至汉太初三统而立七政统母诸数从此代精一代至郭太史授时术法已美备惟测器未精得数不密此其缺陷也中国言天者三家曰浑天曰盖天曰宣夜然其推历但言数不言象而西国则自古及今恒依象立法昔多禄某谓地居中心外包诸天层层硬壳传其学者又创立本轮均轮诸象法綦繁矣后代测天之器益精得数益密往往与多氏说不合歌白尼乃更创新法谓太阳居中心地与诸行星绕之第谷虽讥其非然恒得确证人多信之至刻白尔推得三例而歌氏之说始为定论然刻氏仅言其当然至奈端更推求其所以然而其说益不可摇矣夫地球大矣统四大洲计之能尽历其面者无几人焉然地球乃行星之一耳且非其最大者计绕太阳有小行星五十余大行星八其最大者体中能容地球一千四百倍其次能容九百倍也设以五百地球平列土星之光环能覆之而诸行星又或有月绕之总计诸月共二十余设尽并诸行星及诸月之积不及太阳积五百分之一太阳体中能容太阴六千万倍可谓大之至矣而恒星天视之亦只一点耳设人能飞行空中如最速子亦须四百万年方能至最近之恒星故目能见之恒星最小者可比太阳其大者或且过太阳数十万倍也夫恒星多至不可数计秋冬清朗之夕昂首九霄目能见者约三千设一恒星为一日各有行星绕之其行星当不下十五万况恒星又有双星及三合四合诸星则行星之数当更不止于此矣然此仅论目所能见之恒星耳古人论天河皆云是气近代远镜出知为无数小星远镜界内所已测见之星较普天空目所能见者多二万倍天河一带设皆如远镜所测之一界其数当有二千零十九万一千设一星为一日各有五十行星绕之则行星之数当有十亿零九百五十五万意必俱有动植诸物如我地球伟哉造物其力之神能之钜真不可思议矣而测以更精之远镜知天河亦有尽界非布满虚空也而其界外别有无数星气意天河亦为一星气无数星气实即无数天河我所居之地球在本天河中近故觉其大在别星气外远故觉其小耳星气已测得者三千余意其中必且有大于我天河者初人疑星气为未成星之质至罗斯伯之大远镜成始知亦为无数小星聚而成而更别见无数星气则亦但觉如气不能辨为星之聚设异日远镜更精今所见者俱能辨恐更见无数远星气仍不能辨也如是累推不可思议动法亦然月绕行星行星绕太阳近代或言太阳率诸行星更绕他恒星与双星同然则安知诸双星不又同绕一星而所绕之星不又绕别星耶如是累推亦不可思议伟哉造物神妙至此荡荡乎民无能名矣
　　割圜八缀术序　　　
左
学术八文学四附算学
　　圜率考真图解跋　　　
曾纪鸿
曩读古今人数学书莫不言割圜之难数理精蕴中所载圜率与西人固灵所求三十六位之数相同皆用内容外切屡次开方之法欲求此三十六位之率不下数十年工夫亦綦难矣后有泰西杜德美特立屡乘屡除之法省去开方较旧法为稍捷然秀水朱君小梁用其术以求四十位圜率止有二十五位不误其后十五位概行误足见纷赜繁难易于淆乱果臣先生属纪鸿等凝心构思幸得创兹巧法敛级甚速按等推求了如指掌迩日深于算者穷理之功多演数之功少反觉不切于日用今左君壬叟黄君玉屏竟用此术推得各弧背真数至百位之多庶几息诸家之聚讼而为古之困于圜率者置一左券也
　　对数序　　　
刘彝程
人莫不知对数之用世亦不乏求对数之书奚俟后有论譔顾是书之不容已于作也其要有二一则自来求对数者求一对数祗可得一对数今思得一法求一对数俱可得两对数盖以前册开方第二术求大于本数之对数较易正负相间之诸数为皆正即为小于本数之对数较以前册开方第三术求小于本数之对数较易诸数皆正者为正负相间即为大于本数之对数较以此求诸对数以备立表视前人诸法不尤捷乎此首卷之所以要也一则近来西书求对数半较其法颇捷而立法之原不详间以开方之理推之乃知亦系开方之法但此开方与前册开方诸法不同盖以中方根求大小两方根半较法也爰自平方至无量数九乘方各以率数阐之莫不显然一贯而开方之说可以据为定论无疑此次卷之所以要也至是书中逐事逐节阐微抉隐于对数之理均觉似非小补然以视最要之端则犹为余事矣
　　论对数根　　　
刘彝程
　　　第一问
问何谓对数根曰命单一下带无数空位零一之数为方根求其无量数九乘方之积为真数次置方根零数即零一之一以一无量数乘之得单一为真数之自然对数由自然对数求得定准对数即对数根也法以十之自然对数为首率十之定准对数单一为中率求得末率为对数根盖十之自然对数与十之定准对数单一之比若以单一为自然对数与其定准对数之比而此所得定准对数用之乘一切方根零数可得一切数之定准对数以其为诸对数之所自出故曰对数根也
　　　第二问
问以对数根乘一切数之方根零数而得一切数之定准对数其理若何且求一切定准对数舍对数根尚别有法乎曰一切数之方根零数既为一切数之自然对数则置本数之方根零数任以若干数之定准对数乘之以若干数之自然对数除之必得本数之定准对数顾此法须一乘一除不若有乘无除或有除无乘之便有乘无除者以对数根为乘法是也有除无乘者以十之自然对数为除法是也盖自然对数单一与定准对数对数根之比同于一切自然对数与一切定准对数之比而所宜置之一率系单一可以省除宜以单一为一率对数根为二率一切自然对数为三率求得四率为一切定准对数故以对数根乘一切方根零数即得一切定准对数又十之自然对数与十之定准对数之比同于一切数之自然对数与一切定准对数之比而十之定准对数系单一可以省乘故以十之自然对数除一切方根零数即得一切定准对数夫位少之数乘便于除位多之数除便于乘似以十之自然对数为除法较以对数根为乘法为便十之自然对数与对数根皆位多之数顾乘除方根零数乃乘除于得数之后得数即得方根也乘除所借之根单一为乘根于第一数之先第一数即连比例之第一数乘除于后与乘除于先原无少异则与其以十之自然对数除方根零数孰若以对数根乘借根单一之为便乎此求对数者所以恒置对数根为第一数之实也置对数根为第一数之实即如以对数根乘单一也