皇朝经世文续编-清-葛士浚

凡球行于平面是生平力二球相击其体平而复凸是生凸力球之无凸力者或铅或瓦击时二速消尽二球必止而不行矣凸力有等于平力者谓之全凸力有小于平力者谓之朒凸力呢纱等球凸力为平力九之五象牙球为九之八玻璃球为十六之十五正相击后二球分行于二对面各生新速其击前速与击后速若平力与凸力也设二球皆全凸力正相击后小球之速必减而大球之速必增二重和与二重较为倍大重与减速之率又为倍小重与增速之率各以其重乘速而并之击前与击后亦等二球之凸力等而正相击后小球止而不行其大球与小球必若平力与凸力也若以动球击静球而二体相等又皆为全凸力者其动静必互相易动球小于静球则小者返行而大者前行必小于小者之前速动球大于静球则小者之速必大于大者之前速而大者随行其速小于前速三球在一上以次递小而大中二球之较大于中小二球之较者大球由中球传速于小球必大于直传速于小球若中球为大小球之中率则传速最大矣
自击点过二球心作交其合于球行之方向者为正相击不合者为斜相击二球方向一直一横则击后横者斜行以击前二方向引而长之补成平行四边形作对角即斜行之也二求俱斜则击后二方向与击前二方向互为平行自方向之端作直交于交前后各成两句股形其两句必自相等又以击前二方向引之相交则交角之对边即击时之两半径和也
二球相距必有重心至相击时重心即为击点二球相对而行则重心恒不动故左重与右重若右距与左距相随而行而后速大于前速则重心随而前行法以两重各乘速而并之为实并两重为法实如法而一即重心行也设二球平行于二斜重心必平行于一直以二斜引之相交取二速之度自交点截之为两腰作联为三角形之底则左速与右速若右分边与左分边乃自分边处至交点作直即重心行也
凡有凸力之球斜击于不动之面则击后必斜行自击点过球心作交又自方向之端作直交于交成前后两句股形凸力全者两句股形相等而方向与交之交角前后亦必相等凸力不全则后角与前角之正切为平力凸力之率后角与前角之正弦为前速后速之率无凸力者击后行于面边其前速与后速若全数与角正弦也
凡动有二一为平速一为渐加速平速动成长方形速为阔时为长则路为长方积渐加速动成堑堵形力为高时为长与阔则速为长方积路为堑堵形积物在空中为地力所引而下坠愈下愈速即渐加速也地形椭圆长径过赤道短径过两极径幂与地力为转比例故两极下地力与赤道下地力若百四十五与百四十四两极赤道之间地力适中于一秒中测物之下坠凡十六尺又万分尺之六百九十七倍之为一秒之地力依堑堵形求之速与路俱可得矣声之行为平速一秒中凡千十七尺设投石井中历几秒闻水声则以地力除二开平方为石过井率以声速除一为声过井率并之以比所历之时即井口距水之深也大小二重悬于定滑车者大重必随地力而下二重和与二重较若地力与长加力物自斜面下行两面皆为光面必相切而行非旋转而下斜面之弦为重率股为力率力乘地力即斜面之长加力以堑堵形之比例通之地力乘股以除二弦幂即时幂也二地力以乘股即速幂也故不论弦之长短但股等则速亦等以重引重令行于斜面垂面之重大则重上行垂面之重小则重下行以垂重乘弦与斜重乘股之较乘地力为实并二重以乘弦为法实如法而一即长加力也设有圆面直交地平自顶点至圆界作诸通弦则物任行于何通弦自顶点至末点时刻俱等大小两圆面之顶合为一点直交地平自顶点至大圆界作诸大通弦中有诸小通弦则物行于两通弦之较自小圆界至大圆界时刻俱等凡此相等之理皆由地力而生也
抛物空中上行极则弯环而下其两端恒相等是名抛抛与地平之交角适足四十五度者抛界最大其左右皆渐小而两两相等至九十度则无抛界矣若抛物于斜面则视斜面与九十度之交角抛中分此角者抛界最大其左右亦渐小而两两相等至九十度则无抛界矣以抛之切为弦则垂为股地平为句切生于平速之抛力故时速相乘而得弦垂生于渐加速之地力故半地力乘时幂而得股以平三角之比例通之抛交地平之倍角正弦乘速幂为实地力为法实如法而一即平面抛界也抛交地平角与抛交斜面角相并为和相减为较和角较角两正弦之较乘速幂为实较角余弦幂乘地力为法实如法而一即斜面抛界也九十度之抛即为抛高倍之为平面之最大抛界又以斜面交九十度角之大矢除之即斜面之最大抛界故平面之抛界视斜面为大矣自抛高上端作横为规规距抛顶之度与抛顶距心之度等自心作横直交于心距规两端皆抵抛此必倍于心距规即末率也心距规以二抛高为最大故末率以四抛高为最大抛与平之交角自地平上以渐而小至抛顶则与平合而为一无交角矣垂所截之地平为实抛交地平角之余弦幂乘二抛高为法实如法而一以减抛交地平角之正切即交角正切也若以同速抛各物而同在一平面者历若干秒各物所到之点联之成平圆形若不在一平面成立圆形其抛点距圆心之度即若干秒中地力下行所过之路矣
悬物空中左右限以曲令物一往一来则与曲乍合乍离而其行又成曲是名摆倍圆径为摆长又倍之为摆周则圆周为摆之界即横径也于横径之中作垂必抵摆之底点以此垂为圆径作平圆形则任于垂上作横其所截平圆之弧必等于平圆外之横而所截之摆周必倍于平圆内之通弦物自摆下行为地力所引其速与垂等以测各处地力之大小至易见也一秒之地力为实圆周率三一四一五九二六五三自之为法实如法而一为秒摆长秒摆者一秒摆动一次也设地力为定数则摆长之平方根与时刻成正比例摆长为定数则地力之平方根与时刻成转比例故以秒摆长除摆长或以地力除原地力平方开之皆为摆动一次之时刻也若以较数求之则摆长者动迟摆短者动速以摆长与秒摆长之较乘一昼夜八万六千四百秒为实倍秒摆长为法实如法而一即一昼夜摆动加减次数地形高下处处不同高则摆动迟下则摆动速一昼夜加减次数为两处高下差之率倍之为两处地力差之率摆之用尽于此矣
有诸质点各以联于平面力加一点则诸点随之而动此与独动不同因诸质点各有抵力环轴时必互相感召或生动或阻动也距轴愈远用力愈少力距相乘积等则速亦等自轴心作地平为句自诸点各作垂为股诸点之距轴为弦各以质重乘弦幂而并之即诸点之质阻率力乘距幂为实质阻率为法实如法而一即实生力也诸质点为地力所引亦各有长加力自轴心作直则分诸点为左右两边各以质重乘句视诸点在直之一边者相加在两边者相减用乘地力又以所求点之距轴乘之为实质率为阻法实如法而一即所求点之长加力也诸质相距必有重心其距轴为弦垂为股所截之地平为句合各质重以乘重心之句与质重各乘距轴之句以相并者其数正等引重心距轴而长之即为摆心重心摆心两距轴相乘即环轴半径幂也自重心作直与距轴成直角亦分诸质点为左右两边而诸点之距重心为弦直为股所截之距轴为句各以质重乘句其在重心之两边亦相等也合各质重以乘重心距轴幂又以质重各乘弦幂而并之亦与质阻率等重心距轴与距摆心相乘即环重心之半径幂合各质重乘之与质重各乘弦幂以相并者其数亦等重心为心轴心为界作平圆形任于圆上取一点为悬点摆次并同若以摆心为界其理亦同故悬点与摆心点可互易也
二重一加于轮一加于轴而在轮周者下行在轴周者上行轮轴之长加力各如其半径之比三轮相属或联以索或衔以齿而二重一加于第一轮一加于第三轴轮轴之长加力如三轮半径连乘与三轴半径连乘之比不等二重加于杆之两端者二重之长加力各如距重心之反比矣凡圆体有转动有过面动此二动常相因也以索之一端缠于圆体一端过定滑车而以重悬之设等质之实圆柱则柱重乘地力以加悬重为实三因悬重以加柱重为法除之即过面动之长加力悬重乘柱径又乘地力为实三因悬重加柱重以乘柱径幂八之一为法除之即转动之长加力若圆柱空而极薄则柱重乘地力为实倍悬重以加柱重为法除之即过面动之长加力倍悬重以乘地力为实倍悬重加柱重以乘柱半径为法除之即转动之长加力设索之一端缠于圆体一端着于定点则过面动之长加力实圆柱为地力三之二空圆柱为二之一球为七之五也圆体由斜面而下两面皆为糙面令圆体不为直动而为转动则不用地力而用直动之长加力其比例并与此同不等二重加于静滑车者令大重下行之长加力即令小重上行之长加力若加于二滑车而一静一动者动滑车之长加力为静滑车二之一因速减半故也若加于连滑车而一静数动者第一动滑车之长加力为静滑车二之一第二动滑车为四之一第三动滑车为八之一既得诸器之长加力用和分法推之即可知诸器之动矣
凡二体相切相磨皆能生面阻力而动速渐减使牵力与面阻力等则物之行恒为平速矣车行于石路之牵力小者为物重千分之十六大者为二千分之三十九路极不平处至千分之二十四火石路为千分之六十四铁轨路牵力或为物重二百四十分之一或为三百分之一平石路为七十分之一石子路为十五分之一若车行于斜而其所加之牵力等于股为实弦为法设斜面二丈最高一尺则比平面牵力加物重二十分之一也陆路不论速之大小阻力恒同水路则速幂渐大阻力亦渐大故车或五小时行十里或一小时行十里牵力并同而舟则一小时行十里较五小时行十里者牵力当加二十五倍也惟一小时十里以上阻力增率甚小因舟速甚而高出水面耳生动之力有六曰定质重曰流质重曰定质凸力曰流质动力曰流质涨力曰人畜能力皆以力乘路为当程功定质重之动力斜面与垂面不同设自行车路高一百尺长四千尺轻车一千斤以重车四千斤下行之力引之上行面阻力为二百分重之一法以重较三千斤乘高一百尺得三十万为当程功以二百除一千得五斤为上行阻力以二百除三千得十五斤为下行阻力并之以乘长四千尺得八万为实程功是当程之功比实程为四倍弱也用于垂面则以重乘路当程之功即为实程之功矣流质重之动力以水言之其当程功与定质同而水中又有横流之水互相推荡不能用以程功故水激上半轮当程功与实程功若五与四水激下半轮当程功与实程功若十与三也捕鸟鼠之巧机能生暂动巧偶钟表之发条能生长动皆凸力也发条动时抵力恒有改变故以绕轴渐卸时所过微路乘各秒中所加抵力之路为所程功风气之力有二风枪用涨力风帆用动力水气亦有涨力与动力其动力大小之比皆若速立方大小之比矣人畜能力以静体为最大人力二十八斤又五分斤之四马力一百四十四斤行则力必减小行至极速则力不能程功而一小时中极速之限人行六里马行十二里故求人所程功者以一小时里数与六里相减余数自之四因五除为人力求马所程功者以一小时里数与十二里相减余数自之为马力各以里数乘之为所程功也
车以平速行于平路其力必等于面阻力若有阻物如小石类而车体甚坚阻物与轮周仅遇于一点过此点时车必减速加力则速不减矣车过阻物上行时所加之力为重阻力车行忽改方向震动时所加之力为震阻力法以轮半径除阻物高为第一数轮半径幂倍之以除阻物高幂为第二数以此两数之较乘平速幂为震阻力率地力乘阻物高为重阻力率并两率以乘车重即车过阻物之加力也若阻物高小于轮半径则平速幂为震阻力率轮半径乘地力为重阻力率或以薄铁片附于轴下取其凸力令轮心渐离直而不震动阻力可减大半也
以物击物其受击物之抵力由两物相遇而生故铁锤之力大于纱球铁墩所抵之能大于软枕而锤之能力消于墩之抵力其所历之时刻又有不同时刻愈小抵力必愈大而物性受凹愈少者时刻亦愈小也钢铁凸力率九百万尺如以铁锤击铁墩则锤高加墩高以乘锤高又以锤下行数乘而倍之为实凸力率为法实如法而一平方开之即锤墩共凹之路锤高乘凸力率又以锤下行数乘而倍之为实锤高加墩高为法实如法而一平方开之即铁墩之抵力也若以锤击钉入木则力为平力而钉能动抵力必小钉长加锤高以乘木径倍凸力率除之即钉入木之路锤高乘平行数木径除之内减钉入木路即锤钉共凹之路也
　　流质重学记　　　
顾观光
物各有质木石之类为定质风水之类为流质而流质又有轻重之分轻如风气重如水液其体皆得热而大得寒而小而水之质独异当寒暑表之四十度为极小之限更寒则反增大至三十二度而成冰矣成冰之时其体增大最速故瓶盆贮水每因冰而迸裂也流质在器为地力所引必皆平于地平地球旋转生离心力地心下引生向心力二者又有并力而水面必直交于并力故海面当赤道则曲于球形当二极则平于球形月过处有引力又合地力而生并力必令水面改变即潮汐之理也水之小者同于平面故测两地高卑以水为准若二处流质相通必升至于平面以法激之能令水自下而上能令水载大重而上升或不用水而用风气理亦同也定质抵力惟在引力所加之方向流质抵力处处皆同设水在器中于其四周开相等之四小穴以短柱塞之令可进退一柱渐进则余柱必渐退其抵力之比同于穴大小之比去其一柱器必向对边而倾以一边无抵力也流质愈深抵力愈大立方一尺之水抵力六十二斤半以乘体积即水抵力之重矣流质抵力必有重心设上下不等正方体水满其中重心必近于大方令大方在下则重心低而抵力大大方在上则重心高而抵力小若有两器同底同高不论方斜尖直其底之抵力并同旁面抵力必在重心之下设为平行四边形则抵力心之高为三分高之一设为两等边三角形角尖在上则为四分中垂之一角尖在下则为二分中垂之一凡水闸当抵力心处必多加能力以阻水也
定质为流质所载重者必变而轻故竹木入水必升铁入水银亦升因等体积之流质重于定质故也定质重为向下之力流质重为向上之力二力同在一垂相等则物必定由此可得体积相等轻重不等之率如金重三十五分入水中则重三十一分所少四分即等于金体之水重是知水与金之重率为一与八七五矣若不合相定之理则物在水中或升或降令物升降之力即等体积之水重与物重之较也人入水中身重小于等体积之水重又胸中空处能大能小首昂则胸大而两重较更大且以两手入水必不沉也若手出水则身重大于等体积之水重而身必沉沉至水底抵力愈大身之体积愈小而不能复升矣人于桅端下坠入水必深以身重大于等体积之水重也殁则体涨大而复升以身重小于等体积之水重也气球上升亦同此理其上升之力即球重于等体风气重之较矣风气又有冷热之分而热轻于冷又热则体必加大而等体之冷风气愈重二重之较即令热风气上升之力聚火处开烟囟令烟速出于上即此理也烟囟高则热风气向上直升恒高于顶数尺外风不能敌之低则热风气亦低或不能敌外风而回入室中矣